Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

Тут ex і ey – орти координатних осей X і Y , A і B – амплітуди коливань. Величинами x й y можуть бути, наприклад, зміщення матеріальної точки від положення рівноваги або

визначають координати частинки на площині XY . У випадку електричних полів величини (30.2) визначають координати кінця результуючого вектора напруженості поля E .

Частинка або кінець вектора E будуть рухатися по деякій траєкторії, вид якої залежить від різниці фаз обох коливань α . Вирази (30.2) фактично задають у параметричній формі рівняння цієї траєкторії. Щоб отримати рівняння траєкторії у звичайному вигляді, потрібно виключити з рівнянь (30.2) параметр t . З першого рівняння випливає, що

Розкладемо косинус у другому рівнянні (30.2) за формулою для косинуса суми: cos(ωt + α) = cosωt cosα − sin ωt sin α ,

підставляючи при цьому замість cosωt і sin ωt їх значення (30.3) і (30.4). У результаті отримаємо

Це рівняння за допомогою простих перетворень можна звести до вигляду

Ми отримали рівняння еліпса, осі якого повернуті відносно координатних осей X і Y . Орієнтація еліпса і його півосі залежать від амплітуд A і B й різниці фаз α .

2 Проведемо дослідження отриманого результату (30.5). Визначимо форму траєкторії для ряду окремих випадків.

1 Різниця фаз α дорівнює нулю. У цьому випадку рівняння (30.5) спрощується таким чином:

Звідси отримуємо рівняння прямої:

63

Результуючий рух є гармонічним коливанням уздовж цієї прямої із частотою ω й

(рис. 30.1б).

Y

a = - p2

B

A 1

a = + p2

Рисунок 30.2 – Траєкторія частинки при різниці фаз α = ±π / 2

Півосі еліпса дорівнюють відповідним амплітудам коливань. При рівності амплітуд A і B еліпс перетворюється у коло.

Випадки α = +π / 2 й α = −π / 2 відрізняються напрямом руху по еліпсу або колу. Якщо α = +π / 2 , рівняння (30.2) можна записати таким чином:

64

У момент t = 0 тіло знаходиться у точці 1 (рис. 30.2). У наступні моменти часу координата x зменшується, а координата y стає від’ємною. Отже, рух відбувається за годинниковою

стрілкою.

При α = −π / 2 рівняння (30.2) мають вигляд

x = Acosωt , y = B sin ωt .

Звідси робимо висновок, що рух відбувається проти годинникової стрілки. Зі сказаного випливає, що рівномірний рух по колу радіуса R з кутовою швидкістю ω може бути поданий як сума двох взаємно перпендикулярних коливань:

(знак плюс у виразі для y відповідає руху проти годинникової стрілки, знак мінус – руху за

годинниковою стрілкою).

3 У випадку, коли частоти взаємно перпендикулярних коливань відрізняються на дуже малу величину ω , їх можна розглядати як коливання однакової частоти, але з повільно змінною різницею фаз. Дійсно, рівняння коливань можна подати у вигляді

x = Acosωt , y = B sin[ωt + ( ωt + α)]

і вираз ωt + α розглядати як різницю фаз, що повільно змінюється з часом за лінійним законом. Результуючий рух у цьому випадку відбувається по повільно змінній кривій, яка буде послідовно набирати форми, що відповідає всім значенням різниці фаз від − π до + π .

4 Якщо частоти взаємно перпендикулярних коливань не однакові, то траєкторії результуючого руху мають вигляд досить складних кривих, які називаються фігурами Ліссажу. На рис. 30.3 і рис. 30.4 наведені приклади таких фігур. Іноді фігурами Ліссажу називають також і траєкторії (зокрема, еліптичні криві), які виникають при складанні взаємно перпендикулярних коливань однакової частоти.

Y Y

§ 31 Диференціальне рівняння загасаючих коливань [5]

У всякій реальній коливальній системі завжди є або сила тертя (у механічній системі), або активний електричний опір (у коливальному контурі), дія яких приводить до зменшення енергії системи. Якщо зменшення енергії не компенсується, то коливання будуть загасати.

1 Розглянемо механічні загасаючі коливання. У найпростішому випадку сила тертя

(наприклад, сила в’язкого тертя) пропорційна швидкості:

65

Тут r – стала, яку ми будемо називати коефіцієнтом тертя. Знак мінус обумовлений тим,

що сила F й швидкість υ спрямовані у протилежні сторони, внаслідок чого їх проекції на вісь X мають різні знаки.

частотою коливальної системи, тобто та частота, з якої коливалася б система за умови відсутності тертя. Таким чином, отримали диференціальне рівняння (31.4), що визначає поведінку коливальної величини x за наявності сили тертя. Це рівняння називають

диференціальним рівнянням загасаючих коливань.

2 Розглянемо загасаючі електричні коливання. Нехай у коливальному контурі, крім ємності C й індуктивності L , є активний опір R (рис. 31.1). Застосуємо закон Ома для

Отримане рівняння подібне до (31.4), яке описує механічні коливання, і має таку саму назву:

диференціальне рівняння загасаючих коливань. Величину β в (31.10), як і у випадку механічної системи, називають коефіцієнтом загасання; ω0 є власною частотою

контуру, тобто та частота, з якої відбувалися б коливання за умови відсутності активного опору. Таким чином, отримали диференціальне рівняння (31.10), що визначає поведінку коливальної величини q за наявності активного опору в коливальному контурі.

66

Із порівняння формул (31.3) і (31.9) випливає, що опір R відіграє роль коефіцієнта тертя r , індуктивність L – роль маси, величина, що зворотна ємності C , – роль коефіцієнта квазіпружної сили k .

§ 32 Розв’язання диференціального рівняння загасаючих коливань. Коефіцієнт загасання, декремент загасання, логарифмічний декремент загасання, добротність [5]

та частота, з якою коливалася б система за умови відсутності загасання). Величина x може бути механічним зміщенням частинки, електричним зарядом на конденсаторі й т.д.

67