ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 237
Скачиваний: 0
різницею UL −UC , за допомогою теореми Піфагора випливає закон Ома для змінних струмів (35.6) (контури на рис. 35.1 та рис. 35.2 є однаковими).
ТЕМА 6 ХВИЛЬОВІ ПРОЦЕСИ
§ 36 Хвилі в пружному середовищі. Поперечні та поздовжні хвилі. Довжина хвилі. Рівняння біжучої хвилі. Фазова швидкість, хвильове число [5]
1 Хвилями називаються збурення, які поширюються в речовині або у вакуумі і несуть з собою енергію. Характерна властивість хвиль полягає в тому, що перенесення енергії
хвилею виконується без перенесення речовини. |
|
|
|
|
|
|
||||
|
Хвилі можуть мати різну форму. |
|
|
|
|
|
|
|||
Поодинокою |
хвилею, |
або |
імпульсом, |
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
називається коротке збурення, що не має |
б |
|
|
|
||||||
регулярного характеру (рис. 36.1а). Обмежений |
|
|
|
|||||||
ряд збурень називається цугом. Зазвичай під |
в |
|
|
|
||||||
цугом |
розуміють |
відрізок |
синусоїди |
|
|
|
||||
(рис. 36.1б). Особливе значення в теорії хвиль |
Рисунок 36.1 – Деякі |
форми |
хвиль: |
|||||||
має гармонічна хвиля, тобто нескінченна |
поодинока хвиля, або імпульс, (а); цуг |
|||||||||
синусоїдальна хвиля, у якій зміна стану |
хвиль (б) і синусоїдальна хвиля (в) |
|
|
|||||||
середовища відбувається за законом синуса або |
|
|
|
|
|
|
||||
косинуса (рис. 36.1в).
Розглянемо пружні гармонічні хвилі. Якщо в будь-якому місці пружного (твердого, рідкого або газоподібного) середовища збудити коливання її частинок, то внаслідок взаємодії між частинками це коливання буде поширюватися у середовищі від частинки до частинки з деякою швидкістю υ – виникає біжуча хвиля.
Частинки середовища, у якому поширюється хвиля, не втягуються хвилею в поступальний рух, вони лише виконують коливання біля своїх положень рівноваги. Залежно від напрямку коливань частинок відносно напрямку, у якому поширюється хвиля, розрізняють поперечні й поздовжні хвилі. У поперечній хвилі частинки середовища коливаються в напрямках, перпендикулярних до напрямку поширення хвилі. У поздовжній хвилі частинки середовища коливаються вздовж напрямку поширення хвилі. Пружні поперечні хвилі можуть виникнути лише у середовищі, що мають опір зсуву. Тому в рідкому й газоподібному середовищах можуть виникати тільки поздовжні хвилі. У твердому середовищі можливе виникнення як поперечних, так і поздовжніх хвиль.
На рис. 36.2 показаний рух частинок при поширенні пружної поперечної хвилі зі швидкістю υ. Номерами 1, 2 і т.д. позначені частинки, що знаходяться одна від одної на відстані, що дорівнює υT / 4 , тобто на відстані, яку проходить хвиля за чверть періоду коливань. У момент часу, який взято за нульовий, хвиля, поширюючись уздовж осі X зліва направо, досягла частинки 1, внаслідок чого ця частинка почала зміщуватися з положення рівноваги вгору, захоплюючи за собою подальші частинки. Через чверть періоду частинка 1 досягає крайнього верхнього положення; одночасно починає зміщуватися з положення рівноваги частинка 2. Після закінчення ще чверті періоду перша частинка буде проходити положення рівноваги, рухаючись у напрямку зверху вниз, друга частинка досягне крайнього верхнього положення, а третя частинка почне зміщуватися вгору з положення рівноваги. У момент часу, що дорівнює T , перша частинка завершить повний цикл коливання й буде перебувати в такому самому стані, як і в початковий момент. Хвиля в момент часу T , пройшовши шлях υT , досягне частинки 5.
Вище ми розглядали коливання частинок, положення рівноваги яких лежать на осі X . Однак коливаються не тільки частинки, розміщені на осі X , а й сукупність частинок, які містяться у деякому об'ємі. Поширюючись від джерела коливань, хвильовий процес охоплює все нові й нові частини простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання до
77
моменту часу t , називається фронтом хвилі (або хвильовим фронтом). Фронт хвилі є поверхнею, що відокремлює частину простору, вже залучену до хвильового процесу, від області, у якій коливання ще не виникли.
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
1 T |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 T |
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
3 T |
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
T
x
υT
Рисунок 36.2 – Механізм утворення поперечної пружної хвилі
Геометричне місце точок, що коливаються в однаковій фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильових поверхонь існує нескінченна множина, у той час як хвильовий фронт у кожний момент часу тільки один. Хвильові поверхні залишаються нерухомими (вони проходять через положення рівноваги частинок, що коливаються в однаковій фазі). Хвильовий фронт увесь час переміщується.
Хвильові поверхні можуть бути будь-якої форми. У найпростіших випадках вони мають форму площини або сфери. Відповідно хвиля в цих випадках називається плоскою або сферичною. У плоскій хвилі хвильові поверхні являють собою множину паралельних одна
одній площин, у сферичній хвилі – множину концентричних сфер. |
|
|
|||||
Візьмемо напрям поширення плоскої хвилі |
|
|
λ |
||||
за вісь X . Тоді всі точки середовища, положення |
ξ |
|
|
|
|||
|
|
|
|||||
рівноваги яких мають однакову координату |
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
||||
(але різні значення координат |
y |
і |
z ), |
|
|
|
|
коливаються в однаковій фазі. |
На |
рис. 36.3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||
зображена крива, що дає зміщення ξ |
з положення |
|
|
|
|
||
рівноваги точок із різними x в деякий момент часу.
Відстань λ , на яку поширюється хвиля за час, що дорівнює періоду коливань частинок середовища, називається довжиною хвилі. Очевидно, що
Рисунок 36.3 – Залежність |
зміщення |
|
частинок ξ |
від координати x , яка |
|
побудована |
для деякого |
моменту |
часу t ; λ – довжина хвилі
λ = υT |
, |
(36.1) |
де υ – швидкість хвилі; T – період коливань. Довжину хвилі можна визначити також як відстань між найближчими точками середовища, що коливаються з різницею фаз, яка дорівнює 2π (див. рис. 36.3).
2 Рівнянням хвилі називається вираз, що визначає зміщення частинок, які коливаються, як функцію їх координат рівноважного положення x, y, z і часу t :
ξ = ξ(x, y, z,t) . |
(36.2) |
78
Ця функція повинна бути періодичною як за часом t , так і за координатами x, y, z . Періодичність за часом випливає з того, що функція ξ описує коливання частинки з координатами x, y, z . Періодичність за координатами випливає з того, що точки, які
віддалені одна від одної на відстань λ , коливаються однаково. |
|
|
|
||||||||
Знайдемо |
вигляд функції |
ξ у |
випадку |
плоскої |
|
x = 0 |
|
x |
|
||
|
|
|
|||||||||
гармонічної хвилі. Для спрощення спрямуємо осі |
|
|
X |
||||||||
координат так, |
щоб вісь X |
збігалася |
з |
напрямом |
|
|
|
|
|||
поширення хвилі (див. рис. 36.4). Тоді хвильові поверхні |
|
|
|
|
|
||||||
будуть перпендикулярними до осі X і, |
оскільки всі точки |
|
x = υτ |
|
|
|
|||||
хвильової поверхні коливаються однаково, |
зміщення ξ |
|
|
|
|
||||||
буде залежати |
тільки від x і t : |
ξ = ξ(x,t) . |
Нехай |
|
Рисунок 36.4 – Плоска |
хвиля, |
|||||
коливання точок, що лежать у площині x = 0 |
(рис. 36.4), |
що поширюється вздовж осі X |
|||||||||
мають вигляд |
|
|
|
|
|
|
зі швидкістю υ. За час τ хвиля |
||||
|
ξ(0,t) = Acos(ωt + α) . |
|
|
|
|
проходить шлях |
|
від |
x = 0 до |
||
Знайдемо вигляд коливань точок у площині, що відповідає
довільному значенню x . Для того щоб пройти шлях від площини x = 0 до цієї площини, хвилі потрібен час τ = x / υ ( υ – швидкість поширення хвилі). Тому коливання частинок, що лежать у площині x , будуть відставати за часом на τ від коливань частинок у площині x = 0 і, отже, будуть мати вигляд
x(x,t) = Acos[w(t - t) + a] = Acos[w(t - x / u) + a].
Таким чином, рівняння плоскої біжучої хвилі (і поперечної, і поздовжньої), що поширюється в напрямку осі X , визначається рівнянням
|
|
é æ |
x ö |
ù |
|
|
||
|
x(x,t) = Acosêwçt - |
|
÷ + aú |
. |
(36.3) |
|||
|
||||||||
|
|
ë è |
u ø |
û |
|
|
||
Величина A є амплітудою хвилі. Початкова фаза хвилі α |
визначається вибором |
|||||||
початку відліку x й t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
Знайдемо фізичний зміст швидкості хвилі |
υ. |
Зафіксуємо деяке значення фази у |
||||||
рівнянні (36.3), припустивши |
|
|
|
|
|
|
|
|
æ |
x ö |
|
|
|
|
|
||
|
wçt - |
|
÷ + a = const . |
(36.4) |
||||
|
|
|||||||
è |
u ø |
|
|
|
|
|
||
Продиференцiюємо це співвідношення і отримаємо dt - u1 dx = 0 ,
звідки
dx / dt = υ .
Ліва частина цієї рівності визначає швидкість переміщення даного значення фази. Таким чином, швидкість поширення хвилі υ в рівнянні (36.3) є швидкістю переміщення фази, у зв'язку з чим її називають фазовою швидкістю.
Згідно з (36.4) значення x з часом зростає. Отже, рівняння (36.3) описує хвилю, що поширюється у бік зростання x . Хвиля, що поширюється в протилежному напрямку, описується рівнянням
é |
æ |
x ö |
ù |
|
|
x(x,t) = Acosêwçt + |
|
÷ |
+ aú . |
(36.5) |
|
|
|||||
ë |
è |
u ø |
û |
|
|
Це випливає з того, що, зафіксувавши в (36.5), значення фази, ми знайдемо, що зі збільшенням t координата x зменшується.
79
Рівнянню (36.3) можна надати симетричного відносно |
x і t вигляду. Для цього |
||
введемо величину |
|
||
|
|
, |
(36.6) |
|
k = 2π / λ |
||
яка називається хвильовим числом. Помноживши чисельник і знаменник виразу (36.5) на період T , можна подати хвильове число у вигляді
|
|
k = ω / υ |
. |
|
(36.7) |
Розкривши в (36.3) круглі дужки й взявши до уваги (36.7), одержимо рівняння |
|
||||
|
|
|
|
||
|
x(x,t) = Acos[wt - kx + a] |
. |
(36.8) |
||
Це співвідношення також є рівнянням хвилі. Рівняння хвилі, що поширюється убік зменшення x , відрізняється від (36.7) тільки знаком біля kx .
Якщо напрям поширення плоскої хвилі утворює із осями координат X , Y, Z відмінні від нуля кути, то рівняння хвилі буде мати складніший вигляд. Неважко показати, що в
цьому випадку воно буде таким |
|
|
|
|
|
|
r |
r |
+ a) |
. |
(36.9) |
|
x(r,t) = Acos(wt - k ×r |
||||
r
де r – радіус-вектор, проведений у розглянуту точку простору; k = kn – хвильовий вектор,
що напрямлений у бік поширення хвилі ( n – вектор нормалі до хвильової поверхні в даній точці простору).
Функція (36.9) дає зміщення з положення рівноваги точки з радіусом-вектором r у момент часу t (нагадаємо, що r визначає рівноважне положення точки), Щоб перейти від
r
радіуса-вектора точки до її координат x, y, z , виразимо скалярний добуток kr через компоненти векторів на координатні осі:
r
kr = kx x + ky y + kz z .
Тоді рівняння плоскої біжучої хвилі набуде вигляду
|
|
|
|
|
x(x, y, z,t) = Acos(wt - kx x - ky y - kz z + a) |
. |
(36.10) |
Тут kx , ky , kz – проекції хвильового вектора на відповідні координатні осі. |
|
||
При розгляді рівняння плоскої хвилі ми припускали, що амплітуда |
коливань не |
||
залежить від x . Для плоскої хвилі це справедливо в тому випадку, коли енергія хвилі не поглинається середовищем. При поширенні в поглинаючому енергію середовищі інтенсивність хвилі поступово зменшується – відбувається загасання хвилі. Дослід показує, що в однорідному середовищі загасання відбувається за експонентним законом
A = A0 exp(- gx). Тому рівняння плоскої загасаючої хвилі, що поширюється вздовж осі X ,
має вигляд |
|
|
x(x,t) = A e−γx cos(wt - kx + a) |
, |
(36.11) |
0 |
де A0 – амплітуда в площині x = 0 .
Знайдемо рівняння сферичної хвилі. Будь-яке реальне джерело хвиль має кінцеву довжину. Однак якщо обмежитися розглядом хвилі на відстанях від джерела, що значно перевищують його розміри, то джерело можна вважати точковим. У наслідок центральної симетрії в однорідному й ізотропному середовищі хвиля, що створюється точковим джерелом, буде сферичною. Припустимо, що фаза коливань джерела дорівнює (wt - a). Тоді
точки, що лежать на хвильовій поверхні радіуса r , будуть коливатися з фазою w(t - r / u)+ a = wt - kr + a
(щоб пройти шлях r , хвилі потрібен час τ = r / υ ). Амплітуда сферичної хвилі, навіть якщо енергія хвилі не поглинається середовищем, не залишається сталою – вона зменшується з
80