ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 232
Скачиваний: 0
У випадку малих коливань ( ϕ << 1 , sin ϕ ≈ ϕ) рівняння (26.13) переходить у диференціальне рівняння гармонічних коливань:
|
|
&& |
2 |
ϕ = 0 |
, |
|
(26.14) |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
ϕ + ω0 |
|
||||||
де |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
ω0 = |
|
|
|
|
. |
|
||
mgl / I |
(26.15) |
||||||||
З формул (26.14) і (26.15) випливає, що при малих відхиленнях від положення рівноваги фізичний маятник виконує гармонічні коливання, частота яких залежить від маси маятника, моменту інерції маятника відносно осі підвісу й відстані від точки O підвісу до центра мас C маятника. Використовуючи (26.15) неважко знайти період коливань фізичного маятника:
T = 2π / ω0 = 2π |
|
|
. |
|
I / mgl |
(26.16) |
За теоремою Штейнера момент інерції маятника I може бути поданий у вигляді
I = IC + ml2 ,
де IC – момент інерції відносно осі, яка паралельна осі підвісу й проходить через центр мас C . Тоді циклічна частота (26.15) й період коливань (26.16) можуть бути подані у вигляді
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ω = |
|
|
|
|
|
T = 2π |
|
|
|
|
|
|
mgl /(I |
C |
+ ml2 ) |
, |
(I |
C |
+ ml2 )/(mgl) |
. |
(26.17) |
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 27 Електричний коливальний контур. Частота коливань [5]
1 При розгляді електричних коливань ми маємо справу зі струмами, що змінюються у часі. Закон Ома й правила Кірхгофа були встановлені для постійного струму. Однак вони залишаються справедливими й для миттєвих значень змінних струмів і напруг, якщо тільки їх зміни відбуваються не занадто швидко. Електромагнітні збурювання поширюються вздовж електричного кола з величезною швидкістю, що дорівнює швидкості світла c . Якщо за час t = l / c ( l – довжина кола, c – швидкість світла), який необхідний для передачі збурення в найвіддаленішу точку кола, сила змінного струму майже не змінюється, то миттєві значення сили струму у всіх перерізах кола можна вважати однаковими. Струми, що задовольняють таку умову, називаються квазістаціонарними. Для періодично змінних струмів умова квазістаціонарності має вигляд
t = l / c << T ,
де T – період коливальних процесів. Миттєві значення квазістаціонарних струмів задовольняють закон Ома. Отже, для них справедливі й правила Кірхгофа. При вивченні електричних коливань ми будемо припускати, що розглянуті нами струми є квазістаціонарними.
2 Коливальним контуром називається |
коло, що |
|
|
+ q |
|
C |
|
|||
складається з котушки з індуктивністю L і конденсатора з |
|
|
|
|
− q |
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
ємністю C . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
1 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
||||||
Знайдемо рівняння коливань у контурі, в якому опір |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
дорівнює нулю ( R = 0 ). Застосуємо закон Ома для ділянки кола |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1-3-2 (див. рис. 27.1): |
|
|
|
I |
3 |
|
|
|
||
IR = ϕ1 − ϕ2 + Es . |
(27.1) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Різницю потенціалів на конденсаторі визначимо із |
|
|
|
|
L |
|
||||
співвідношення |
|
|
|
Рисунок 27.1 |
|
|||||
ϕ1 − ϕ2 = q1 / C = (− q)/ C . |
(27.2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
59 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Тут використали, що заряд пластини конденсатора 1 q1 = −q (див. рис. 27.1).
Сила струму I є додатною, коли напрям струму співпадає з напрямом обходу ділянки кола 1-3-2, тобто за годинниковою стрілкою. В цьому разі заряд на пластині конденсатора q2 = q пов’язаний з силою струму в ділянці кола наступним співвідношенням
|
|
I = +dq / dt = +q . |
(27.3) |
||||||
& |
|
|
= q збільшується ( q > 0 ). |
||||||
Знак «+» обумовлений тим, що, коли струм I є додатним, заряд q2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
Підставимо в (27.1) закон самоіндукції Es = −L dI / dt , співвідношення (27.2) й (27.3), |
|||||||||
умову R = 0 й отримуємо |
(27.4) |
||||||||
|
|
0 = −q / C − L q . |
|||||||
&& |
|
|
|
||||||
Далі, виконавши прості перетворення, прийдемо до диференціального рівняння |
|||||||||
гармонічних коливань |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
(27.3) |
|
|
q + (1/(LC))q = 0 |
|
||||||
|
|
&& |
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, заряд на обкладках конденсатора змінюється за гармонічним законом |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
q = qm cos(ω0t + α) |
|
(27.4) |
||||||
с частотою |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
ω0 = 1/ |
|
|
. |
|
||
|
|
LC |
(27.5) |
||||||
Ця частота називається власною частотою контуру. Для періоду коливань знаходимо так звану формулу Томсона:
T = 2π |
|
|
. |
|
LC |
(27.6) |
Зрозуміло, що напруга на конденсаторі та сила струму в коливальному контурі також змінюються за гармонічним законом.
§ 28 Векторна діаграма. Додавання двох гармонічних коливань одного напрямку й частоти [5]
1 Розгляд багатьох питань, зокрема додавання декількох гармонічних коливань одного напрямку й однакової частоти, значно полегшується й стає наочним, якщо зображувати коливання графічно у вигляді векторів на площині. Схема, в якій коливання зображуються графічно у вигляді векторів на площині, називається векторною діаграмою.
Візьмемо вісь X , уздовж якої будемо відкладати коливальну величину x (рис. 28.1). З узятої на осі точки O відкладемо вектор довжиною A , що утворює із віссю X кут α . Якщо обертати цей вектор з кутовою швидкістю ω0 відносно точки O , то
Y
ω0
A
αX
O x
проекція кінця вектора A на |
вісь X |
буде |
Рисунок 28.1 – Векторна діаграма |
||
змінюватись за законом |
|
|
|||
|
|
гармонічного |
коливання |
з |
|
x = Acos(ω t + α) . |
|
(28.1) |
|||
0 |
|
|
амплітудою A й початковою фазою |
||
Таким чином, гармонічне |
коливання |
може |
α |
|
|
бути заданим за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям утворює з віссю X кут, що дорівнює початковій фазі коливань. Схема, яка зображена на рис. 28.1, є векторною діаграмою гармонічного коливання (28.1).
60
2 Розглянемо |
|
додавання |
двох |
|
|
|
Y |
|
|
|
|
|
|||
гармонічних коливань одного напрямку й |
|
|
|
|
|
|
|
A |
|||||||
|
|
|
|
|
|
K |
|
||||||||
однакової частоти. Знайдемо параметри |
y1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
результуючого коливання |
x , яке буде сумою |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
коливань x1 і x2 , які визначаються функціями |
|
|
|
|
A2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
x1 = A1 cos(w0t + a1 ), |
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
(a2 - a1) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 = A2 cos(w0t + a2 ). |
|
(28.2) |
y2 |
|
|
|
A1 |
|
|
|
a1 |
|||
З фізичних міркувань зрозуміло, що |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|||||||
|
|
|
|
|
|
M |
|
||||||||
результуюче коливання |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
x = x1 + x2 |
|
(28.3) |
a2 |
|
|
α1 |
α |
|
|
|
B |
||
буде гармонічним |
коливанням |
з |
частотою |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x1 |
|
x2 |
|
|
|||||||
|
|
O |
|
|
|
X |
|||||||||
коливань |
w0 |
(як |
і коливання |
x1 |
та x2 ), |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||
амплітудою A та початковою фазою |
α : |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
x = Acos(w0t + a). |
|
(28.4) |
Рисунок 28.2 – Векторне |
|
додавання двох |
||||||||
Таким чином, задача про додавання двох |
гармонічних коливань одного напрямку й |
||||||||||||||
однакової частоти |
|
|
|
|
|
||||||||||
гармонічних коливань одного напрямку й |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
однакової частоти зводиться до знаходження невідомої амплітуди |
A |
й невідомої |
|||||||||||||
початкової фази α результуючого коливання x . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Використаємо метод векторних діаграм. Подамо обидва коливання за допомогою |
|||||||||||||||
векторів |
A1 і |
A2 (рис. 28.2). Побудуємо за правилами додавання векторів результуючий |
|||||||||||||
вектор A . З рисунка випливає, що проекція цього вектора на вісь X дорівнює сумі проекцій |
|||||||||||||||
векторів, |
що додаються: |
x = x1 + x2 , |
що збігається з (28.3). Отже, |
вектор |
A |
пов’язаний з |
|||||||||
результуючим коливанням x . Цей вектор обертається з тією ж кутовою швидкістю w0 , як і вектори A1 й A2 . Тобто, сума x1 і x2 є гармонічним коливанням із частотою w0 , амплітудою
A й початковою фазою α . |
A й початкову фазу α результуючого коливання x , |
Визначимо невідомі амплітуду |
|
виходячи з геометричних міркувань |
(див. рис. 28.2). Розглянемо трикутник OMK , |
застосуємо теорему косинусів і одержимо
|
A2 = A2 + A2 - 2A A cos[p - (a |
2 |
- a )] |
= A2 |
+ A2 + 2A A cos(a |
2 |
- a ) |
. |
|||||||||||
|
1 |
2 |
1 |
2 |
|
|
|
1 |
1 |
2 |
|
1 |
2 |
1 |
|||||
Тут використали, що кут |
ÐOMK = p - (a2 - a1) . Далі позначивши через |
y1 , y2 |
|||||||||||||||||
проекції векторів A1 , |
A2 , відповідно на осі Y , X |
неважко знайти з трикутника |
|||||||||||||||||
рис. 28.2, що |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
tga = |
y1 + y2 |
= |
A1 sin a1 + A2 sin a2 |
|
. |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
x + x |
2 |
A cosa + A cosa |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|||
(28.5)
та x1 , x2
OBK на
(28.6)
Співвідношення (28.5) та (28.6) є розв’язанням поставленої вище задачі. Таким чином, метод векторних діаграм дозволяє додавання гармонічних функцій (коливань) замінити додаванням векторів.
Формули (28.2) і (28.3) можна, звичайно, отримати із тригонометричних міркувань, розв’язавши тригонометричне рівняння
Acos(w0t + a)= A1 cos(w0t + a1 )+ A2 cos(w0t + a2 ) ( x = x1 + x2 )
відносно амплітуди A і фази α . Але графічний спосіб отримання цих формул є більш простим і наочним. Ці переваги особливо є корисними у випадку, коли доводиться складати велику кількість коливань.
61
§ 29 Биття [5]
1 Розглянемо випадок, коли два гармонічних коливання одного напрямку, які додаються, мало відрізняються за частотою. Процес, який при цьому виникає, можна розглядати як квазігармонічне коливання з пульсуючою амплітудою. Таке коливання називається биттям.
Позначимо частоту одного з коливань через ω , частоту іншого коливання через ω + ω . За умовою ω << ω . Амплітуди коливань будемо вважати однаковими й такими, що
дорівнюють |
A . Щоб спростити математичні перетворення, припустимо, що початкові фази |
||||||||||||
обох коливань дорівнюють нулю. Тоді рівняння коливань будуть мати вигляд |
|||||||||||||
|
x1 = Acoswt , |
|
x2 = Acos[(w+ Dw)t] . |
|
|||||||||
Склавши ці |
вирази й застосувавши |
формулу |
|
для |
суми |
косинусів cosα + cosβ = |
|||||||
= 2cos((a + b) / 2)×cos(a -b) / 2), отримуємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x = x |
+ x = |
æ |
2Acos |
Dw |
ö |
|
(29.1) |
|||||
|
ç |
2 |
|
t ÷coswt , |
|||||||||
|
1 |
2 |
è |
|
|
|
|
|
|
ø |
|
|
|
де у другому множнику ми знехтували доданком |
ω/ 2 |
у порівнянні з ω. Графік функції |
|||||||||||
(29.1) зображений на рис. 29.1а. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T = |
2p |
|
|
|
|
|
|
||||
|
x |
w |
|
|
|
M 2 |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
|
TA = 2p/ Dw |
|
|||||
|
б |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
Рисунок 29.1 – а) – Графік биття, побудований для ω/ |
ω = 10, і б) – |
||||||||||||
графік змін амплітуди |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Множник у дужках у формулі (29.1) змінюється набагато повільніше, ніж інший множник. Через умову ω << ω протягом часу, за який cosωt робить кілька повних коливань, множник у дужках майже не змінюється. Це дає підставу розглядати процес (29.1) як майже гармонічне коливання частоти ω, амплітуда якого змінюється за деяким періодичним законом. Множник, що знаходиться у дужках, не може виражати закон зміни амплітуди, тому що він змінюється в межах від − 2A до + 2A , у той час як амплітуда за визначенням є додатною величиною. Графік амплітуди подано на рис. 29.1б. Аналітичний вираз амплітуди має такий вигляд:
|
Dw |
t |
|
|
||
амплітуда = |
2Acos |
. |
(29.2) |
|||
|
||||||
|
2 |
|
|
|
||
Цей вираз є періодичною функцію із частотою, яка у два рази перевищує частоту гармонічної функції, що знаходиться під знаком модуля, тобто із частотою ω (див. рис. 29.1б). Отже, частота пульсацій амплітуди – її називають частотою биття – дорівнює різниці частот коливань, що складаються.
Зазначимо, що множник 2Acos( ω/ 2)t не тільки визначає амплітуду, але й впливає на фазу коливання. Це проявляється, наприклад, у тому, що відхилення, які відповідають
62