Файл: Lysenko_physics_lek_1.pdf

щоб підкреслити, що мова йде про роботу при переміщенні матеріальної точки з початкового положення 1 у кінцеве положення 2 (див. рис. 15.1).

Інколи кінетичну енергію позначають таким чином Wk , T , K . Одиницею кінетичної енергії

в системі СІ є джоуль (Дж). За допомогою поняття про кінетичну енергію співвідношення (15.6) можна записати у вигляді

Таким чином, робота сили при переміщенні матеріальної точки дорівнює збільшенню кінетичної енергії цієї точки. Це твердження (співвідношення (15.8)) називають теоремою про кінетичну енергію матеріальної точки.

Формула (15.8) вирішує поставлене у цьому пункті завдання.

3 Проведемо узагальнення теореми про кінетичну енергію для матеріальної точки на випадок системи матеріальних точок.

Отриманий результат неважко узагальнити на випадок довільної системи матеріальних точок. Кінетичною енергією системи називається сума кінетичних енергій матеріальних точок, з яких ця система складається:

Напишемо співвідношення (15.8) для кожної матеріальної точки системи, а потім всі такі співвідношення складемо. У результаті отримаємо співвідношення аналогічне до формули (15.8), але вже не для однієї матеріальної точки, а для системи матеріальних точок

Під A12,сист розуміємо суму робіт всіх сил, як внутрішніх, так і зовнішніх, що діють на матеріальні точки системи, при переході системи із стану 1 в стан 2. Таким чином, робота всіх сил, що діють на систему матеріальних точок, дорівнює збільшенню кінетичної енергії цієї системи. Це твердження (співвідношення (15.10)) називають теоремою про кінетичну енергію для системи матеріальних точок.

§ 16 Робота сили тяжіння, сили всесвітнього тяжіння, сили пружності. Консервативні сили [4,7]

Всі сили, що зустрічаються в макроскопічній механіці, прийнято розділяти на консервативні й неконсервативні. Розглянемо приклади.

r

1 Знайдемо роботу сили тяжіння F = -mgey , яку вона виконує при переміщенні

матеріальної точки маси m з положення 1 у положення 2 (рис. 16.1). Застосуємо визначення для роботи сили і отримаємо

форми траєкторії руху, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями матеріальної точки, що переміщується.

Тут ми використали, що rdr = rdr (для доведення цього достатньо продиференціювати тотожність (rr)2 = (r)2 ).

Бачимо, що робота сили всесвітнього тяжіння (16.2) визначається початковим ( r1 ) та кінцевим ( r2 ) положеннями матеріальної точки з масою m і не залежить від форми траєкторії.

3 Знайдемо роботу сили пружності Fx = -kx , яку вона виконує при деформації

пружини (тіла) з положення 1 у положення 2 вздовж осі X . Застосуємо визначення для роботи сили і отримаємо

Тут x1 – деформація пружини (зміщення відносно недеформованого стану) у початковому положенні; x2 – деформація пружини у кінцевому положенні. Бачимо, що робота сили пружності (16.3) визначається початковою ( x1 ) та кінцевою ( x2 )

деформаціями.

4 Таким чином, в усіх вищенаведених прикладах робота сили не залежить від форми траєкторії руху, а визначається тільки початковим і кінцевим положеннями матеріальної точки, що переміщується. Такі сили отримали назву консервативні.

32

Консервативними силами називають такі сили, які залежать тільки від координат, і робота яких при переміщенні матеріальної точки з довільного початкового положення в довільне кінцеве положення не залежить від способу переходу (форми траєкторії), а визначається тільки початковими та кінцевими положеннями.

Можна дати інше визначення консервативних сил, еквівалентне вищенаведеному:

консервативними називаються сили, що залежать тільки від координат системи, і робота яких з переміщення матеріальної точки по довільній замкненій траєкторії дорівнює нулю.

Еквівалентність формулювань тут доводити не будемо.

Усі сили, що не є консервативними, називають неконсервативними силами. До них відносяться, насамперед, так звані дисипативні сили (робота яких завжди від’ємна), наприклад, сили тертя, що виникають при ковзанні будь-якого тіла по поверхні іншого. Неконсервативними силами є сили опору, що діють на тіло при русі в рідкому або газоподібному середовищі. Їх також іноді називають силами тертя. Всі ці сили залежать не тільки від координат тіл, але й від їх відносних швидкостей. Вони спрямовані завжди проти швидкості тіла (відносно поверхні, по якій тіло ковзає, або відносно середовища, у якому тіло рухається).

Вкажемо ще на один вид неконсервативних сил, які називають гіроскопічними силами.

Ці сили залежать від швидкості матеріальної точки й діють завжди перпендикулярно до цієї швидкості. Робота таких сил дорівнює нулю при будь-якому переміщенні матеріальної точки, зокрема і під час її руху по замкненій траєкторії (тут завжди сила перпендикулярна до

що вони визначаються не тільки положенням, але й швидкістю матеріальної точки, що рухається. Прикладом гіроскопічних сил є магнітна складова сили Лоренца, тобто сила, що діє на заряджену частинку в магнітному полі.

§ 17 Потенціальна енергія. Взаємний зв’язок потенціальної енергії і консервативної сили [4,7]

1 Якщо на частинку діє консервативна сила, то для неї можна ввести поняття потенціальної енергії. Нескладно показати, що роботу консервативної сили при переміщенні тіла із положення 1 в положення 2 можна подати у вигляді зменшення деякої функції

Така функція називається потенціальною енергією частинки в полі консервативної сили.

Інколи потенціальну енергію позначають через Wp , U , П . Одиницею потенціальної енергії

в системі СІ є джоуль (Дж).

Зрозуміло, що введена таким чином потенціальна енергія визначається з точністю до довільної сталої. Тобто функція E′p (x, y, z) = E p (x, y, z) + C , де C – довільна стала, теж

задовольняє співвідношенню (17.1)

A12 = E p (x1, y1 , z1 ) - E p (x2 , y2 , z2 ) =

= (E′p (x1, y1 , z1 ) − C) − (E′p (x2 , y2 , z2 ) − C) = E′p (x1 , y1, z1 ) − E′p (x2 , y2 , z2 ) .

Таким чином, потенціальна енергія визначена неоднозначно, з точністю до довільної сталої. Саме тому для довільної точки простору можна вибрати довільну сталу таким чином, щоб потенціальна енергія в цій точці дорівнювала нулю.

Будемо вважати, що в положенні 2 потенціальна енергія дорівнює нулю ( E p (x2 , y2 , z2 ) = 0 ). Тоді з співвідношення (17.1) отримаємо, що

33

Використовуючи отримане співвідношення (17.2), можемо дати інше, еквівалентне визначення потенціальної енергії. Потенціальною енергією тіла в даній точці простору називається величина, яка дорівнює роботі консервативної сили при переході із даної точки простору в точку, де потенціальна енергія вважається такою, що дорівнює нулю.

2 Узагальнимо співвідношення (17.1) на випадок довільної системи матеріальних точок, на які діють лише консервативні сили.

Введемо поняття потенціальної енергії системи матеріальних точок. Потенціальною енергією системи матеріальних точок називається сума потенціальних енергій тіл, з яких

Напишемо співвідношення (17.1) для кожної матеріальної точки системи, а потім всі такі співвідношення складемо. У результаті отримаємо співвідношення аналогічне до формули (17.1), але вже не для однієї матеріальної точки, а для системи матеріальних точок

Під A12,сист розуміємо суму робіт всіх консервативних сил, що діють на матеріальні точки

системи при переході із положення 1 в положення 2.

3 Обчислимо потенціальну енергію в деяких найпростіших випадках. Порівнюючи визначення для потенціальної енергії (17.1) та вирази для роботи консервативних сил, можемо записати вирази для відповідних потенціальних енергій.

де вважаємо, що в точці з координатою x = 0 (коли пружина недеформована) потенціальна енергія дорівнює нулю.

4 Знайдемо силу, що діє на частинку в кожній точці поля, за відомим виразом для потенційної енергії E p (x, y, z) .

Нехай частинка виконала елементарне переміщення dr . У цьому випадку сили поля

З іншого боку, відповідно до формули (17.1), ця робота повинна дорівнювати зменшенню потенціальної енергії:

34