ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 245
Скачиваний: 0
кілець спостерігається тільки у вузькій області на межі геометричної тіні. У цьому випадку Am+1 << A1 , світла пляма в центрі відсутня, і освітленість в області геометричної тіні
практично всюди дорівнює нулю.
|
|
Непрозорий |
Екран |
|
|
|
круглий |
||
|
|
диск |
P′′ |
|
|
R |
|
P′ |
|
S |
O |
P |
||
|
||||
|
|
|||
|
a |
|
b |
I
r
Рисунок 57.1 а – Схема отримання дифракції на диску; б – графік інтенсивності
3 Світла пляма в центрі тіні, що відкидається |
|
|
диском, стала причиною інциденту, який відбувся |
|
|
між Пуассоном і Френелем. Паризька академія наук |
|
|
запропонувала дифракцію світла як тему для |
|
|
отримання премії за 1818 р. Засновники конкурсу |
|
|
були прихильниками корпускулярної теорії світла й |
|
|
розраховували, що конкурсні роботи принесуть |
|
|
остаточну перемогу їх теорії. Однак Френелем була |
|
|
подана робота, у якій всі відомі на той час оптичні |
|
|
явища пояснювалися з точки зору хвильової теорії. |
|
|
Розглядаючи цю роботу, Пуассон, який був членом |
|
|
конкурсної комісії, звернув увагу на те, що з теорії |
Рисунок 57.2 – Картина, яка утворю- |
|
Френеля випливає «безглуздий» висновок: у центрі |
||
ється при дифракції на диску |
||
тіні, яка відкидається невеликим диском, повинна |
знаходитись світла пляма. Араго відразу зробив дослід і з’ясував, що така пляма дійсно існує. Це принесло перемогу й загальне визнання хвильової теорії світла.
§ 58 Дифракція |
Фраунгофера |
на |
щілині. |
Амплітуда й інтенсивність світла, |
||||||
максимуми й мінімуми [5] |
|
|
|
|
|
|
||||
1 Розглянемо |
|
дифракцію |
|
|
|
|
|
P |
||
Фраунгофера на щілині (диф- |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|||||
ракцією |
Фраунгофера |
називають |
|
|
|
|
|
|
||
дифракцію в паралельних про- |
|
|
|
ϕ |
|
|
||||
менях). Візьмемо дуже довгу |
|
|
|
|
|
|||||
вузьку |
прямокутну |
щілину |
|
|
b / N |
ϕ |
|
|
||
шириною b , на яку падає |
|
b |
|
|
|
|
||||
нормально плоска світлова хвиля |
|
|
|
|
|
|
||||
(рис. 58.1). Помістимо за щілиною |
|
|
|
|
|
|
||||
збиральну лінзу, а у фокальній |
|
|
|
|
|
|
||||
площині лінзи екран. Хвильові |
|
|
|
|
|
Екран |
||||
поверхні падаючої хвилі, площина |
|
|
|
|
|
|
||||
щілини |
й екран паралельні один |
Рисунок 58.1 – Схема |
спостереження |
дифракції |
||||||
одному. |
Відповідно |
до принципу |
||||||||
Фраунгофера на щілині |
|
|
||||||||
Гюйгенса-Френеля |
елементарні |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
118 |
|
|
|
|
ділянки відкритої частини хвильової поверхні є джерелами вторинних хвиль, а світлове поле за щілиною знаходиться як результат інтерференції цих когерентних вторинних хвиль. Знайдемо, використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля, амплітуду і інтенсивність світла на екрані як функцію кута відхилення від прямолінійного напрямку поширення ϕ .
Розіб'ємо відкриту частину хвильової поверхні на N однакових паралельних краям
щілини елементарних |
зон шириною b / N . Кожна однакова зона створює в |
точці P |
коливання з однаковими амплітудами, які обернено пропорційні числу зон N : |
|
|
|
A = A0 / N |
(58.1) |
(зміст коефіцієнта A0 |
з'ясується далі). Лінза збирає у фокальній площині плоскі хвилі від |
|
елементарних зон, які інтерферують між собою. Різницю ходу для двох сусідніх зон, відстань
між якими b / N , знаходимо з рисунка 58.1: |
= (b / N )sin ϕ . Відповідна |
різниця фаз |
||||||
коливань, що збуджуються у точці P сусідніми зонами, дорівнює |
|
|||||||
|
δ = |
2π |
= |
2π |
bsin ϕ . |
|
(58.2) |
|
|
λ |
λ |
|
|||||
|
|
|
N |
|
|
|||
|
5 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
|
3 |
|
6 |
2π − Nδ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||
|
Aϕ |
|
|
δ |
|
δ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
R |
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
δ |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1
Рисунок 58.2 – Векторна діаграма для визначення амплітуди Aϕ суми N
коливань із однаковою амплітудою A , зміщених за фазою одна відносно одної на кут δ . Рисунок виконаний для N =6
Таким чином, у точці P інтерферують N хвиль із однаковою амплітудою A0 / N , які мають зміщення за фазою відносно одна одної на кут δ . Тоді результуюче коливання буде
визначатися сумою коливань, які створюють N елементарних зон: |
|
|
Aϕ cos(ωt + α)= Acos(ωt)+ Acos(ωt + δ)+...+ |
Acos(ωt + (N −1)δ). |
(58.3) |
2 Знайдемо амплітуду результуючого коливання Aϕ |
(58.3), використовуючи метод |
|
векторних діаграм. Згідно з методом векторних діаграм кожне коливання зображується вектором, модуль якого дорівнює амплітуді коливання, а кут між напрямком цього вектора та напрямом, який взято за вихідний, дорівнює початковій фазі коливання. Відповідно до (58.3) вектори усіх коливань мають однакову амплітуду A . Початкові фази коливань є різними і відрізняються на одну і ту саму величину, що дорівнює δ . Якщо скласти ці вектори геометрично, то неважко побачити, що вони утворюють частину багатокутника, який вписано в коло радіусом R . З рисунка випливає, що:
A / 2 = R sin(δ / 2),
Aϕ / 2 = Rsin[(2π − Nδ)/ 2] = R sin(π − Nδ / 2)= R sin(Nδ / 2). 119
Виключивши R із цих рівнянь, одержимо співвідношення |
|
||
|
Aϕ = DA sin(Nd / 2) |
, |
(58.4) |
|
sin(d / 2) |
|
|
яке виражає амплітуду Aϕ через амплітуду A й зміщення за фазою δ . |
|
||
3 Коли замість A у формулу (58.4) підставимо вираз (58.1), а замість δ – вираз (58.2), то отримаємо
A = A0 sin[(pb / l)sin j] . |
|
ϕ |
N sin[(pb / Nl)sin j] |
|
|
Цей вираз є наближеним. Він буде тим більш точним, чим меншими будуть елементарні зони, тобто чим більшим буде N . Тоді знаменник набере вигляду
|
ìsin[(pb / Nl)sin j]ü |
×(pb / l)sin j . |
||
lim {N sin[(pb / Nl)sin j]}= lim í |
(pb / Nl)sin j |
ý(pb / l)sin j =1 |
||
N →∞ |
N →∞î |
þ |
|
|
Тут використали, що lim{sin a / a}=1. Таким чином, вираз для амплітуди у точці P можемо
α→0
записати
A |
= A |
sin[(pb / l)sin j] |
|
. |
(58.5) |
|
(pb / l)sin j |
||||||
ϕ |
0 |
|
|
|||
З’ясуємо фізичний зміст константи A0 . Для цього розглянемо вираз (58.5) для
випадку, коли кут ϕ |
прямує до нуля. Використовуючи |
|
lim{sin a / a}=1, знаходимо, що в |
|||
|
|
|
|
|
α→0 |
|
цьому випадку Aϕ |
дорівнює A0 . Звідси випливає, |
що A0 є амплітудою |
усередині |
|||
дифракційної картини (проти центра лінзи). |
|
|
|
|||
Інтенсивність світла пропорційна квадрату амплітуди. Отже, |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Iϕ = I0 |
sin 2 [(pb / l)sin j] |
. |
(58.6) |
|
|
|
[(pb / l)sin j]2 |
|
|||
де I0 – інтенсивність усередині інтерференційної картини (при ϕ = 0); Iϕ – інтенсивність у точці, положення якої визначається даним значенням ϕ .
4 Проаналізуємо отриманий результат. Як з’ясували вище, коли ϕ = 0, то Iϕ = I0 .
Далі, прирівнюючи чисельник до нуля, знаходимо умову мінімуму інтенсивності
sin 2 [(pb / l)sin j]= 0 , (pb / l)sin j = ±kp (k =1,2,3,...) , |
|
||
тобто |
|
||
|
|
|
|
|
bsin ϕ = ±kλ (k = 1,2,3,...) |
. |
(58.7) |
Таким чином, умова (58.7) визначає положення мінімумів інтенсивності.
Між мінімумами інтенсивності, які визначаються умовами (58.7), знаходяться максимуми різних порядків. Досліджуючи функцію (58.6) на екстремум, можемо знайти їх положення. Наближено можна вважати, що максимуми знаходяться посередині між сусідніми мінімумами.
Графік функції (58.6) зображений на рис. 58.3. Вздовж осі абсцис відкладені значення sin ϕ, осі ординат – інтенсивність Iϕ .
З умови (58.7) випливає, що sin ϕ = ±kλ / b . Модуль синуса не може перевищити одиницю. Тому kλ / b < 1, звідки
k ≤ b / λ . |
(58.8) |
120
|
|
|
|
|
|
|
Iϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
λ |
|
λ |
0 |
λ |
− |
λ |
sin ϕ |
|
|
|
|
|
− |
2 b |
|
− b |
|
b |
2 b |
|
|
|
|
|
Рисунок 58.3 – Дифракційна |
картина |
від |
однієї |
щілини |
||||||||
|
(залежність Iϕ від sin ϕ) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Таким чином, кількість мінімумів інтенсивності визначається відношенням ширини щілини |
|||||||||||||
b до довжини хвилі λ . При ширині щілини, меншій за довжину хвилі, мінімуми взагалі не |
|||||||||||||
виникають. У цьому випадку інтенсивність світла монотонно зменшується від середини |
|||||||||||||
дифракційної картини до її країв. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
§ 59 Дифракція |
Фраунгофера |
на |
дифракційних решітках. Амплітуда й |
||||||||||
інтенсивність світла, максимуми й мінімуми [5] |
|
|
|
|
|||||||||
1 Дифракційною |
|
|
|
решіткою |
|
|
b |
|
d |
|
|||
називається |
оптичний |
прилад, |
що |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
складається з великого числа однакових, |
|
|
|
|
|
= d sin ϕ |
|||||||
віддалених |
одна |
від |
одної |
на |
однакову |
|
|
|
ϕ |
|
|||
відстань щілин (рис. 59.1). Відстань |
між |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
серединами |
сусідніх |
щілин |
називається |
|
|
|
|
|
|
||||
періодом решітки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕ |
|
|
|
Розмістимо |
паралельно |
решітці |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
збиральну лінзу, у фокальній площині якої |
|
|
P |
|
O |
|
|||||||
помістимо |
екран. |
З'ясуємо |
характер |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||
дифракційної картини, яка утворюються на |
|
|
|
|
|
|
|||||||
екрані під час падіння на решітку плоскої |
Рисунок 59.1 – Схема спектрального приладу |
||||||||||||
світлової |
хвилі |
(для |
|
спрощення |
з дифракційною решіткою |
|
|||||||
математичних розрахунків будемо вважати, |
|
|
|
|
|
|
|||||||
що хвиля падає на решітку нормально). Дифракційна картина, яку дає на екрані одна |
|||||||||||||
щілина, нам відома з попереднього параграфа. Дифракційну картину від усіх щілин знайдемо, |
|||||||||||||
використовуючи принцип Гюйгенса-Френеля. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Будемо припускати, що довжина просторової когерентності хвилі, що падає, набагато |
|||||||||||||
перевищує довжину решітки, так що коливання від усіх щілин можна вважати когерентними. |
|||||||||||||
У цьому випадку результуюче коливання в точці P , положення якої визначається кутом ϕ , |
|||||||||||||
являє собою суперпозицію |
N коливань, які мають однакову амплітуду Aϕ |
та зміщені одна |
|||||||||||
відносно одної за фазою на однакову величину δ . Таким чином, |
амплітуда результуючого |
||||||||||||
коливання від решітки буде визначатися співвідношенням |
|
|
|
|
|||||||||
Aреш cos(ωt + α)= Aϕ cos(ωt)+ Aϕ cos(ωt + δ)+...+ Aϕ cos(ωt + (N −1)δ).
121