ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 170
Скачиваний: 0
РОЗДІЛ 1 ФІЗИЧНІ ОСНОВИ КЛАСИЧНОЇ МЕХАНІКИ
ТЕМА 1 КІНЕМАТИКА
§ 1 Простір і час. Система відліку. Матеріальна точка. Радіус-вектор. Траєкторія, шлях, переміщення [7]
1 Фізика – наука, яка вивчає найпростіші і найбільш загальні властивості й закони руху об’єктів матеріального світу. Починаємо вивчення фізики з механіки, розділу фізики, що вивчає найпростішу форму руху матерії – механічний рух. Механічним рухом називають зміну з часом взаємного розміщення тіл або їх частин у просторі.
Одними з фундаментальних понять є поняття про простір та час. Коли говорять про простір, то під цим розуміють розміщення одної або іншої точки відносно інших тіл та спосіб вимірювання відстаней між точками та тілами. Коли говорять про час, то мають на увазі деякий періодичний процес, який відбувається у системі тіл, який служить виміру
проміжків часу. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 Вивчення |
механіки |
почнемо |
з |
кінематики. |
Кінематикою |
називають |
розділ |
|||||
механіки, який присвячено опису руху тіл, без з’ясування причин такого руху. |
|
|||||||||||
У механіці для опису тіл використовують |
|
Z |
|
|
|
|||||||
різні моделі. |
Зупинимося |
на |
одній |
з |
них. |
|
z |
|
|
|
||
Матеріальною |
точкою |
називають |
|
тіло, |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
розмірами якого в даних умовах руху можна |
|
|
|
|
|
|||||||
знехтувати. Знехтувати можна розмірами тіла |
|
r |
r |
A |
|
|||||||
коли: а) відстані |
до інших |
тіл |
набагато |
більші |
|
ez |
Y |
|||||
порівняно з розмірами самого тіла; б) коли |
|
О |
|
y |
||||||||
|
|
ey |
|
|||||||||
відстані, які проходить тіло, є набагато більші |
|
r |
|
|
||||||||
порівняно з розмірами тіла; в) коли тіло рухається |
|
ex |
|
|
|
|||||||
поступально, |
тобто усі точки |
тіла |
рухаються |
X |
x |
|
|
|
||||
однаково. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Щоб описати рух будь-якого тіла, потрібно |
|
|
Рисунок 1.1 |
|
||||||||
вказати інше тіло відносно яких розглядається рух |
|
|
|
|
|
|||||||
даного тіла, потрібно вказати систему координат та визначити, яким чином ми будемо слідкувати за часом. Про все це говорять як про систему відліку. Системою відліку
називають тіло відліку, систему координат, що пов’язана з тілом відліку, та прилад для
виміру часу. Таким чином, рух тіла розглядається відносно системи відліку. |
|
|
|
||||||||||||
|
Розміщення матеріальної точки у просторі |
|
|
|
Z |
|
|
|
|||||||
визначається |
радіус-вектором |
r . |
|
Вектор, |
|
|
z2 |
|
|
|
|
||||
початок якого збігається з початком координат, |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
s |
|
|
|||||||||
а кінець визначає положення деякої матеріальної |
|
|
|
r 1 |
|
|
|||||||||
точки, називається радіус-вектором |
r |
цієї |
|
|
z1 |
r |
2 |
|
|||||||
точки (див рис. 1.1). У прямокутній системі |
|
|
|
r1 |
r |
|
|||||||||
координат |
r = xex + yey + zez , |
де |
x, y, z |
– |
|
|
О |
y1 |
r2 |
y2 |
Y |
||||
координати |
точки, ex , ey , ez |
(або |
відповідно |
|
|
x1 |
|
|
|
||||||
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||||
i , |
j, k ) – |
орти |
координатних |
осей |
(вектори |
X |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
одиничної довжини, які направлені вздовж |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
відповідних осей). |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 1.2 |
|
|
||||
|
Зміна положення матеріальної точки у |
|
|
r (рис. 1.2). Вектор переміщення |
|||||||||||
просторі за час t |
визначається вектором переміщення |
|
|||||||||||||
r |
– вектор, |
проведений з початкового положення матеріальної точки |
r1 в її кінцеве |
||||||||||||
положення |
r2 . |
Вектор переміщення |
дорівнює різниці |
радіус-векторів у |
кінцевому |
r2 і |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
початковому |
r1 |
|
положеннях |
матеріальної |
точки |
r = r2 − r1 = |
||||||
= (x2 − x1)ex + ( y2 − y1)ey + (z2 − z1)ez . |
Модуль |
переміщення |
дорівнює |
|||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− x )2 |
+ ( y |
|
− y )2 |
+ (z |
|
− z )2 . |
|
|
|
||
| r |= (x |
2 |
2 |
|
|
|
|||||||
2 |
1 |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|||
Траєкторією називають лінію вздовж якої рухається тіло. Шляхом s називають довжину траєкторії. Шлях, модуль переміщення, модуль радіус-вектора вимірюють у системі СІ у метрах.
§ 2 Середня й миттєва швидкість. Визначення переміщення і шляху тіла за його швидкістю [4]
1 Середньою швидкістю руху за даний проміжок часу називається векторна величина, яка чисельно дорівнює відношенню вектора переміщення до проміжку часу, за яке це переміщення відбулось:
|
|
|
r |
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
υ |
= |
t |
. |
|
|
|
|
(2.1) |
|
Вимірюють середню швидкість у системі СІ у метрах за секунду (м/с). |
|
|
||||||||||
2 У багатьох випадках нас цікавить не середня |
Y |
1 |
υ |
|
||||||||
швидкість тіла за деякий проміжок часу, а швидкість тіла |
|
|
s |
|||||||||
в даний момент часу, |
або миттєва швидкість. |
Для |
|
|
r |
|||||||
визначення миттєвої швидкості матеріальної точки слід |
|
|
2 |
|||||||||
|
r |
|||||||||||
прийняти до уваги те, що миттєва швидкість змінюється |
|
r |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
неперервно. Тому чим менше проміжок часу, протягом |
|
r |
r |
r |
||||||||
якого відбувається вимірювання переміщення, тим |
|
r2 |
= r + |
r |
||||||||
менше встигне змінитися середня швидкість і тим |
|
|
|
|
||||||||
ближчою буде середня швидкість до її миттєвого |
|
|
|
X |
||||||||
значення. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 2.1 |
||
Виходячи з вище сказаного, можна визначити |
|
|||||||||||
|
часу t радіус-вектор, що |
|||||||||||
миттєву швидкість таким чином. Нехай в деякий момент |
||||||||||||
характеризує положення тіла у просторі, дорівнює r |
(див. рис. 2.1). У момент часу t2 = t + t |
|||||||||||
r |
r |
r |
|
|
|
|
|
t . Тоді середня швидкість за |
||||
радіус-вектор буде r2 |
= r |
+ r , де r – переміщення за час |
||||||||||
цей проміжок часу буде дорівнювати |
|
= |
r . |
|
|
|
|
|||||
|
|
< υ >= r2 − r |
|
|
|
|
||||||
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 − t |
|
|
|
t |
|
|
|
|
Чим меншим буде проміжок часу t , тим менше буде відрізнятися середня швидкість на проміжку часу t від миттєвої швидкості в момент часу t . Тому миттєву швидкість
визначимо як границю, до якої прямує середня швидкість за нескінченно малий проміжок часу
r |
r |
r |
≡ |
dr |
r |
. |
(2.2) |
υ = lim |
< υ >= lim |
t |
dt |
≡ r& |
|||
t→0 |
t→0 |
|
|
|
|
У математиці таку границю називають похідною. Тому миттєва швидкість є похідною від радіус-вектора за часом. З рис. 2.1 випливає, що вектор швидкості υ направлений за дотичною до траєкторії у тій точці, де знаходиться частинка в даний момент часу, у той бік, куди рухається частинка. Як правило миттєву швидкість часто називають просто швидкістю. Вимірюють миттєву швидкість у системі СІ у метрах за секунду (м/с).
Знайдемо модуль виразу (2.2), тобто модуль швидкості | υ |:
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
υ =| υ |= |
lim |
= lim |
|
|
|
. |
(2.3) |
|
|
||||||||
t |
|
t |
|
|||||
|
t→0 |
t→0 |
|
|
|
|||
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
r |
– шлях, який тіло проходить між точками 1 |
З рис. 2.1 бачимо, що відношення Dr / Ds , де s |
та 2, при зменшенні t прямує до одиниці. Тому ми можемо записати вираз (2.3) у вигляді
|
r |
|
æ |
|
r |
|
Ds ö |
|
r |
|
Ds |
|
ds |
|
|
|
|
Dr |
|
|
Dr |
|
|
Dr |
|
|
|
|
|||||
u = lim |
|
= lim |
ç |
|
|
|
|
÷ |
= lim |
|
× lim |
|
= |
|
. |
(2.4) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
t→0 Dt |
|
ç |
|
Ds |
÷ |
t→0 Ds |
t→0 Dt |
|
dt |
|
|
|||||
t→0è |
|
Dt ø |
|
|
|
|||||||||||
Таким чином, модуль вектора миттєвої швидкості дорівнює похідній від шляху за часом,
тобто миттєвій шляховій швидкості. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Підставимо у визначення |
(2.2) |
|
радіус-вектор, який |
виражений |
через |
орти |
та |
||||||||||||
координати матеріальної точки |
r |
r |
|
|
r |
|
r |
|
Візьмемо |
до |
уваги, що |
r |
r |
r |
є |
||||
r = xex + yey |
+ zez . |
ex , ey , |
ez |
||||||||||||||||
постійними у часі векторами, й отримаємо |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
r |
r |
|
|
r |
|
r |
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
& |
= xex + yey |
+ zez . |
|
|
|
|
|
|
(2.5) |
|||||||
|
|
u = r |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
& |
|
& |
|
& |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разом з цим вектор швидкості υ можна |
подати |
|
через його |
проекції |
ux , uy , uz |
на |
|||||||||||||
координатні осі у вигляді |
r |
|
r |
|
r |
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2.6) |
||||||
|
|
u = uxex |
+ uyey + uzez . |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Порівняння виразів (2.5) і (2.6) приводить до співвідношень: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
ux = x& = dx |
, |
uy = y& |
= dy |
, |
uz = z& = dz |
. |
|
|
|
|
(2.7) |
|||||||
|
|
dt |
|
|
|
|
|
dt |
|
|
dt |
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, проекції вектора дорівнюють похідним відповідних координат за часом. |
|
|
|||||||||||||||||
3 Знайдемо за відомим у кожний момент часу вектором швидкості υ(t) |
переміщення |
||||||||||||||||||
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
матеріальної точки Dr12 від моменту часу t1 до моменту t2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Розіб'ємо інтервал часу t2 -t1 на N |
малі (не обов'язково однакові) проміжки Dti |
( i |
– |
||||||||||||||||
номер проміжку, що набуває значення |
1,2,…, N ). |
Відповідно до формули |
(2.2) можна |
||||||||||||||||
вважати, що на i -му проміжку часу вектор швидкості приблизно дорівнює |
r |
|
r |
/ Dti . |
|||||||||||||||
u(ti ) » Dri |
|||||||||||||||||||
Тобто переміщення за проміжок часу Dti |
дорівнює |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
r |
r |
Dri |
» u(ti ) ×Dti . |
Зрозуміло, що сумарне переміщення за час від t1 до t2 буде дорівнювати
r |
N |
r |
N |
r |
Dr12 |
» åDri |
= åu(ti )Dti . |
||
|
i=1 |
|
i=1 |
|
(2.8)
(2.9)
Точне значення переміщення знайдемо, коли малі інтервали часу будуть прямувати до нуля: max(Dti ) ® 0
r |
|
æ N |
r |
ö |
|
Dr12 = |
lim |
ç |
|
÷ |
(2.10) |
çåu(ti )Dti ÷ . |
|||||
|
max( ti )→0è i=1 |
|
ø |
|
|
У математиці границю суми
N
lim → å f (xi )Dxi , (2.11)
max( ti ) 0 i=1
яка складена для значень x , що знаходяться у межах від a до b , називають визначеним інтегралом від функції f (x) , узятим за змінною x від нижньої межі x = a й верхньої межі x = b , і позначають символом
b |
|
|
ò f (x)dx |
. |
(2.12) |
a |
|
|
11 |
|
|
Порівняння виразів (2.10) і (2.11) показує, що переміщення Dr12 , яке виконано частинкою за проміжок часу від t1 до t2 , дорівнює визначеному інтегралу від функції u(t) , яка показує, як змінюється вектор швидкості з часом:
r |
r |
r |
t2 |
r |
. |
(2.13) |
Dr12 |
º r2 |
- r1 |
= òu(t)dt |
|||
|
|
|
t1 |
|
|
|
Можна пояснити знаходження переміщення Dr12 за час від моменту t1 до моменту t2 більш коротко. З вище наведених міркувань випливає, що у точних формулах, як для
знаходження похідної, так і для знаходження визначеного інтеграла потрібно використовувати проміжки часу Dt , які прямують до нуля. Позначимо такий елементарний проміжок часу, який прямує до нуля, через dt . Тоді за цей проміжок часу dt елементарне переміщення dr (теж прямує до нуля) буде визначатися на відміну від наближеного співвідношення (2.8) точною формулою
dr = u(t)× dt . |
(2.14) |
Зазначимо, що формулу (2.14) можна отримати з (2.2), розглядаючи похідну як відношення елементарного переміщення до елементарного часу. Ми і далі будемо розглядати похідну як відношення відповідних елементарних величин. Геометрична сума елементарних переміщень дасть результуюче переміщення за час від моменту t1 до t2 .
r |
t2 |
r |
Dr12 |
= òu(t)dt , |
|
|
t1 |
|
яке збігається з (2.13).
4 З урахуванням виразу (2.13) середнє значення вектора швидкості (див. формулу (2.1)) за час руху t2 -t1 можна подати у вигляді
r |
r |
|
|
1 |
t |
|
r |
|
|
|
Dr |
= t |
|
2 |
. |
(2.15) |
|||||
< u >= t |
- t |
- t |
òu(t)dt |
|||||||
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 |
2 |
1 t |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
Аналогічно обчислюються середні значення будь-яких інших функцій.
§ 3 Прискорення. Визначення швидкості тіла за його прискоренням. Швидкість та координати тіла під час рівноприскореного руху [1]
1 Щоб охарактеризувати зміну швидкості частинки з часом, використовується
величина |
|
|
|
|
|
r |
Du |
|
du |
r |
|
a = lim |
|
= |
|
& |
(3.1) |
Dt |
dt |
= u, |
|||
t→0 |
|
|
|
яка називається прискоренням частинки. Взявши до уваги визначення швидкості, можна написати
r |
|
r |
ö |
d |
r |
r |
|
d æ dr |
|
||||||
|
|
|
|
|
& |
&& |
|
a = |
|
ç |
÷ = |
|
r |
= r . |
(3.2) |
|
dt |
||||||
|
dt è dt |
ø |
|
|
|
||
Отже, прискорення можна визначити як першу похідну швидкості за часом або як другу похідну радіус-вектора за часом.
Підставимо у формулу (3.2) радіус-вектор, який виражений через орти та координати
r = r + r + r r r r
матеріальної точки r xex yey zez . Візьмемо до уваги, що ex , ey , ez є постійними
векторами, й отримаємо
r = r a &x&ex
&&r |
&&r |
(3.3) |
+ yey + zez . |
||
12