ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 205
Скачиваний: 0
4 Маючи деякий набір конденсаторів, можна одержати багато різних значень ємності, якщо застосувати з’єднання конденсаторів у батареї. Знайдемо ємність батареї конденсаторів, які з’єднані паралельно.
При паралельному з’єднанні усі додатні та усі від’ємні обкладки конденсаторів з’єднуються між собою (див. рис. 102.3). Тому одна з обкладок кожного конденсатора має потенціал ϕ1 , а інша ϕ2 . На кожному k -му конденсаторі з’являється заряд qk , який
дорівнює згідно з визначенням ємності qk = Ck (ϕ1 − ϕ2 ) . Загальний заряд батареї тоді буде дорівнювати сумі зарядів на кожному окремому конденсаторі
q = åqk = åCk (ϕ1 − ϕ2 ) =(ϕ1 − ϕ2 )åCk .
ϕ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
+ q1 |
|
|
|
|
|
|
|
+ q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ qN |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
C1 |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
CN |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
− q1 |
|
|
|
|
|
|
|
− q2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− qN |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Рисунок 102.3 – Паралельне з’єднання конденсаторів |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Розділивши цей загальний заряд на прикладену до батареї напругу U = ϕ1 − ϕ2 , знайдемо |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ємність батареї, у якій конденсатори з’єднані паралельно: |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
(ϕ1 − ϕ2 )åCk |
= åCk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
C = |
= |
або |
C = åCk |
. |
|
|
|
|
(102.6) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
U |
|
|
|
|
ϕ1 − ϕ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Таким чином, при паралельному з’єднанні конденсаторів їх ємності складуються. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5 Знайдемо ємність батареї |
конденсаторів, |
які |
з’єднані |
|
ϕ1 |
|
+ q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
послідовно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
При послідовному з’єднанні (рис. 102.4) від’ємно |
C1 |
|
|
|
|
U1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заряджена обкладка першого конденсатора з’єднується з додатно |
|
|
|
|
− q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
зарядженою обкладкою другого, від’ємно заряджена обкладка |
|
|
|
|
+ q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
другого – з додатно зарядженою обкладкою третього і т.д. |
C2 |
|
|
|
|
U2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Провідник, що знаходиться між обкладками сусідніх конденсаторів |
|
|
|
|
− q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виявляється електрично ізольованим. Тому для цього провідника |
|
|
|
|
+ q |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
виконується закон збереження електричного заряду. Таким чином, |
CN |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумарний електричний заряд на цьому провіднику, який дорівнює |
|
|
|
|
UN |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
сумі заряду додатно зарядженої обкладки одного конденсатора та |
|
ϕ2 |
|
− q |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
заряду від’ємно зарядженої обкладки другого конденсатора, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
дорівнює нулю. Тобто заряди, які виникають на конденсаторах, що |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Рисунок 102.4. Послі- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
з’єднані послідовно, за модулем однакові та протилежні за знаком. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
довне |
з’єднання кон- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Позначимо заряд конденсатора через q . Напругу на кожному k -му |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
денсаторів |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
конденсаторі можна обчислити, виходячи з визначення ємності, |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Uk = q / Ck . Сума цих напруг дорівнює напрузі U = ϕ1 − ϕ2 , яка прикладена до батареї: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
U = åUk |
= å |
|
q |
|
= qå |
1 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(102.7) |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ck |
|
|
|
Ck |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
Виходячи з визначення (102.2), знаходимо ємність батареї |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qå |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
U |
|
|
C |
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
|
|
= |
|
|
|
k |
|
= å |
|
або |
|
|
|
= å |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
(102.8) |
|||||||||||||||
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
C |
Ck |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
C |
|
q |
|
|
Ck |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
Таким чином, обернена ємність батареї, в якій конденсатори з’єднані послідовно, дорівнює сумі обернених ємностей конденсаторів, з яких складається ця батарея.
169
заданих точках простору. Ця робота залежить від відстаней ri k між зарядами, тобто від
конфігурації системи зарядів.
Формулі (103.1) можна надати вигляду
1 |
N |
N |
1 |
|
|
q |
1 |
N |
|
|
|
|
|
|
1 |
N |
|
|
|||||
W = |
|
åqi å |
|
|
|
|
k |
|
= |
|
|
åqiϕi або |
W = |
2 |
åi=1 qiϕi |
, |
(103.2) |
||||||
2 |
4πε |
|
r |
|
2 |
||||||||||||||||||
|
|
i=1 k =1 |
|
|
0 i k |
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
де |
|
(i¹k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
N |
|
|
1 |
|
|
qk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ϕi = å |
|
|
|
|
|
|
|
|
(103.3) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
4πε |
0 |
|
r |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k =1 |
|
|
|
|
i k |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(i¹k ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
є потенціал електричного поля у точці, де знаходиться заряд |
qi |
, і який створюється усіма |
|||||||||||||||||||||
зарядами, крім заряду qi . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким чином, енергія взаємодії |
N |
точкових зарядів визначається формулою (103.2), |
|||||||||||||||||||||
де потенціал ϕi визначається формулою (103.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
§ 104 Енергія зарядженого провідника. Енергія зарядженого конденсатора [5]
1 Знайдемо енергію зарядженого провідника. Заряд q , що знаходиться на деякому провіднику, можна розглядати як систему точкових зарядів qi . Тому для знаходження енергії зарядженого провідника використаємо формулу для потенціалу системи точкових зарядів
|
1 |
N |
|
|
W = |
åqiϕi , |
(104.1) |
||
|
||||
|
2 i =1 |
|
||
де ϕi є потенціал електричного поля у точці, де знаходиться заряд qi , і який створюється усіма зарядами, крім заряду qi .
Точкові заряди виберемо так qi = qi , щоб вклад окремого заряду qi в загальний потенціал провідника був дуже малим. Тому за потенціал у точці, де знаходиться заряд qi = qi можна взяти загальний потенціал провідника ϕi = ϕ . Як відомо, поверхня провідника є еквіпотенціальною. Тобто потенціал точок, у яких знаходяться точкові заряди qi = qi , є однаковим і дорівнює потенціалу ϕ провідника.
Використовуючи вищесказане, знаходимо з (104.1) для енергії зарядженого
провідника вираз |
|
|
|
|
|
|
|
|
W = |
1 |
åqiϕi = |
1 |
å qiϕ = |
1 |
ϕå qi = |
1 |
ϕq . |
|
|
2 |
2 |
|||||
|
2 i=1 |
2 i=1 |
i=1 |
|
||||
Далі використаємо визначення для електроємності відокремленого провідника C = q / ϕ і отримаємо
|
|
|
ϕq |
q2 |
|
Cϕ2 |
|
|
|
|
|
W = 2 = |
|
= |
|
|
. |
(104.2) |
|
|
2C |
2 |
|||||||
Кожний з цих виразів у (104.2) визначає енергію зарядженого провідника. |
|
||||||||
|
2 Знайдемо енергію зарядженого конденсатора. Припустимо, що потенціал обкладки, |
||||||||
на |
якій знаходиться додатний заряд |
( + q ), |
дорівнює ϕ1 а потенціал обкладки, |
на якій |
|||||
знаходиться від’ємний заряд ( − q ), |
дорівнює |
ϕ2 . Тоді кожний з елементарних |
зарядів |
||||||
( + |
qi ), на які можна розділити додатний заряд ( + q ), знаходиться в точці з потенціалом ϕ1 , |
||||||||
|
|
|
171 |
|
|
|
|
|
|