ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 123
Скачиваний: 0
Відзначимо, що знак l збігається зі знаком σ . Коефіцієнт E у формулі (12.3) характеризує пружні властивості матеріалу стержня. Цей коефіцієнт називають модулем Юнга. Модуль
Юнга вимірюється в паскалях (Па). |
|
|
|
|
|||||
Формулу (12.3) можна перетворити, позначивши |
F1 |
|
|||||||
відносне |
збільшення |
довжини |
стержня буквою |
|
|||||
ε = l / l0 . У результаті отримуємо формулу |
|
|
|
||||||
|
|
|
|||||||
|
|
ε = |
1 |
σ |
, |
(12.4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
відповідно до якої відносне видовження стержня прямо |
|
l0 |
l0 + l |
||||||
пропорційно напрузі й обернено пропорційно модулю |
|
||||||||
Юнга. Формула (12.4) виражає закон Гука для |
|
|
|
||||||
стержня. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
З (12.4) випливає, що модуль Юнга дорівнює |
|
|
|
||||||
такій нормальній напрузі, при якому відносне |
|
|
|
||||||
видовження дорівнювало б одиниці (тобто |
|
|
|
||||||
збільшення |
довжини |
l |
дорівнювало б початковій |
|
|
|
|||
довжині l0 |
стержня), якби настільки великі пружні |
F2 |
|
||||||
деформації |
були можливі. У дійсності, наприклад, |
|
|||||||
залізні стрижні руйнуються при |
σ , що дорівнюють |
Рисунок 12.3 |
|
||||||
приблизно 0,002 E ; межа пружності досягається при |
|
||||||||
|
|
|
|||||||
ще менших напругах.
Зазначимо, що розтягання й стиснення стрижнів супроводжується відповідною зміною і їх поперечних розмірів.
ТЕМА 3 ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ
§ 13 Закон збереження імпульсу для системи матеріальних точок [4]
1 У фізиці дуже важливу роль відіграють закони збереження енергії, імпульсу і моменту імпульсу. Ці закони збереження мають загальний характер – їх можна застосовувати не тільки до механічних явищ, але й взагалі до всіх явищ природи. Закони збереження не залежать від природи й характеру діючих сил. Тому за їх допомогою можна дійти до ряду важливих висновків про поведінку механічних систем навіть у тих випадках, коли сили залишаються невідомими.
2 Векторну величину
p = mυ ,
де m – маса матеріальної точки, а υ –її швидкість, називають імпульсом матеріальної точки.
Використовуючи поняття імпульсу і беручи до уваги, що маса |
тіла в класичній |
|
механіці є величиною сталою, рівняння другого закону Ньютона |
r |
для |
mdυ / dt = F |
||
матеріальної точки можна записати у вигляді |
|
|
r |
|
(13.1) |
dp / dt = F . |
|
|
3 Розглянемо систему, що складається з N частинок (матеріальних точок). Знайдемо рівняння, яке визначає зміну у часі повного імпульсу цієї системи.
Імпульсом системи або повним імпульсом системи p називають векторну величину, що дорівнює сумі імпульсів матеріальних точок цієї системи
r |
N |
r |
. |
(13.2) |
p = å pi |
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
27 |
|
|
|
Тіла системи можуть взаємодіяти як між собою, так і з тілами, що не входять у систему. Відповідно до цього сили, що діють на тіла системи, поділяються на внутрішні й зовнішні. Внутрішніми називають сили, з якими тіла системи взаємодіють між собою, зовнішніми – сили, обумовлені впливом тіл, що не належать системі.
Розглянемо систему, яка складається з N частинок (матеріальних точок). Позначимо через Fik силу, що діє на i -у частинку з боку k -ї частинки (перший індекс вказує номер частинки, на яку діє сила, другий індекс – номер частинки, впливом якої обумовлена ця сила). Зрозуміло, Fik є внутрішніми силами. Позначимо через Fi результуючу всіх зовнішніх сил, що діють на i -у частинку. Напишемо рівняння руху всіх N частинок:
r |
/ dt = F12 |
+...+ F1k +...+ F1N + F1 |
(k ¹1) , |
dp1 |
|||
r |
……………………………………….., |
||
|
+ ...+ Fik +...+ FiN + Fi |
(k ¹ i) , |
|
dpi / dt = Fi1 |
|||
r |
……………………………………….., |
||
|
|
(k ¹ N) . |
|
dpN / dt = FN1 + ...+ FNk +...+ FN, N −1 + FN |
|||
Тут pi – імпульс i -ї частинки.
Просумуємо відповідно праві та ліві частини цих рівнянь. Ліворуч отримаємо похідну за часом від повного імпульсу системи:
N |
d r |
d æ |
N |
r ö |
d r |
|||
å |
|
pi = |
|
çç |
å pi ÷÷ = |
|
p . |
|
dt |
|
dt |
||||||
i |
|
dt è |
i |
ø |
|
|||
Праворуч відмінною від нуля буде тільки сума зовнішніх сил åFi . Дійсно, суму внутрішніх сил можна подати у вигляді
(F12 + F21 )+ (F13 + F31)+...+ (Fik + Fki )+...+ (FN −1,N + FN ,N −1 ).
Відповідно до третього закону Ньютона вираз у кожній з дужок дорівнює нулю. Отже, сума внутрішніх сил, що діють на тіла системи, завжди дорівнює нулю:
(F12 + F21 )+ (F13 + F31)+...+ (Fik + Fki )+...+ (FN −1,N + FN ,N −1 )=0.
З урахуванням цього отримуємо, що
|
r |
N |
r |
|
|
|
dp |
|
|
||
|
= åFi |
. |
(13.3) |
||
|
dt |
||||
|
i=1 |
|
|
|
|
Таким чином, похідна за часом від повного імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил, що діють на тіла системи. Формула (2.3) є розв’язком поставленої задачі.
4 Якщо система замкнена, то зовнішні сили відсутні й права частина рівняння (13.3) дорівнює нулю. Відповідно dp / dt = 0 і, отже, p = const .
Таким чином, ми прийшли до висновку, що повний, сумарний імпульс замкненої системи матеріальних точок залишається постійним. Це твердження становить зміст закону збереження імпульсу.
Зазначимо, що відповідно до формули (13.3) повний імпульс залишається постійним і для незамкненої системи у тому випадку, коли сума всіх зовнішніх сил дорівнює нулю.
Спроектуємо всі вектори, що входять до рівняння (13.3), на деякий напрямок X і отримаємо
dpx |
N |
|
= åFxi . |
(13.4) |
|
dt |
i=1 |
|
|
28 |
|
Звідси випливає, що для того щоб проекція повного імпульсу на деякий напрямок X була сталою, достатньо, щоб сума проекцій зовнішніх сил на цей напрямок дорівнювала нулю.
§ 14 Центр мас системи матеріальних точок. Швидкість і прискорення центра мас [4]
1 Центром мас |
|
системи |
матеріальних |
точок |
|
|
називається |
точка |
C , яка |
||||||||||||||||||||||
визначається радіус-вектором |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
r |
|
|
|
N |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
m1r1 + m2r2 + ...+ mN rN |
|
1 |
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
rC |
= |
m + m + ...+ m |
|
= |
|
|
åmiri |
. |
|
|
|
|
|
(14.1) |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
N |
m |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
сист |
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тут mi – маса |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mсист – |
i -ї частинки; ri – радіус-вектор, що задає положення цієї частинки; |
|||||||||||||||||||||||||||||||
сумарна маса системи. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
r |
на координатні осі, отримаємо декартові координати центра мас: |
|
|||||||||||||||||||||||||||
Спроектувавши rC |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
1 |
|
N |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
N |
|
|
|
|
||||
|
|
xC |
= |
|
|
åmi xi |
, yC |
= |
|
åmi yi , zC |
= |
|
|
|
åmi zi . |
|
|
|
(14.2) |
||||||||||||
|
m |
|
|
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
сист i=1 |
|
|
|
сист i=1 |
|
|
|
|
|
сист i=1 |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
за часом |
|
|||
2 Знайдемо швидкість центра мас. Для цього продиференцюємо rC |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
d r |
|
|
1 |
|
|
N |
1 |
N |
r |
|
|
|
|
|
|
|
r |
p |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
dri |
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
uC = |
|
(rC )= |
|
|
|
åmi |
dt = |
|
åmiui |
= |
|
|
|
, тобто |
uC = |
|
|
. |
(14.3) |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mсист |
|||||||||||||||||||||
dt |
m |
|
|
m |
m |
|
|
||||||||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
сист |
i=1 |
|
|
|
сист i=1 |
|
|
сист |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
– швидкість, a |
r |
|
|
|
|
|
|
|
p – повний імпульс системи. |
|
||||||||||||||||||||
У цих виразах ui |
|
pi імпульс i -ї частинки; |
|
||||||||||||||||||||||||||||
3 Знайдемо прискорення центра. Для цього продиференцюємо швидкість центра мас
r uC
за часом
r r = duC aC dt
|
|
r |
|
|
N |
r |
r |
1 |
N |
r |
|
|
|
1 |
dp |
|
1 |
|
|
||||||
= |
= |
åFi , тобто |
aC = |
|
åFi |
. |
(14.4) |
|||||
|
||||||||||||
mсист |
dt |
|
|
|||||||||
|
|
mсист i=1 |
|
|
mсист i=1 |
|
|
|
||||
Тут ми використали співвідношення (13.3), згідно до якого похідна за часом від повного
|
æ |
r |
N |
r ö |
|
імпульсу системи дорівнює сумі зовнішніх сил |
ç |
|
|
÷ |
. Таким чином, центр мас |
çdp dt = åFi ÷ |
|||||
|
è |
|
i=1 |
ø |
|
рухається так, як рухалася б матеріальна точка з масою, що дорівнює масі системи, під дією результуючої всіх зовнішніх сил, які прикладені до тіл системи.
|
r |
1 |
N |
r |
|
|
Для замкненої системи |
aC = |
|
|
åFi = 0 |
. Це означає, що центр мас замкненої |
|
m |
|
|||||
|
|
сист i=1 |
|
|
||
системи рухається прямолінійно й рівномірно або знаходиться у стані спокою.
§ 15 Робота змінної сили. |
Теорема |
про кінетичну |
енергію для |
системи |
|||
матеріальних точок [7] |
|
|
|
|
|
|
|
1 Елементарною роботою |
сили F |
на |
переміщенні dr |
називається |
скалярний |
||
добуток цієї сили F на переміщення dr : |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
= F × dr × cosa |
, |
|
(15.1) |
|
|
dA = F × dr |
|
|||||
де α – кут між векторами F й dr (рис. 15.1). Оскільки переміщення dr вважається нескінченно малим, величина dA називається елементарною роботою на відміну від роботи на скінченному переміщенні.
29
У загальному випадку, коли матеріальна точка, рухаючись по криволінійній траєкторії, проходить шлях скінченної довжини, можна уявно розбити цей шлях на
нескінченно малі ділянки, на кожній з яких сила |
F може |
|
|||||
вважатися |
постійною, |
і елементарна робота може |
бути |
1 |
|||
обчислена |
за формулою (15.1). |
Якщо |
скласти |
всі |
ці |
||
елементарні роботи й |
перейти до |
границі, |
спрямувавши до |
|
|||
нуля довжини всіх елементарних переміщень, то отримаємо |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
å |
i |
|
r |
å i |
r |
|
ò |
r |
. |
|
A = lim |
= |
i |
= |
F ×dr |
||||||
|
|
DA |
lim |
F |
×Dr |
|
|
||||
|
max( Ai )→0 |
i |
|
|
max( ri )→0 |
i |
|
|
L |
|
|
dr |
2 |
|
α |
|
F |
Рисунок 15.1
(15.2)
Цей вираз називається криволінійним |
інтегралом вектора F уздовж траєкторії L . Цей |
|
інтеграл, за визначенням, і є роботою сили F |
при переміщенні уздовж кривої L . |
|
Якщо F = F1 + F2 , то елементарна робота цієї сили буде дорівнювати |
||
r |
r |
r |
dA = F × dr = F1 × dr |
+ F2 × dr = dA1 + dA2 . |
|
Таким чином, елементарна робота результуючої двох або декількох сил дорівнює сумі елементарних робіт цих сил. Очевидно, це твердження справедливо й для робіт на
скінченних переміщеннях: |
|
A = A1 + A2 . |
(15.3) |
Одиницею роботи в системі СІ є джоуль (Дж). Джоуль є робота сили в один ньютон на переміщенні в один метр за умови, що напрямок сили збігається з напрямком переміщення.
Потужністю називають величину
P = |
dA |
|
dt . |
(15.4) |
Потужність, як бачимо, чисельно дорівнює роботі, яку виконує сила за одиницю часу. Її одиницями є й джоуль на секунду, або ват (Вт).
2 Знайдемо зв'язок між роботою сили та зміною кінетичної енергії частинки.
Обчислимо роботу сили (15.2), що діє на матеріальну точку, скориставшись другим законом Ньютона
r |
r |
|
du |
|
F |
= ma |
= m |
|
, |
dt |
а також тим, що елементарне переміщення пов'язано зі швидкістю руху співвідношенням dr = u× dt .
Тоді формула (15.2) набире вигляду
r |
r |
|
du r |
r r |
|
||
A = òF |
× dr |
= òm |
|
u× dt = òm × u × du. |
(15.5) |
||
dt |
|||||||
L |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||
Тут вектор du означає елементарне збільшення вектора u, причому це збільшення може й не збігатися за напрямком з вектором u. Якщо ми домовимося розуміти під υ довжину
вектора u, то очевидно (u)2 |
r |
u на |
= (u)2 . Дійсно, праворуч стоїть скалярний добуток вектора |
самого себе, який дорівнює квадрату довжини вектора, як це безпосередньо випливає з визначення скалярного добутку. Диференціюючи тепер обидві частини співвідношення
(u)2 = (ur)2 , знаходимо υdυ = υdυ . Зрозуміло, що подібне співвідношення виконується будьякого вектора. Підставляємо отримане співвідношення в (15.5) і отримуємо
30