ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 241
Скачиваний: 0
РОЗДІЛ 3 ХВИЛЬОВА ОПТИКА
ТЕМА 7 ІНТЕРФЕРЕНЦІЯ СВІТЛА
§ 48 Інтерференція монохроматичного світла від двох джерел. Умови, при яких спостерігається інтерференція монохроматичного світла. Умови інтерференційного мінімуму й максимуму [5]
Попередні відомості
1 Оптикою називається розділ фізики, що вивчає властивості й взаємодію з речовиною світла, тобто електромагнітних хвиль, довжина яких лежить у межах від 1 до 105 нм, що охоплює ультрафіолетову, видиму й інфрачервону області спектра.
Світло є складним явищем: в одних випадках воно веде себе як електромагнітна хвиля, в інших – як потік особливих частинок (фотонів). Така властивість називається корпускулярно-хвильовим дуалізмом (корпускула – частинка, дуалізм – подвійність). У
цьому розділі будемо розглядати хвильову оптику, тобто коло явищ, в основі яких лежить хвильова природа світла.
Довжина хвилі видимого світла знаходиться у межах
λ0 = 400 − 760 нм. |
(48.1) |
Ультрафіолетовим називається випромінювання з довжиною хвилі, меншою за 400 нм, інфрачервоним – випромінювання з довжиною хвилі, більшою за 760 нм.
2 Відношення швидкості c світлової хвилі у вакуумі до фазової швидкості υ в деякому середовищі називається абсолютним показником заломлення цього середовища й позначається буквою n :
|
n = c / υ |
. |
(48.2) |
||
Порівняння з формулою для швидкості електромагнітної хвилі |
дає, що n = |
|
. Для |
||
εμ |
|||||
переважної більшості прозорих речовин μ практично не відрізняється від одиниці. Тому можна вважати, що
n = |
|
|
. |
|
ε |
(48.3) |
Ця формула зв'язує оптичні властивості речовини з його електричними властивостями.
Показник заломлення характеризує оптичну густину середовища. Середовище з більшим n називається оптично більш густим, ніж середовище з меншим n .
3 Значення довжин хвиль (48.1) належить до світлових хвиль у вакуумі. У речовині довжина світлових хвиль інша. У випадку коливань частоти ν довжина хвилі у вакуумі дорівнює λ0 = c / ν . У середовищі, у якому фазова швидкість світлової хвилі υ = c / n , довжи-
на хвилі має значення λ = υ / ν = c /(nν)= λ0 / n . Отже, довжина λ світлової хвилі у середовищі з показником заломлення n пов'язана з довжиною λ0 хвилі у вакуумі співвідношенням
|
|
|
λ = λ0 / n |
. |
(48.4) |
4 Найпростіші оптичні явища (виникнення тіні, отримання зображень в оптичних приладах тощо) можна зрозуміти з геометричної оптики. Геометрична оптика базується на
4 законах: 1) закон прямолінійного поширення світла; 2) закон незалежності світлових променів; 3) закон відбиття; 4) закон заломлення.
Закон прямолінійного поширення стверджує, що в однорідному середовищі світло поширюється прямолінійно.
Закон незалежності світлових променів стверджує, що промені при перетинанні не збурюють один одного. Перетинання променів не заважають кожному з них поширюватися незалежно один від одного.
100
Закон відбиття світла стверджує, що відбитий промінь лежить в |
|
|
|
|
одній площині з падаючим променем і нормаллю до відбивної поверхні у |
|
|
β |
|
точці падіння; кут відбивання α дорівнює куту падіння β (див. |
|
α |
||
рис. 48.1): |
|
|
|
|
α = β . |
|
|
|
|
Закон заломлення світла стверджує, що заломлений промінь |
|
|
|
|
Рисунок 48.1 |
||||
лежить в одній площині з падаючим променем і нормаллю до поверхні |
||||
|
|
|
||
розділу середовищ, проведеною у точку падіння; відношення синуса кута падіння до синуса кута заломлення є величина стала для даних речовин (див. рис. 48.2):
sin a = n , |
|
|
|
|
sin g |
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
де n12 = n2 / n1 – відносний показник заломлення другого середовища |
|
|
|
|
|
|
|
||
відносно першого. |
|
|
|
|
5 Дія світла на людське око залежить від довжини (частоти) хвилі. |
|
α |
n1 |
|
Для характеристики світла з урахуванням його здатності викликати зорові |
|
|
||
відчуття вводяться фотометричні величини: світловий потік, освітленість, |
|
|
|
|
яскравість, сила світла. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 В електромагнітній хвилі коливаються вектори E та H . Дослід |
|
n2 |
|
|
показує, що фізіологічна, фотохімічна, фотоелектрична й інша дії світла |
|
|
||
викликаються коливаннями електричного вектора. Відповідно до цього |
|
|
γ |
|
говорять про світловий вектор, маючи на увазі вектор напруженості |
|
|
|
|
електричного поля. |
|
|
|
|
|
Рисунок 48.2 |
|||
Амплітуду світлового коливання ми будемо позначати, як правило, |
||||
буквою A (іноді Em ). Відповідно зміна у часі й просторі проекції світлового вектора на напрям, уздовж якого він коливається, описується рівнянням
E = Acos(wt - kr + a). |
(48.5) |
Тут k – хвильове число; r – відстань, яка відлічується вздовж напрямку поширення світлової хвилі. Для плоскої хвилі, що поширюється в непоглинаючому світло середовищі, A = const , для сферичної хвилі A зменшується як 1/ r .
7 Частота видимих світлових хвиль знаходиться у межах
n = (0,39 - 0,75)×1015 Гц. |
(48.6) |
Частота зміни амплітуди, енергії світлової хвилі є дуже високою. Ні око, ні будь-який інший приймач світлової енергії не можуть прослідкувати за дуже швидкими змінами, внаслідок чого вони реєструють усереднений за часом потік енергії. Модуль середнього за часом значення густини потоку енергії, що переноситься світловою хвилею, називається
інтенсивністю світла I у даній точці простору. Густина потоку електромагнітної енергії визначається вектором Пойтінга S . Отже,
I =|< S >|=|< [E ´ H ] >|. |
(48.7) |
Відомо, що модулі амплітуд векторів E і H в електромагнітній хвилі пов'язані співвідношенням Em e0e = Hm m0m = Hm m0 (ми взяли μ =1). Звідси випливає, що
Hm = eEm e0 / m0 = nEm e0 / m0 ,
де n – показник заломлення середовища, у якому поширюється хвиля. Таким чином, Hm пропорційна Em та n : Hm ~ nEm . Модуль середнього значення вектора Пойтінга пропорційний Em Hm . Тому можна вважати, що
101
|
I ~ nEm2 = nA2 . |
|
|
|
(48.8) |
|
Отже, інтенсивність світла пропорційна квадрату амплітуди світлової хвилі й показнику |
||||||
заломлення середовища. |
|
|
|
|
|
|
Інтерференція монохроматичного світла від двох джерел |
|
|
|
|||
8 Інтерференція світла – явище, в якому |
S1 |
l1 |
r |
|
|
|
при накладанні пучків світла результуюча |
|
|
||||
|
E1 |
|
|
|||
інтенсивність не дорівнює сумі інтенсивностей |
|
|
r |
|
||
окремих пучків, має постійні у часі темні та |
|
n1 |
|
E2 |
|
|
світлі ділянки – інтерференційні максимуми та |
|
n2 |
|
P |
|
|
мінімуми. |
|
|
|
|
||
З’ясуємо, за яких умов можливе явище |
S2 |
l2 |
|
|
|
|
інтерференції. |
|
|
|
|
|
|
Розглянемо випадок, коли два джерела S1 |
|
Рисунок 48.3 |
|
|
|
|
та S2 випромінюють монохроматичні хвилі (див. |
|
|
|
|
|
|
рис. 48.3). У точці спостереження P кожна хвиля збуджує коливання, які описуються такими |
||||||
виразами: |
|
|
|
|
|
|
|
E1 = Em1 cos[w1(t -l1 / u1 )+ a1], |
|
|
(48.9) |
||
|
E2 = Em2 cos[w2 (t -l2 / u2 )+ a2 ]. |
|
|
(48.10) |
||
Тут w1 , a1 та w2 , a2 |
– відповідно частоти та початкові фази коливань джерел S1 та S2 ; |
l1 |
||||
та l2 – відстані, які проходять хвилі від своїх джерел до точки спостереження P ; |
u1 |
та u2 |
– |
|||
їх фазові швидкості. Зрозуміло, що в точці P результуюче коливання світлового вектора |
||||||
буде дорівнювати |
|
|
|
|
|
|
E= E1 + E2 ,
арезультуюча інтенсивність визначається як
I ~< E2 |
r |
r |
|
)2 |
r |
r |
|
)2 |
r |
r |
|
> . |
(48.11) |
>=< (E |
+ E |
2 |
>=< (E )2 |
> + < (E |
2 |
> +2 < E |
× E |
2 |
|||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
Доданок 2 < E1 × E2 > у (48.11) називається інтерференційним доданком. З (48.11)
випливає, що коли інтерференційний доданок дорівнює нулю, то результуюча інтенсивність буде дорівнювати сумі інтенсивностей окремих світлових пучків, тобто явище інтерференції буде відсутнім.
Розглянемо більш детально інтерференційний доданок і з’ясуємо, за яких умов він не дорівнює нулю. Використовуючи (48.9) та (48.10), неважко отримати
|
2 < E1 × E2 >= 2 < Em1Em2 cos[w1(t -l1 / u1 )+ a1]cos[w2 (t - l2 / u1 )+ a2 ]>= Em1Em2 ´ |
||||||||||||||||||||||||
ì |
é |
æ w l |
|
w |
l |
ö |
|
|
ù |
é |
|
æ w l |
|
w l |
ö |
|
|
|
ü |
|
|||||
ï |
|
|
|
|
|
|
|
|
ùï |
|
|||||||||||||||
´ < ícosê(w1 + w2 )t - ç |
1 1 |
+ |
2 |
|
2 |
÷ |
+ a1 |
+ a2 |
ú |
+ cosê(w1 |
- w2 )t |
- ç |
1 1 |
- |
2 |
2 |
÷ |
+ a1 |
- a2 |
úý |
>. |
||||
u |
|
|
|
u |
|
|
|||||||||||||||||||
ï |
ë |
ç |
|
u |
2 |
÷ |
|
|
û |
ë |
|
ç |
|
u |
2 |
÷ |
|
|
|
ï |
|
||||
î |
è |
1 |
|
|
ø |
|
|
|
è |
1 |
|
|
ø |
|
|
|
ûþ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(48.12) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Аналізуючи |
вираз |
(48.12), слід |
зазначити, |
щоб |
інтерференційний |
доданок був |
||||||||||||||||||
відмінним від нуля, необхідно, по-перше, виконати умову Em1Em2 ¹ 0, тобто вектори Em1
та Em2 не повинні бути перпендикулярними один до одного. По-друге, необхідно, щоб
різниця фаз хвиль була постійною у часі. Це можливо, як випливає з (48.12), коли частоти обох хвиль є однаковими і різниця початкових фаз хвиль не залежить від часу:
|
і |
|
. |
|
w1 = w2 |
a1 - a2 = const |
(48.13) |
Хвилі, для яких різниця фаз є постійною у часі, називають когерентними. Умова
(48.13) є умовою для когерентності хвиль.
102
9 Умови інтерференційного максимуму та мінімуму. Далі будемо вважати, що умови спостереження інтерференції є виконаними. З’ясуємо, за яких умов у точці спостереження P спостерігається максимум, а за яких – мінімум. З виразу (48.11)
випливає, що коли інтерференційний доданок набуває максимального значення, то ми будемо спостерігати максимум, а коли мінімального – мінімум. Ураховуючи (48.13), для інтерференційного доданка можемо записати
2 < E1 × E2 >= Em1Em2 cosd , |
(48.14) |
де різниця фаз хвиль визначається співвідношенням |
|
d = [w1(t - l1 / u1 )+ a1]-[w2 (t -l2 / u2 )+ a2 ]= [(w1 - w2 )t - (w1l1 / u1 - w2l2 / u2 )+ a1 - a2 ]= |
|
= [(wl2 / u2 - wl1 / u1 )+ a1 - a2 ]. |
(48.15) |
Тут ураховано, що згідно з (48.13) w1 = w2 = w , вектори Em1 і Em2 вважаємо паралельними. Далі використаємо співвідношення для фазових швидкостей хвиль u1 = c / n1 і u2 = c / n2 , початкові фази вважаємо такими, що дорівнюють нулю a1 = a2 = 0 . Тоді можемо записати
æ |
l2 |
|
l1 |
ö |
w |
|
|
2p |
|
|
|||
ç |
|
÷ |
|
|
|
|
|||||||
d = wç |
|
|
|
- |
|
÷ |
= c |
(l2n2 |
-l1n1 )= l |
|
D , |
(48.16) |
|
u |
|
u |
|
||||||||||
è |
|
|
2 |
1 |
ø |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
де |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
D = n2l2 - n1l1 = L2 - L1 |
|
|
|
(48.17) |
||||||
величина, що дорівнює різниці оптичних довжин n×l , які проходять хвилі, і називається
оптичною різницею ходу.
З формули (48.14) випливає, що максимум буде спостерігатися тоді, коли |
|
δ = ±2πm (m = 0, 1, 2, ...) . |
(48.18) |
У цьому випадку cosδ = 1 і набуває максимального значення. Коли ж використати (48.16) та (48.17), то отримаємо, що максимум має місце, коли оптична різниця ходу дорівнює цілому числу довжин хвиль у вакуумі:
|
|
|
D = ±ml0 (m = 0, 1, 2, ...) |
. |
(48.19) |
Таким чином, умови (48.18) і (48.19) є умовами інтерференційного максимуму.
Мінімальне значення інтерференційного доданка буде тоді, коли cosδ = −1, тобто
|
|
|
d = ±(m +1/ 2)2p (m = 0, 1, 2, ...) |
. |
(48.20) |
Ця умова відповідає тому, що дорівнює напівцілому числу довжин хвиль у вакуумі:
|
|
|
|
|
D = ±(m +1/ 2)l0 (m = 0, 1, 2, ...) |
. |
(48.21) |
Отже, умови (48.20) та (48.21) є умовами інтерференційного мінімуму. |
|
||
§ 49 Когерентність. Механізм випромінювання світла |
атомами. Час |
||
когерентності. Довжина когерентності. Радіус когерентності [5] |
|
||
1 Як з’ясовано вище, необхідною умовою існування інтерференції є постійність у часі різниці фаз хвиль. Тобто частоти хвиль, які беруть участь у інтерференції, повинні бути однаковими, різниця початкових фаз хвиль не повинна залежати від часу.
Хвилі, для яких умова постійності у часі різниці фаз виконується називають когерентними. Когерентністю називають узгоджене проходження декількох коливальних або хвильових процесів.
2 У природній світловій хвилі амплітуда, частота і початкова фаза за достатньо тривалий проміжок часу неперервно хаотично змінюються. Тобто різниця фаз набуває з
103