ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 243
Скачиваний: 0
інтерференційні смуги за рахунок відбиття від інших поверхонь не виникають). Під час нормального падіння світла на поверхню пластини кільця Ньютона мають вигляд концентричних кіл (див. рис. 53.1).
З'ясуємо більш детально, яким чином виникають |
|
кільця Ньютона. Розглянемо промінь 1 (див. рис. 53.2), |
|
який падає на межу плоскоопукла лінза – повітря (точка |
|
А). Тут частина променя відбивається (промінь 2), а |
|
частина проходить далі й відбивається (промінь 3) від |
|
межі повітря – плоскоопукла пластинка |
(точка В). |
Промені 2 і 3 є когерентними, тому що створені з одного і |
|
того самого променя 1, інтерферують між собою й |
|
формують частину інтерференційної картини, яку |
|
називають кільцями Ньютона. |
|
Визначимо різницю ходу променів 3 і 2. Через те |
|
що кут повітряного клину (зазору) між |
пластинкою й Рисунок 53.1 – Кільця Ньютона |
лінзою дуже малий, то промені 1, 2 і 3 можна вважати паралельними, падіння перпендикулярним, повітряний зазор плоским. Тоді оптична різниця ходу променів 2 і 3 буде дорівнювати
D = 2×b ×1+ l0 / 2 . |
(53.1) |
Тут ураховано, що товщина зазору b =| AB | ,
показник заломлення у зазорі дорівнює n = 1. Також при відбитті від плоскопаралельної пластини в точці В (відбиття від оптично більш щільного середовища) має місце зміна фази коливання світлового вектора на π . Це враховано шляхом додавання (віднімання) половини довжини хвилі світла у вакуумі до оптичної різниці ходу.
Якщо ця різниця ходу буде задовольняти умову максимуму
D = ml0 , |
(53.2) |
то промені 2 і 3 будуть формувати світлу частину кільця Ньютона. Якщо ця різниця ходу буде задовольняти умову мінімуму
D = ml0 + l0 / 2 , |
(53.3) |
|
R − b |
|
R |
|
1 |
|
|
3 |
2 |
|
|
|
A |
r |
b |
|
|
||
|
B |
|
|
Рисунок 53.2 – Кільця Ньютона виникають при накладенні хвиль, відбитих від сферичної поверхні лінзи й верхньої поверхні плоскої скляної пластинки
то промені 2 і 3 будуть формувати темну частину кільця Ньютона.
Знайдемо радіуси r кілець Ньютона (див. рис. 53.1), що виникають при падінні світла перпендикулярно до пластини. З рис. 53.2 випливає, що
R2 = (R -b)2 + r2 » R2 - 2Rb + r2 , |
(53.4) |
де R – радіус кривизни лінзи; r – радіус кола, всім точкам якого відповідає однакова товщина зазору b . Через те що b є малою, ми знехтували b2 порівнянно з 2Rb . Відповідно до (53.4) маємо b = r2 / 2R . Тоді з (53.1) отримуємо
D = r2 / R + l0 / 2 . |
(53.5) |
||
Підставивши це значення в умову максимуму (53.2), знаходимо умову |
|
||
r2 / R = (m -1/ 2)l0 , або r = |
|
(m =1,2,...) , |
(53.6) |
Rl0 (2m -1) / 2 |
|||
для світлих кілець. Підставивши значення (53.5) в умову мінімуму (53.3), отримаємо |
|
||
109 |
|
|
|
r2 / R = mλ0 , або r = |
|
|
(53.7) |
Rλ0 2m / 2, (m =1,2,...), |
|||
для темних кілець. Обидві умови (53.6) й (53.7) можна об'єднати в одну:
r = |
|
|
(53.8) |
Rλ0 2m′ / 2, (m′ =1,2,3...). |
|||
Непарні m′ відповідають радіусам світлих кілець, парні – радіусам темних кілець. Значенню m′ = 0 відповідає r = 0 , тобто точка в місці дотику пластинки й лінзи. У цій точці спостерігається мінімум інтенсивності, який обумовлений зміною фази на π при відбитті світлової хвилі від пластинки (див. рис. 53.1).
ТЕМА 8 ДИФРАКЦІЯ СВІТЛА
§ 54 Принцип Гюйгенса-Френеля [5]
1 Дифракцією називається сукупність явищ, які спостерігаються при поширенні світла у середовищі з різкими неоднорідностями (поблизу границь тіл, крізь малі отвори й т.п.) і які пов'язані з відхиленнями від законів геометричної оптики. Дифракція, зокрема,
приводить до огинання світловими хвилями перешкод й проникнення світла в область
геометричної тіні. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Розрізняють два види дифракції. |
|
|
|
|
|
|
||||||
Якщо |
джерело |
світла S |
і |
|
точка |
|
|
|
|
|
P |
||
спостереження |
P |
розміщені |
від |
|
|
|
|
|
|||||
S |
|
|
|
|
|
||||||||
перешкоди настільки далеко, що промені, |
|
|
|
|
|
||||||||
які падають на перешкоду, і промені, які |
|
|
|
|
|
|
|||||||
йдуть у точку P , утворюють практично |
|
|
|
|
|
|
|||||||
паралельні пучки, то говорять про |
|
|
|
|
|
|
|||||||
дифракцію в паралельних променях, або |
|
|
|
|
|
|
|||||||
про дифракцію Фраунгофера. В іншому |
|
|
|
|
|
|
|||||||
випадку |
говорять |
про |
дифракцію |
Рисунок 54.1 – Схема спостереження дифракції |
|||||||||
Френеля. Дифракцію Фраунгофера можна |
|||||||||||||
спостерігати, помістивши за джерелом |
в паралельних променях |
|
|
||||||||||
світла |
S |
і перед точкою спостереження |
P лінзи так, щоб точки S |
і P знаходились у |
|||||||||
фокальній площині відповідної лінзи (рис. 54.1). |
|
|
|
|
|
||||||||
|
Пояснюється |
дифракція |
принципом |
Гюйгенса- |
|
|
n |
||||||
Френеля: кожний елемент хвильової поверхні S |
(рис. 54.2) |
|
|
|
|
||||||||
є джерелом вторинної сферичної |
хвилі, |
амплітуда якої |
|
|
|
ϕ |
|||||||
пропорційна площі елемента dS ; результуюче коливання в |
|
|
|
||||||||||
dS |
|
||||||||||||
|
|
||||||||||||
довільній точці |
P є суперпозицію, інтерференцією сфе- |
|
r |
||||||||||
|
|
|
|||||||||||
ричних хвиль вторинних джерел усієї хвильової поверхні S . |
|
|
|
|
|||||||||
|
Запишемо |
аналітичний |
вираз принципу |
Френеля- |
|
|
|
P |
|||||
Гюйгенса. Для цього згадаємо, що амплітуда сферичної |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
хвилі зменшується з відстанню r |
від джерела за законом |
|
|
|
|
||||||||
1/ r . Отже, від кожного елемента dS хвильової поверхні в |
S |
|
|
||||||||||
точку |
P , |
що лежить перед |
цією |
поверхнею, |
надходить |
|
|
|
|
||||
коливання
dE = K(ϕ) AdS cos(ωt − kr + α). |
(54.1) |
r |
|
У цьому виразі (ωt + α) – фаза коливання |
у місці |
розміщення хвильової поверхні S ; k – хвильове число; r – відстань від елемента поверхні dS до точки P . Множник A визначається амплітудою світлового коливання у тому
Рисунок 54.2 – До знаходження амплітуди коливання і точці P , яке збуджується елементом хвильової поверхні dS
110
місці, де знаходиться dS . Коефіцієнт K(ϕ) залежить від кута ϕ між нормаллю n до |
||||||||||||||
площини dS |
і напрямом від dS |
до точки P . При ϕ = 0 цей коефіцієнт максимальний, при |
||||||||||||
ϕ = π / 2 |
він |
перетворюється |
|
у нуль. |
В відповідно до принципу Френеля-Гюйгенса |
|||||||||
результуюче коливання в точці P є суперпозицію коливань (54.1), узятих для усієї хвильової |
||||||||||||||
поверхні S : |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
E = òK(ϕ) A cos(ωt − kr + α)dS . |
(54.2) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
r |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Ця формула є аналітичним виразом принципу Гюйгенса-Френеля. |
|
|||||||||||||
|
|
Таким чином, між інтерференцією й дифракцією немає істотної фізичної різниці. |
||||||||||||
Обидва явища полягають у перерозподілі світлового потоку у результаті суперпозиції хвиль. |
||||||||||||||
Через історичні причини перерозподіл інтенсивності, що виникає в результаті суперпозиції |
||||||||||||||
хвиль, які збуджуються скінченним числом дискретних когерентних джерел, називають |
||||||||||||||
інтерференцією хвиль. Перерозподіл інтенсивності, що виникає внаслідок суперпозиції |
||||||||||||||
хвиль, які збуджуються когерентними неперервно розміщеними джерелами, називають |
||||||||||||||
дифракцією хвиль. Тому говорять, наприклад, про інтерференційну картину від двох вузьких |
||||||||||||||
щілин і про дифракційну картину від однієї щілини. |
|
|||||||||||||
|
|
§ 55 Метод зон Френеля. Радіус зони Френеля. Амплітуда коливань світлової |
||||||||||||
|
|
хвилі від точкового ізотропного джерела [5] |
|
|||||||||||
|
|
1 Обчислення явищ дифракції з застосуванням принципу Френеля-Гюйгенса є в |
||||||||||||
загальному випадку дуже важким завданням. Однак, як показав Френель, у випадках, що |
||||||||||||||
характеризуються симетрією, знаходження амплітуди результуючого коливання може бути |
||||||||||||||
виконано простим алгебраїчним або геометричним підсумовуванням. |
|
|||||||||||||
|
|
Щоб зрозуміти сут- |
|
|
|
|
b + 4 ×l / 2 |
×l / 2 |
||||||
ність методу, який був |
|
|
|
|
b + 3 |
|||||||||
розроблений Френелем (ме- |
|
|
|
|
|
b + 2×l / 2 |
||||||||
тод |
зон |
Френеля), |
визна- |
|
|
|
|
|
b + l / 2 |
|||||
чимо |
амплітуду |
світлового |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
коливання, яке збуджується |
|
S |
|
|
|
P |
||||||||
в |
точці |
|
P |
сферичною |
|
|
|
|
a |
b |
||||
хвилею, що поширюється в |
|
|
|
|
||||||||||
однорідному й ізотропному |
|
|
|
|
1-а зона |
|
||||||||
середовищі |
|
із |
точкового |
|
|
|
|
2-а зона |
|
|||||
джерела |
|
S |
(рис. 55.1). |
|
|
|
|
3-а зона |
|
|||||
Хвильові |
|
поверхні |
такої |
|
|
|
|
4-а зона |
|
|||||
хвилі |
симетричні відносно |
Рисунок 55.1 – Розбивання сферичного хвильового фронту на |
||||||||||||
прямої SP |
. |
Скориставшись |
||||||||||||
зони Френеля |
|
|
||||||||||||
цим, розіб'ємо зображену на |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
рисунку хвильову поверхню на кільцеві зони, побудовані так, що відстані від країв кожної |
||||||||||||||
зони до точки P |
відрізняються на l / 2 |
|
( l – довжина хвилі в тому середовищі, у якому |
|||||||||||
поширюється хвиля). Зони, що мають таку властивість, називаються зонами Френеля. |
||||||||||||||
|
|
2 З рис. 55.1 випливає, що відстань bm |
від зовнішнього краю m -ї зони до точки P |
|||||||||||
дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
b |
|
= b + m λ , |
(55.1) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
2 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
де b – відстань від вершини хвильової поверхні до точки P . |
|
|||||||||||||
|
|
Коливання, що надходять у точку P від аналогічних точок двох сусідніх зон (тобто |
||||||||||||
від точок, |
що лежать усередині зон або біля зовнішніх країв зон і т.п.), перебувають у |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
111 |
|
||
протилежних фазах. Тому й результуючі коливання, які створюються кожною із зон у
цілому, будуть для сусідніх зон відрізнятися за фазою на π . |
|
|
|
|
|
|
|||
3 Обчислимо площу і радіус зон Френеля. |
|
|
|
|
|
bm = b + m λ |
|||
Зовнішня границя m -ї зони виділяє на |
|
a |
|
|
|
||||
хвильовій поверхні сферичний сегмент висоти |
|
|
rm |
2 |
|||||
|
|
|
|||||||
hm (рис. 55.2). Позначимо |
площу цього |
S |
|
|
|
O |
|
|
P |
|
|
|
|
|
|||||
a − hm |
|
|
|
b |
|
|
|||
сегмента через Sm . Тоді площу |
m -ї зони можна |
|
|
|
|
|
|||
подати у вигляді |
|
|
|
hm |
|
|
|
||
Sm = Sm − Sm−1 ,
де Sm−1 – площа сферичного сегмента, який виділяється зовнішньою границею (m −1)-ї зони.
Рисунок 55.2 – До обчислення площі зон Френеля
З рис. 55.2 випливає, що
rm2 = a2 − (a − hm )2 = (b + mλ / 2)2 − (b + hm )2 ,
де a – радіус хвильової поверхні; rm – радіус зовнішньої межі m -ї зони. Підвівши вирази у
дужках до квадрата, отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
rm2 = 2ahm − hm2 |
= bmλ + m2 (λ / 2)2 − 2bhm − hm2 . |
(55.2) |
|||||||||||||||
Звідси |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h |
= |
bmλ + m2 (λ / 2)2 |
. |
|
|
|
|
(55.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
m |
|
|
|
2(a + b) |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Обмежившись розглядом не занадто великих |
m , можна, |
через те, що довжина хвилі λ є |
||||||||||||||||
малою величиною, знехтувати доданками, які мають λ2 . У цьому наближенні |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
h |
= |
|
bmλ |
|
. |
|
|
|
|
|
|
(55.4) |
|||
|
|
|
2(a + b) |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Площа сферичного сегмента дорівнює 2πRh ( R – радіус сфери; h – висота сегмента). |
||||||||||||||||||
Отже, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
m |
= 2πah |
= |
πab |
mλ , |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
m |
|
|
a + b |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а площа m -ї зони |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
πabλ |
|
|
|
|
πabλ |
|
|
||||||
|
Sm = Sm − Sm−1 = |
|
[m − (m −1)] |
= |
|
|
. |
|
||||||||||
a + b |
a + b |
|
||||||||||||||||
Отриманий вираз не залежить від m . Це означає, що при не занадто великих m площі зон Френеля приблизно однакові.
З рівності (55.2) можна знайти радіуси зон. |
При не занадто великих m висота |
|||||||
сегмента h |
<< a . Тому можна вважати, що r2 = 2ah |
. Підставивши значення (55.4) для h , |
||||||
m |
|
|
|
m |
m |
m |
||
отримаємо для радіуса зовнішньої межі m -ї зони Френеля вираз |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
rm = |
ab |
mλ |
. |
(55.5) |
||
|
a + b |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Якщо покласти a = b = 1 м і λ = 500 нм, то для радіуса першої (центральної) зони отримаємо
значення r1 = 0,5 мм. Радіуси наступних зон зростають як |
m |
. |
4 Знайдемо амплітуду результуючого коливання |
у точці P , яке збуджується |
|
сферичною хвилею. Згідно з принципом Гюйгенса-Френеля амплітуда коливань dE , що
112