Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

Ми отримали вираз для збільшення dw густини енергії магнітного поля, що відповідає збільшенню dB магнітної індукції. Щоб знайти повну густину енергії, потрібно проінтегрувати вираз (20.6) у межах від 0 до B :

Ми отримали формули (20.6) і (20.7), розглядаючи однорідне поле. Однак ці формули є правильними й для неоднорідного поля.

Замінивши H через B /(μ0μ) , отримаємо вираз

Проникність μ у загальному випадку є функцією B (через зв’язок з H ). У випадку, коли μ не залежить від H , проникність можна винести за знак інтеграла:

H , тобто для діа- і парамагнетиків. Таким чином, отримали співвідношення (20.9), які визначають густину енергії магнітного поля. Щоб знайти повну енергію магнітного поля у будь-якому просторі, потрібно провести інтегрування

у межах цього простору.

2 У випадку соленоїда магнітне поле є однорідним, і тому (20.10) спрощується:

Підставимо у (20.11) перший вираз з (20.9), у якому використаємо відомий зв’язок між напруженістю магнітного поля в соленоїді та силою струму H = nI . Тоді енергію W магнітного поля соленоїда можна записати у вигляді

правильною не тільки для соленоїда, але й для провідника будь-якої форми. Таким чином,

провідник з індуктивністю L , по якому проходить струм силою I , має енергію

§ 21 Струм під час замикання та розмикання електричного кола [5]

За правилом Ленца, струми, що виникають внаслідок самоіндукції, спрямовані так, щоб протидіяти змінам струму у колі. Це приводить до того, що встановлення струму при

45

замиканні кола й зменшення струму при розмиканні кола відбувається не миттєво, а поступово.

Це – лінійне однорідне диференціальне рівняння першого порядку. Розділивши змінні, отримаємо рівняння

46

що має розмірність часу, яку називають сталою часу кола. Замінивши в (21.4) (R + R′) / L через 1/ τ , отримаємо формулу

Відповідно до цієї формули τ є час, протягом якого сила струму зменшується в e

разів. З (21.5) бачимо, що чим більша індуктивність кола й менший її опір, тим більша стала часу τ й тим повільніше зменшується струм у колі.

2 Проаналізуємо отриманий результат. Згідно з (21.4) ЕРС самоіндукції після

порядку, що відрізняється від рівняння (21.2) лише тим, що в правій частині замість нуля в ньому стоїть стала величина. З теорії диференціальних рівнянь відомо, що загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння можна отримати, додавши будь-яке його частинне розв’язання до загального розв’язку відповідного однорідного рівняння. Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд (21.3). Легко переконатися безпосередньо підстановкою у тому, що вираз (21.8) є частинним розв’язком рівняння (21.9). Отже, загальним розв’язком рівняння (21.9) буде функція

(рекомендуємо перевірити підстановкою, що функція (21.10) задовольняє рівняння (21.9).) У початковий момент сила струму дорівнює нулю. Підстановка в (21.10) I = 0 і t = 0

Функції (21.11) і (21.12) описують зростання струму у колі після під’єднання до неї джерела ЕРС. Графік функції (21.12) наведено на рис. 21.2 (крива 2).

ТЕМА 4 РІВНЯННЯ МАКСВЕЛЛА

§ 22 Вихрове електричне поле. Інтегральна й диференціальна форма закону електромагнітної індукції [5]

1 Як ми вже знаємо, Максвелл узагальнив закон електромагнітної індукції Фарадея.

Сутність узагальнення полягає у введенні вихрового електричного поля, яке створюється змінним у часі магнітним полем. Закон електромагнітної індукції за Максвеллом має таке формулювання: будь-яка зміна магнітного поля з часом збуджує в навколишньому просторі

вихрове електричне поле. Циркуляція вектора напруженості Eв цього поля по будь-якому нерухомому замкненому контуру Γ визначається виразом

де Φ – магнітний потік, що пронизує контур Γ . Ми тут використали для позначення швидкості зміни магнітного потоку знак частинної, а не повної похідної. Цим ми хочемо підкреслити, що контур Γ повинен бути нерухомим.

Таким чином, Максвелл припустив, що магнітне поле, яке змінюється з часом, обумовлює появу у просторі вихрового електричного поля з напруженістю Eв . Вихрове поле

Eв істотно відрізняється від електростатичного потенціального поля Eп , яке

створюється нерухомими електричними зарядами. Як відомо, електростатичне поле Eп є

консервативним (потенціальним), його лінії напруженості починаються й закінчуються на

Як бачимо, циркуляція потенціального електричного поля по довільному замкненому контуру Γ дорівнює нулю. Циркуляція ж вектора напруженості вихрового електричного

поля Eв згідно з (22.1) відмінна від нуля. Отже, поле Eв , як і магнітне поле, є вихровим. Лінії напруженості поля Eв замкнені або прямують до нескінченності.

Отже, електричне поле може бути як потенціальним ( Eп ), так і вихровим ( Eв ). У загальному випадку електричне поле може складатися з потенціального поля Eп , яке

створюється зарядами, і вихрового поля Eв , обумовленого магнітним полем, що змінюється з часом:

Циркуляція сумарного електричного поля з урахуванням (22.1) і (22.2) буде дорівнювати

Врахуємо визначення потоку магнітного поля F = òBdS й той факт, що у випадку нерухомої

S

поверхні інтегрування операції диференціювання за часом і інтегрування по поверхні можна

Підкреслимо, у співвідношенні (22.5) площа інтегрування S «надіта» на контур інтегрування

Γ . Рівняння (22.5) виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла. В основі цього рівняння лежить ідея

нескладно перетворити рівняння (22.5), що виражає закон електромагнітної індукції в інтегральній формі, в рівняння, яке має диференціальну форму:

Рівняння (22.7) виражає закон електромагнітної індукції в диференціальній формі, воно є одним з основних в електромагнітній теорії Максвелла.

§ 23 Струм зміщення Максвелла [5, 9]

1 З'ясуємо вигляд законів електромагнетизму, які є вірними у випадку змінних електромагнітних полів. Такі закони були встановлені Максвеллом. До рівнянь,

запропонованих Максвеллом, можна прийти шляхом послідовного узагальнення дослідних фактів. Слід вирішити, які з отриманих раніше рівнянь можуть бути збережені, які повинні бути відкинуті і які потрібно доповнити. Є один керівний принцип, що дозволяє просунутися у цьому напрямку. Варто виключити з основних такі рівняння, в основі яких лежить уявлення про безпосередню дію на відстані. До них відносять закони Кулона, Біо-Савара-

Лапласа та ін. Ці закони несумісні з експериментально підтвердженим уявленням про скінченну швидкість поширення взаємодій, а тому не можуть залишатися правильними у всіх випадках. Потрібно зберегти тільки такі рівняння, які не суперечать уявленням теорії поля. Відзначимо, що коли рівняння задовольняє вимоги теорії поля, то його можна подати як в інтегральному, так і диференціальному вигляді. Максвелл висунув гіпотезу, яка потім експериментально була підтверджена, що загальними законами електродинаміки (тобто справедливими й для постійних, і для змінних у часі полів) є такі закони:

§теорема Гаусса для електричного поля в діелектрику в інтегральному