Файл: Lysenko_physics_lek_2.pdf

У цих рівняннях Um , Ω – амплітуда напруги і частота зовнішнього джерела змінної напруги, ω0 , β , L є відповідно власна частота, коефіцієнт загасання й індуктивність коливального

контуру.

Проведемо дослідження амплітуди вимушених коливань A (див. (34.2)) залежно від частоти вимушених коливань Ω . Залишаючи амплітуду Um зовнішнього джерела постійною, будемо змінювати його частоту Ω . При Ω = 0 отримаємо під дією постійної напруги статичне відхилення q0 . При зростанні частоти Ω амплітуда A також зростає, має різкий максимум в області частот, які близькі до власної частоти коливальної системи ω0 ,

стоїть під коренем (34.2) у знаменнику. Продиференціювавши цей вираз за Ω й прирівнявши отриману похідну до нуля, отримаємо умову, що визначає резонансну частоту Ω рез :

− 4(ω20 − Ω2 )Ω + 8β2Ω2 = 0.

Це рівняння має три розв’язки: Ω = 0 і Ω = ±ω20 − 2β2 . Розв’язок, що дорівнює нулю,

відповідає максимуму знаменника (тобто мінімуму амплітуди). З інших двох розв’язків, що є від’ємним, потрібно відкинути, як такий, що не має фізичного змісту (частота не може бути від’ємною). Таким чином, для резонансної частоти отримуємо

Із цього виразу випливає, що за умови відсутності опору (тертя) (β = 0 ) амплітуда при резонансі дорівнювала б нескінченності. Згідно з (34.4) резонансна частота за тих самих умов (при β = 0 ) збігалася б із власною частотою коливань системи ω0 .

Знайдемо відношення амплітуди при резонансі ( Ω = Ω рез ) до амплітуди, коли частота зовнішнього впливу дорівнює нулю ( Ω = 0 ). При прямуванні частоти до нуля заряд

що Ω = 0 , ω20 = 1/(LC)). Це значення відповідає заряду на конденсаторі, який виникає під дією постійної напруги Um . З іншого боку, відповідно до формули (34.5) при малому загасанні (тобто при β << ω0 ) амплітуда при резонансі дорівнює

Aрез ≈ Um / L .

2βω0

Розділимо цей вираз на величину заряду на конденсаторі q0 = Um /(Lω20 )= CUm , що виникає при постійній зовнішній напрузі. У результаті отримаємо, що

Таким чином, добротність показує, у скільки разів амплітуда заряду конденсатора при резонансі перевищує заряд, що виникає на конденсаторі під дією постійної напруги,

I = q& = −AΩsin(Ωt − ϕ) = Im cos(Ωt − ϕ + π / 2) , (34.7)

(див. рис. 34.2). Зрозуміло, що при резонансі амплітуда Im буде максимальною. Максимум Im буде тоді, коли знаменник (34.8) набуває мінімального значення. Неважко з’ясувати, що це має місце, коли Ω = ω0 . Таким чином, у випадку резонансу струмів (резонансу швидкості) резонансна частота визначається співвідношенням

1 Знайдемо зв’язок між амплітудами змінної напруги та змінного електричного струму у коливальному колі (рис. 34.1). Описані у попередніх параграфах усталені вимушені коливання можна розглядати як проходження у колі, що має ємність C , індуктивність L й активний опір R , змінного струму, який обумовлений змінною напругою

Відповідно до отриманих раніше результатів цей струм змінюється за законом

73

де амплітуда струму Im та фаза Ψ визначаються співвідношеннями:

Коли ж взяти до уваги, що власна частота та коефіцієнт загасання пов’язані з параметрами контуру співвідношеннями

Формула (35.6) є подібною до закону Ома у тому розумінні, що амплітуда струму Im пропорційна амплітуді напруги Um . Тому формулу (35.6) іноді називають законом Ома для

змінного струму. Однак потрібно пам'ятати, що ця формула встановлює співвідношення лише між амплітудами, але не миттєвими значеннями U і I .

У випадку постійного струму відношення напруги до сили струму визначає опір провідника. Подібно до цього при змінному струмі відношення амплітуди повної напруги до амплітуди струму

називають повним електричним опором, або імпедансом.

2 Усяке реальне електричне коло має скінченні R, L й C . В окремих випадках деякі з

цих параметрів бувають такими, що їх впливом на струм можна знехтувати. Проаналізуємо ряд таких випадків.

Розглянемо електричне коло, що складається лише з активного опору R .

Використовуючи закон Ома, можемо знайти силу струму

I = U / R = (Um / R)cosΩt = Im cosΩt .

Звідси випливає, що струм у цьому випадку змінюється у фазі з напругою, тобто відповідний зсув фаз дорівнює нулю ψ = 0 , а амплітуда сили струму дорівнює

Порівняння отриманого виразу з (35.6) показує, що заміна конденсатора закороченою ділянкою кола означає перехід не до C = 0 , а до C = ∞ . Також порівняння показує, що заміна котушки індуктивності закороченою ділянкою кола означає перехід до L = 0 .

Розглянемо електричне коло, що складається лише з котушки з індуктивністю L . Це означає, що активним опором кола можна знехтувати при R = 0 , ємність конденсатора можна покласти такою, що дорівнює нескінченності C = ∞ . В цьому випадку, використовуючи формули (35.6) та (35.7), отримуємо

74

називають реактивним індуктивним опором, або просто індуктивним опором кола. Як бачимо, ψ = +π / 2 , тобто напруга на індуктивності випереджає струм на π / 2.

Розглянемо електричне коло, що складається лише з конденсатора з ємністю C .

Тобто припускаємо, що можна покласти такими, що дорівнюють нулю, R й L . Тоді відповідно до формул (35.6) та (35.7)

ψ = −π / 2 , напруга на конденсаторі відстає від струму на π / 2.

3 Як бачимо, на конденсаторі та котушці напруга і струм зміщені за фазою на π / 2. Це приводить до того, що середня потужність, яка виділяється на цих елементах, дорівнює нулю. Дійсно,

реактивними, на конденсаторі та котушці індуктивності тепло не виділяється.

На противагу реактивним опорам XC та X L на опорі R струм і напруга змінюються синфазно. Тому середня потужність, яка виділяється на опорі R , не дорівнює нулю:

0

Саме через цю особливість опір R називають активним, на опорі R виділяється тепло.

Позначимо через Iеф та Uеф силу та напругу постійного струму, який виділяє на опорі R таку саму середню потужність, що і у випадку змінного електричного струму. Тоді

< PR >= IефUеф = RIеф2 = Uеф2 / R .

Порівнюючи цей вираз із виразом для потужності змінного струму (35.14), можемо записати

У загальному випадку середня потужність, яка виділяється на елементах контуру, що складається з котушки індуктивності, конденсатора та опору, визначається таким співвідношенням

75

Тут використали співвідношення (35.1), (35.2), (35.15). Таким чином, потужність, яка виділяється на елементах електричного контуру, визначається різницею фаз напруги та струму ψ (35.7), ефективною силою струму Iеф у контурі та ефективною напругою Uеф ,

яка подається на контур:

однаковими. Нам відомо, що напруга на ємності відстає за фазою від сили струму на π / 2, а напруга на індуктивності випереджає струм на π / 2. Напруга на активному опорі має таку саму фазу, як і струм. Амплітудні значення відповідних напруг визначаються співвідношеннями (35.9), (35.10), (35.12).

Нагадаємо, що гармонічне коливання можна задати за допомогою вектора, довжина якого дорівнює амплітуді коливання, а напрям вектора утворює із деякою віссю кут, який дорівнює початковій фазі коливання. Візьмемо за пряму, від якої відлічується початкова фаза, вісь струмів.

Відкладемо вектори, що пов’язані з гармонічними коливаннями UR , UC , UL з урахуванням вищезазначених властивостей (див. рис. 35.3). Згідно з (35.16) три функції UR , UC й UL у сумі повинні дорівнювати прикладеній напрузі U . Відповідно до цього напруга U зображується на діаграмі вектором, що дорівнює сумі векторів UR , UC і UL .

Отримана діаграма наочно відображає процеси, що відбуваються в контурі. Зазначимо, що із прямокутного трикутника, який утворено на діаграмі векторами U , UR й

76