ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 219
Скачиваний: 0
РОЗДІЛ 2 КОЛИВАННЯ І ХВИЛІ
ТЕМА 5 КОЛИВАЛЬНІ ПРОЦЕСИ
§ 25 Гармонічні коливання та їх характеристики. Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Зміна енергії при гармонічному коливанні [5]
1 Загальні відомості про коливання. Коливаннями називаються рухи або процеси,
що так чи інакше повторюються у часі. Таку властивість мають, наприклад, рух маятника годинника, коливання струни або ніжок камертона, напруга між обкладками конденсатора в контурі радіоприймача й т.п.
Коливання часто зустрічаються в природі й техніці. Коливання можуть бути різної природи, наприклад, механічними, електромагнітними і т.д.
Залежно від характеру впливу на коливальну систему розрізняють вільні (або власні) коливання, вимушені коливання, автоколивання й параметричні коливання.
Вільними, або власними називаються такі коливання, що відбуваються в системі, яка надана сама собі, після виведення її з положення рівноваги. Прикладом можуть бути коливання кульки, яка підвішена на нитці (маятник). Для того щоб викликати коливання, можна або штовхнути кульку, або, відвівши убік, відпустити її.
Вимушеними називаються такі коливання, у процесі яких на коливальну систему діє зовнішня періодична сила. Прикладом є коливання моста, які виникають при проходженні по ньому людей, що крокують у ногу.
Автоколивання, як і вимушені коливання, супроводжуються впливом на коливальну систему зовнішньої сили, однак моменти часу, коли здійснюються ці впливи, задаються самою коливальною системою, тобто система сама керує зовнішнім впливом. Прикладом автоколивальної системи є годинник, у яких маятник отримує поштовхи за рахунок енергії піднятої гирі або закрученої пружини. При цьому ці поштовхи відбуваються в моменти проходження маятника через середнє положення.
При параметричних коливаннях за рахунок зовнішнього впливу відбувається періодична зміна будь-якого параметра системи. Наприклад, періодично може змінюватися довжина нитки, до якого підвішена кулька, що виконує коливання, або ємність конденсатора, яка включена в коливальний контур.
Найпростішими є гармонічні коливання, тобто такі коливання, при яких коливальна величина змінюється з часом за законом синуса або косинуса. Цей вид коливань особливо важливий через такі причини: по-перше, коливання в природі й техніці часто мають характер, дуже близький до гармонічних коливань, і, по-друге, періодичні процеси іншої форми (з іншою залежністю від часу) можуть бути подані як суперпозиція декількох гармонічних коливань.
2 Гармонічні коливання та їх характеристики. У випадку гармонічних коливань зміни з часом коливальної величини x описуються формулою
|
або |
|
. |
|
x = Acos(ω0t + α) |
x = Asin(ω0t + α) |
(25.1) |
Надалі ми будемо віддавати перевагу запису гармонічних коливань за допомогою косинуса.
Величина x характеризує зміщення величини, що коливається, від положення рівноваги і називається зміщенням.
Найбільше значення величини, що коливається, називається амплітудою коливань.
Амплітуда A – стала додатна величина. Надалі, крім букви A , ми будемо позначати амплітуду символом коливальної величини з індексом m , наприклад, xm .
Величина (ω0t + α) , що стоїть під знаком косинуса (або синуса), називається фазою коливань.
54
Стала величина α – значення фази в момент часу t = 0 – називається початковою фазою коливань. Через те що значення x не змінюється при додаванні або відніманні з фази цілого числа 2π, завжди можна виконати умову, щоб початкова фаза була за модулем менше π . Тому, як правило, розглядаються тільки значення α , що лежать у межах від − π до + π .
Найменший проміжок часу, через який коливальна величина повертається у вихідне положення, називається періодом коливань T . Оскільки косинус – періодична функція з періодом 2π, то однаковим станам коливальної системи, що повторюються через період T , відповідає зміна фази на 2π. Звідси знаходимо, що
[ω0 (t +T )+ α)]= (ω0t + α)+ 2π , |
|
||||
або |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
T = 2π / ω0 |
. |
(25.2) |
||
Кількість коливань в одиницю часу називається частотою коливань ν . Очевидно, |
|||||
що частота ν пов'язана з періодом коливань T співвідношенням |
|
||||
|
|
|
. |
|
(25.3) |
|
|
ν = 1/T |
|
||
Частоту вимірюють в системі СІ в 1/с, або герцах (Гц), 1 Гц=1 с-1. |
|
||||
З (25.2) випливає, що |
|
||||
|
|
|
|
||
|
ω0 = 2π /T |
. |
(25.4) |
||
Величину ω0 з співвідношення (25.1) називають круговою, або циклічною, частотою. Вона пов'язана зі звичайною частотою ν співвідношенням
|
|
|
|
|
ω0 = 2πν |
. |
(25.5) |
3 Диференціальне рівняння гармонічних коливань. Розглянемо тіло, що виконує |
|||
коливання уздовж осі X . У цьому випадку вираз |
|
||
x = Acos(ω0t + α) |
(25.6) |
||
визначає зміщення тіла відносно положення рівноваги.
Продиференцiюємо (25.6) за часом і отримаємо вираз для проекції швидкості тіла на вісь X :
υx = x = −Aω0 sin(ω0t + α)= Aω0 cos(ω0t + α + π / 2). |
(25.7) |
& |
|
Із цієї формули випливає, що швидкість також змінюється за гармонічним законом, причому амплітуда швидкості дорівнює Aω0 . З порівняння виразів (25.6) і (25.7) випливає, що
швидкість випереджає зміщення за фазою на π / 2.
Продиференцiюємо (25.7) ще раз за часом і знайдемо вираз для проекції прискорення
на вісь X : |
|
|
|
&& |
2 |
2 |
(25.8) |
ax = x |
= −Aω0 cos(ω0t + α)= Aω0 cos(ω0t + α + π). |
||
Порівнюючи (25.8) з (25.6), можна зробити висновок, що прискорення й зміщення знаходяться у протилежних фазах (різниця відповідних фаз дорівнює π ). Це означає, що в той момент, коли зміщення досягає найбільшого додатного значення, прискорення досягає найбільшого за модулем від’ємного значення і навпаки.
Замінимо у (25.8) Acos(ω0t + α) через x (див. (25.6) і отримаємо
&& |
2 |
&x&+ ω2 x = 0 |
. |
(25.9) |
x |
= −ω0 x , або |
0 |
Співвідношення (25.9) називають диференціальним рівнянням гармонічних коливань.
Очевидно, що функція (25.6) є загальним розв’язком цього рівняння. Величини A й α – довільні сталі, значення яких для кожного конкретного коливання визначаються з початкових умов. У всіх випадках, коли з'ясовується, що деяка величина x задовольняє
55
рівнянню &x&+ bx = 0 (де b > 0 ), можна стверджувати, що ця величина змінюється з часом за гармонічним законом, причому корінь із b дає кругову частоту коливань.
4 Зміна енергії при гармонічному коливанні. Визначимо силу F , що діє на тіло масою m , яке виконує гармонічні коливання. Відповідно до другого закону Ньютона проекція сили на вісь X дорівнює Fx = m&x&. Скориставшись співвідношенням (25.9),
отримаємо, що
F |
= -mw2 x = -kx , |
(25.10) |
x |
0 |
|
де |
|
|
|
k = mw2 . |
(25.11) |
|
0 |
|
Таким чином, сила пропорційна зміщенню. Знак мінус означає, що напрями сили й зміщення протилежні. Умові (25.10) задовольняє сила пружності. Тому сили, що мають вигляд (25.10),
незалежно від їх природи називають квазіпружними.
Квазіпружна сила обумовлює наявність у тіла потенціальної енергії
W |
p |
= |
kx2 |
= |
kA2 |
cos2 (w t + a). |
(25.12) |
|||||
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
0 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Кінетична енергія тіла |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
|
|||
W = |
mx |
|
= mA |
w0 |
sin2 (w t + a). |
(25.13) |
||||||
|
|
|||||||||||
k |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Як відомо, повна енергія системи дорівнює сумі потенціальної та кінетичної енергій. Склавши вирази (25.12) і (25.13) і взявши до уваги рівність (25.11), отримуємо для повної енергії системи вираз
W =W +W |
p |
= mA2w02 |
(cos2 (w t + a)+ sin2 |
(w t + a))= mA2w02 |
×1 = kA2 |
= const |
. (25.14) |
|
k |
2 |
0 |
0 |
2 |
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|||
Таким чином, у процесі коливань повна енергія системи залишається постійною, відбувається перетворення кінетичної енергії в потенціальну й навпаки.
§ 26 Періоди коливань фізичного, математичного та пружинного маятників [5]
1 Пружинний маятник. Пружинним маятником називається система, що складається з тіла маси m , яке підвішене на невагомій пружині жорсткості k (рис. 26.1).
У стані рівноваги сила тяжіння mg , яка діє на тіло масою m , врівноважується пружною силою kDl0 :
mg = kDl0 , |
(26.1) |
де Dl0 – видовження пружини. Будемо характеризувати зміщення тіла від положення
рівноваги координатою x , причому вісь X направимо вертикально вниз, а нуль осі розмістимо у положенні рівноваги (див. рис. 26.1). Якщо змістити тіло в положення, яке характеризується координатою x , то видовження пружини стане дорівнювати Dl0 + x і
проекція на вісь X результуючої сили, що діє на тіло, набуде значення
Fx = mg - k(Dl0 + x). |
|
Врахувавши умову (26.1), отримаємо, що |
|
Fx = -kx . |
(26.2) |
Отже, результуюча сили тяжіння й пружної сили має характер квазіпружної сили. |
|
56
Змістимо тіло на відстань x = A від положення рівноваги і відпустимо. Під дією квазіпружної сили тіло почне рухатися у напрямку положення рівноваги з усе зростаючою швидкістю x& . При цьому потенціальна енергія системи буде зменшуватись, але натомість з'явиться все зростаюча кінетична енергія
Wk = mx&2 / 2 (масою пружини нехтуємо). Пройшовши
через положення рівноваги, тіло буде рухатися далі за інерцією. Цей рух припиниться тоді, коли кінетична енергія повністю перетвориться в потенціальну, тобто коли зміщення тіла стане дорівнювати (−A) . Потім такі ж перетворення енергії
будуть відбуватися при русі тіла у зворотному напрямку. Якщо тертя в системі відсутнє, енергія системи повинна зберігатися, й тіло буде рухатися в межах від x = A до x = −A необмежено довго.
Знайдемо рівняння, яке описує рух тіла у пружинному маятнику. Для цього використаємо рівняння другого закону Ньютона з урахуванням (26.2) і отримаємо
m&x& = −kx ,
або
l0 |
|
l0 + l0 |
k |
l0 |
|
|
|
0 |
|
mg |
x |
|
|
X
Рисунок 26.1 – Пружинний маятник: l0 – довжина недеформованої
пружини; l0 – видовження
пружини, що відповідає положенню рівноваги; x – зміщення кульки від положення рівноваги
|
(26.3) |
x + (k / m)x = 0 |
|
&& |
|
(k / m)> 0 . Ми прийшли до диференціального рівняння гармонічних коливань. Відомо, що розв’язком цього рівняння є функція
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x = Acos(ω0t + α) |
, |
(26.4) |
||||
де циклічна частота |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω0 = |
|
|
. |
|
|
|
k / m |
(26.5а) |
|||||
Таким чином, тіло буде виконувати |
гармонічні коливання відносно положення |
|||||
рівноваги, які описуються співвідношенням |
(26.4). Частота цих коливань визначається |
|||||
(26.5а) і буде тим більша, чим більша жорсткість пружини k |
й чим менша маса тіла m . |
|||||
Період коливань пружинного маятника можна знайти, використовуючи формулу (26.5а), |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
T = 2π / ω0 = 2π |
|
|
. |
|
|
m / k |
(26.5б) |
|||||
2 Математичний маятник. Математичним маятником називають систему, яка складається з невагомої нитки, що не розтягується, до якої підвішене тіло, яке можна вважати матеріальною точкою. Досить гарним наближенням математичного маятника є невелика важка кулька, яка підвішена на довгій тонкій нитці.
Відхилення маятника від положення рівноваги природно характеризувати кутом ϕ , який утворює нитка з вертикаллю (рис. 26.2). Тіло рухається під дією сили тяжіння mg та
сили натягу нитки Fн . При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут ϕ виникає момент сили тяжіння відносно осі обертання O , модуль якого дорівнює mgl sin ϕ ( m – маса, а l – довжина маятника, l sin ϕ – плече сили mg ). Плече сили натягу нитки при цьому дорівнює нулю тому, що лінія сили Fн проходить через точку обертання O . Звідси випливає,
що і момент сили натягу нитки також дорівнює нулю. Таким чином, результуючий момент сил визначається моментом сили тяжіння. Дія моменту сил спрямована так, щоб повернути
57
маятник у положення рівноваги. Подібне відбувається і у випадку квазіпружної сили. Через це результуючому моменту M й кутовому зміщенню ϕ потрібно приписувати протилежні
знаки. Отже, вираз для результуючого моменту сили, що діє на математичний маятник, має вигляд
|
|
|
|
|
M = −mgl sin ϕ . |
|
|
|
(26.6) |
|||||
Використаємо для маятника рівняння динаміки |
O |
l sin ϕ |
|
|
|
|||||||||
|
|
|||||||||||||
обертального руху Iβ = M . Позначивши кутове прискорення |
|
|
|
|
|
|||||||||
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
через β = ϕ , і, врахувавши, що момент інерції матеріальної |
|
|
|
|
|
|
||||||||
точки дорівнює I = ml2 , отримуємо співвідношення |
|
|
ϕ |
l |
|
|
|
|||||||
|
ml |
2 |
&& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ϕ = −mgl sin ϕ, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
яке можна звести до вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
&& |
|
|
|
|
(26.7) |
|
|
F |
|
|
|
|||
|
ϕ + (g / l)sin ϕ = 0 . |
|
|
н |
|
|
|
|||||||
У випадку малих коливань ϕ << 1 і sin ϕ ≈ ϕ. Тоді рівняння |
|
|
|
|
|
mg |
||||||||
(26.7) набере вигляду |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
Рисунок 26.2 – Математич- |
|||||||||
|
|
|
|
|
. |
|
(26.8) |
|||||||
|
|
&& |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ϕ + (g / l)ϕ = 0 |
|
ний маятник: l sin ϕ – плече |
||||||||||
Таким чином, ми знову прийшли до диференціального |
||||||||||||||
сили mg ; |
плече |
сили |
Fн |
|||||||||||
рівняння гармонічних коливань. Його розв’язком є функція |
||||||||||||||
дорівнює |
нулю |
тому, |
що |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ϕ = ϕm cos(ω0t + α) |
, |
(26.9) |
|||||||||||
|
лінія сили Fн проходить |
|||||||||||||
де ϕm – амплітуда коливань (найбільший кут, на |
який |
|||||||||||||
через точку обертання O |
||||||||||||||
відхиляється маятник від положення рівноваги). Отже, при малих коливаннях кутове відхилення математичного маятника змінюється з часом за гармонічним законом.
З порівняння рівнянь (26.8) і рівняння гармонічних коливань отримуємо для циклічної
частоти математичного маятника вираз |
|
ω0 = g / l , |
(26.10) |
з якого випливає, що частота коливань математичного маятника залежить тільки від довжини маятника й прискорення вільного падіння й не залежить від маси маятника. Період коливань математичного маятника буде дорівнювати
T = 2π / ω0 = 2π |
|
|
. |
|
l / g |
(26.11) |
Чим довший маятник, тим повільніше він коливається.
3 Фізичний маятник. Фізичним маятником
називається тверде тіло, що може обертатися під дією сили тяжіння відносно нерухомої осі, що не проходить через центр тяжіння тіла. При відхиленні маятника від положення рівноваги на кут ϕ виникає момент сили, що прагне повернути
маятник у положення рівноваги. Цей момент дорівнює
M = −mgl sin ϕ , |
(26.12) |
де m – маса маятника, а l – відстань від точки підвісу |
O до |
центра мас маятника C (рис. 26.3). Знак мінус пов’язаний з тим, що момент сили діє так, щоб повернути тверде тіло у положення рівноваги.
Позначивши момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку підвісу O , через I , можна написати
&& |
(26.13) |
Iϕ = −mgl sin ϕ . |
O l
ϕ
C
mg
Рисунок 26.3 – Фізичний маятник: l – відстань від точки підвісу до центра мас C
58
