ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 239
Скачиваний: 0
Гармонічні коливання із частотами (41.7) називаються власними, або нормальними, коливаннями. Їх називають також гармоніками. У загальному випадку коливання струни являє собою накладення різних гармонік.
Коливання струни відзначаються тим, що для них із класичних уявлень отримуємо дискретні значення однієї з величин, що характеризує коливання (частоти). Для класичної фізики така дискретність є винятком. Для квантової фізики дискретність є швидше правилом, ніж винятком.
§ 42 Хвильовий пакет. Групова швидкість [5]
1 Хвиля, що має форму короткого імпульсу («сплеску»), може бути розглянута як суперпозиція (накладення) гармонічних хвиль, частоти яких перебувають в деякому інтервалі Dw . Таке утворення називається хвильовим пакетом (або групою хвиль) (рис. 42.1). Рівняння хвильового пакета має вигляд
ω0 |
+ |
ω/ 2 |
ξ = |
|
ò Aω cos(ωt − kωx + αω )dω , |
ω0 − |
ω/ 2 |
|
де Aω – амплітуда, що відповідає одиничному інтервалу частот; ω0 – основна частота; Dw –
інтервал частот, поданих у пакеті. У межах пакета гармонічні хвилі, що його утворюють, в більшому або меншому ступені підсилюють одна одну. Поза пакетом ці хвилі практично гасять одна одну.
ξ(x)
|
|
|
X |
|
|
|
x |
|
|
|
Рисунок 42.1 – Хвильовий |
пакет, |
який поширюється |
|
|
вздовж осі X : Dx – ширина пакета |
|
|
|
Інтервалу |
частот Dw відповідає |
інтервал |
хвильових чисел Dk . Із |
розрахунку |
випливає, що |
ширина пакета Dx пов'язана |
з інтервалом хвильових |
чисел Dk |
|
співвідношенням |
|
|
|
|
|
Dx × Dk = 2p . |
|
(42.1) |
|
Відомо, що фазова швидкість хвилі визначається співвідношенням |
|
|||
|
u = w / k . |
|
(42.2) |
|
Звідси випливає, що чим більше Dw , тим більше Dk . Таким чином, чим вужче хвильовий пакет, тим більшим повинен бути інтервал частот гармонічних хвиль, поданих у пакеті.
2 Знайдемо швидкість поширення центра хвильового пакета. При додаванні біжучих хвиль різної частоти потрібно мати на увазі можливість дисперсії хвиль, тобто залежності фазової швидкості гармонічної хвилі від частоти ω (або, що те ж саме, від довжини хвилі l ).
Дисперсія, як правило, характеризується дисперсійним співвідношенням
k = k(w) = w / u(w) , |
(42.3) |
де k – хвильове число; u(w) – фазова швидкість. Для хвиль, |
які поширюються в |
недиспергуючих середовищах, швидкість υ не залежить від частоти, і k є пропорційним до ω . Для диспергуючих середовищ k залежить від ω за нелінійним законом.
91
За умови відсутності дисперсії всі хвилі, що утворюють пакет, поширюються з однаковою фазовою швидкістю. Очевидно, що з такою самою швидкістю переміщується й хвильовий пакет, причому форма його не змінюється. Можна показати, що в диспергуючому середовищі пакет із часом розпливається – ширина його збільшується. Якщо дисперсія невелика, разпливання пакета відбувається не занадто швидко. У цьому випадку пакету можна «приписати» швидкість u , під якою розуміємо швидкість переміщення центра пакета, тобто точки з максимальним значенням амплітуди. Цю швидкість називають
груповою.
У диспергуючих середовищах групова швидкість виявляється відмінною від фазової.
Покажемо це на прикладі накладення двох хвиль |
із частотами ω0 − |
ω/ 2 |
й ω0 + ω/ 2 |
(відповідно із хвильовими числами k0 − k / 2 й |
k0 + k / 2 ). Амплітуди |
хвиль будемо |
|
вважати однаковими. У цьому випадку рівняння результуючої хвилі має вигляд |
|||
ξ = Acos[(ω0 − ω/ 2)t − (k0 − k / 2)x]+ Acos[(ω0 + ω/ 2)t − (k0 + |
k / 2)x]. |
||
Скориставшись формулою для суми косинусів, перетворимо цей вираз: |
|
|
|
ξ = 2Acos[( ω/ 2)t − ( k / 2)x]cos(ω0t − k0 x) . |
|
|
|
Отриманий вираз можна розглядати як рівняння біжучої гармонічної хвилі з амплітудою, що змінюється за законом
амплітуда = 2Acos[( ω/ 2)t − ( k / 2)x].
Максимальне значення амплітуди отримуємо за умови, коли величина, яка стоїть під знаком косинуса, дорівнює нулю. Звідси випливає, що координата xm центра хвильового пакета в момент часу t визначається зі співвідношення
( ω/ 2)t − ( k / 2)xm = 0 .
Розділивши xm на t , знайдемо швидкість переміщення центра хвильового пакета, тобто групову швидкість:
u = xm / t = ω/ k .
У випадку накладення хвиль із неперервним набором частот групова швидкість
визначається виразом |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u = dw / dk |
|
|
|
|
|
|
(42.4) |
(порівняйте з формулою (42.2)). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Замінивши згідно з (42.2) ω через u× k , вираз (42.4) можна подати у вигляді |
|
||||||||||
u = |
d(υk) |
= υ + k dυ = υ + k |
dυ |
|
dλ |
. |
(42.5) |
||||
dk |
|
|
|||||||||
|
|
dk |
|
dλ dk |
|
||||||
За визначенням k = 2π / λ , тобто λ = 2π / k . Отже, |
dλ / dk = −2π / k2 = −λ / k . Підстановка |
||||||||||
цього значення dλ / dk в (42.5) приводить до формули |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
u = υ − λ(dυ / dλ) |
. |
(42.6) |
|||||||
За умови відсутності дисперсії dυ / dλ = 0 і u = υ . Формула (42.6) дозволяє знайти групову швидкість u за відомою залежністю фазової швидкості υ від довжини хвилі λ .
Енергія хвилі пропорційна квадрату амплітуди. Тому швидкість перенесення енергії хвилі дорівнює групової швидкості.
Слід мати на увазі, що поняття групової швидкості можна застосовувати тільки за умови, коли поглинання енергії хвилі в даному середовищі невелике. При значному загасанні хвилі поняття групової швидкості втрачає свій зміст.
92
§ 43 Хвильове рівняння для електромагнітної хвилі. Фазова швидкість поширення електромагнітної хвилі [5]
1 З рівнянь Максвелла: |
|
|
|
|
|
|
r |
= − ∂B |
, |
|
(43.1) |
||
rotE |
|
|||||
|
|
∂t |
|
|
|
|
divB = 0 , |
|
|
(43.2) |
|||
r |
r |
+ |
∂D |
, |
(43.3) |
|
rotH = j |
∂t |
|||||
|
|
|
|
|
||
divD = ρ , |
|
|
(43.4) |
|||
випливає, що змінні електричне й магнітне поля взаємно створюють одне одного: змінне магнітне поле створює електричне (див. рівняння (43.1)), змінне електричне поле створює магнітне (див. рівняння (43.3)). Таким чином, якщо збудити за допомогою коливальних електричних зарядів змінне електромагнітне поле, то в просторі виникає послідовність взаємних перетворень електричного й магнітного полів, які поширюються від точки до точки. Цей процес буде періодичним і у часі, і у просторі і, отже, є хвилею.
2 Покажемо, що існування електромагнітних хвиль випливає з рівнянь Максвелла
(43.1)–(43.4). Виконаємо це на прикладі плоскої хвилі, що поширюється в однорідному й ізотропному нейтральному ( ρ = 0 ) непровідному ( j = 0 ) середовищі з сталими
проникностями ε й μ .
Спрямуємо вісь X перпендикулярно до хвильових поверхонь. Тоді вектори E і H , а отже, і їх проекції на координатні осі не будуть залежати від координат y і z . Тому
рівняння (43.1)–(43.4) спрощуються:
0 = μ0μ ∂∂Htx , ∂∂Exz = μ0μ ∂H∂ty , ∂∂Exy = −μ0μ ∂∂Htz ,
∂Bx = μ0μ ∂Hx = 0, ∂x ∂x
0 = ε0ε ∂∂Etx , ∂∂Hxz = −ε0ε ∂∂Ety , ∂∂Hxy = ε0ε ∂∂Etz ,
∂Dx = ε0ε ∂Ex = 0. ∂x ∂x
(43.5)
(43.6)
(43.7)
(43.8)
Перше з рівнянь (43.7) і рівняння (43.8) показують, що Ex не залежить ні від t , ні від x . Перше з рівнянь (43.5) і рівняння (43.6) дають такий самий результат для Hx . Отже, відмінні від нуля Ex та Hx можуть бути обумовлені тільки сталими однорідними полями, що накладаються на електромагнітне поле хвилі. Саме ж поле хвилі не має складових уздовж
осі X . Це означає, що вектори E та H перпендикулярні до напрямку поширення хвилі, тобто електромагнітні хвилі є поперечними. Надалі ми будемо вважати постійні поля відсутніми: Ex = Hx = 0.
Два останніх рівняння (43.5) і два останніх рівняння (43.7) можна об'єднати у дві взаємно незалежні групи:
∂Ey = −μ0μ ∂Hz , ∂x ∂t
∂Ez = μ0μ ∂H y , ∂x ∂t
∂Hz = −ε0ε ∂Ey , ∂x ∂t
∂H y = ε0ε ∂Ez . ∂x ∂t
(43.9)
(43.10)
93
Перша група рівнянь зв'язує компоненти Ey та Hz , друга – компоненти Ez та H y . Для
розгляду плоскої електромагнітної хвилі досить узяти одну із систем рівнянь (43.9) або (43.10), вважаючи проекції, що фігурують в іншій системі, такими, що дорівнюють нулю.
|
Візьмемо для опису хвилі рівняння (43.9), поклавши Ez = H y = 0 . Продиференцiюємо |
|||||||||||||||
перше рівняння за змінною x й виконаємо заміну: |
∂ |
|
∂Hz |
= |
∂ |
∂Hz |
. Підставивши потім |
|||||||||
∂x |
|
|||||||||||||||
∂Hz |
|
|
|
|
|
|
|
∂t |
|
∂t ∂x |
|
|||||
із другого рівняння, отримаємо для Ey |
рівняння |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
∂x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂2 E |
y |
= ε0μ0εμ |
∂2E |
y |
|
. |
|
|
|
|
(43.11) |
||
|
|
|
∂x2 |
|
∂t2 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Продиференцiюємо за змінною x друге |
з рівнянь |
(43.9), |
знайдемо після аналогічних |
|||||||||||||
перетворень рівняння для Hz : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
∂2 H |
z |
= ε0μ0εμ |
∂2H |
z |
. |
|
|
|
|
(43.12) |
||||
|
|
|
∂x2 |
∂t2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Слід мати на увазі, що рівняння (43.11) і (43.12) повинні розглядатися спільно, тому що вони
отримані з рівнянь (43.9), кожне з яких містить і E , і H .
Рівняння (43.11) і (43.12) є типовими хвильовими рівняннями. Будь-яка функція, що задовольняє таке рівняння, описує деяку хвилю, причому корінь квадратний з величини, оберненої коефіцієнту при похідній за часом, дає фазову швидкість цієї хвилі. Отже,
рівняння (43.11) і (43.12) показують, що електромагнітні поля можуть існувати у вигляді електромагнітних хвиль, фазова швидкість яких дорівнює
υ =1/ |
|
= c / |
|
|
. |
|
ε0μ0εμ |
εμ |
(43.13) |
У співвідношенні (43.13) ввели позначення c = 1/ ε0μ0 . Розрахунки показують, що за своєю
розмірністю та числовим значенням вищенаведена величина c є швидкістю світла у вакуумі. Таким чином, у вакуумі (тобто при ε = μ = 1) швидкість електромагнітних хвиль збігається зі швидкістю світла c .
§ 44 Напруженість електричних і магнітних полів у лінійно поляризованій електромагнітній хвилі [5]
1 З рівнянь Максвелла для плоскої хвилі, що поширюється в однорідному й
ізотропному нейтральному ( ρ = 0 ) |
|
непровідному |
|
( j = 0 ) середовищі |
з |
сталими |
||||||||||
проникностями ε та μ , випливає |
(вісь X |
|
напрямлена |
перпендикулярно |
до |
хвильових |
||||||||||
поверхонь): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∂Ey |
= −μ |
0 |
μ |
∂H |
z |
, |
∂H |
z = −ε |
0 |
ε |
∂Ey |
. |
|
(44.1) |
|
|
∂x |
∂t |
∂x |
∂t |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Цю систему рівнянь неважко перетворити до такого вигляду:
∂2 E |
y |
= ε0μ0εμ |
∂2E |
y |
, |
(44.2) |
|
∂x2 |
|
∂t2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
||
∂2 H |
z |
= ε0μ0εμ |
∂2H |
z . |
(44.3) |
||
∂x2 |
∂t2 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||
Рівняння (44.2) і (44.3) є типовими хвильовими рівняннями. Знайдемо розв’язок цих рівнянь.
Як відомо, будь-яка функція, що задовольняє таке рівняння, описує деяку хвилю, причому
94