Файл: m4058_KTE_laby.pdf

ЛАБОРАТОРНА РОБОТА №5

Тема Метод фазової площини

Теоретичні відомості

За допомогою математичних моделей на основі звичайних диференціальних рівнянь можна описувати часову залежність різних величин.

Нехай є дві взаємозалежні величини x та y, які змінюються з часом: x = x(t), y = y(t)1). Нехай ці часові зміни описуються системою звичайних диференціальних рівнянь вигляду

Розв’язками системи є функції x(t) та y(t). Візуалізувати всі можливі розв’язки такої системи можна за допомогою графічного підходу, який полягає у побудові фазових портретів, у разі, якщо праві частини (5.1) не залежать явно від часу t. Для аналізу системи рівнянь (5.1) методом фазової площини систему приводять до стандартного вигляду: ділять одне рівняння на інше, і таким чином виключають параметр t із безпосереднього розгляду:

Якщо розглядати координатну площину y(x), то кожна точка цієї площини визначає значення y та x у певний момент часу t. Геометричне місце таких точок, які отримані при одних початкових умовах задачі Коші (типу x(t=0)=x0 та y(t=0)=y0), є

1) Загалом, параметр t необов’язково є саме часом. Це може бути будь-яка інша величина, яка виступатиме незалежною змінною для залежних змінних x та y

фазовою траєкторією системи (5.1). Рівняння (5.2) є рівнянням фазових траєкторій. Початкові умови визначають початок

траєкторії. Співвідношення в (5.2) дає нахил траєкторії 1).

Різні варіанти часової еволюції системи можна показати за допомогою багатьох фазових траєкторій, які в сукупності сформують фазовий портрет системи. Альтернативно можна заповнити фазову площину y(x) рівномірною сіткою стрілоквекторів. Напрямок стрілок вказує на напрямок фазової траєкторії, що може проходити через цю точку, (тобто напрямок збільшення часу). Тоді говорять про векторне поле.

Аналіз системи (5.1) починають із знаходження особливих точок – точок фазової площини (xp, yp), в яких невизначені

похідні та , а = = 0 або ( , ) = ( , ) = 0.

Потім визначають тип особливих точок, який описує характер поведінки фазових траєкторій в околі (тобто поблизу) особливої точки. Для лінійних моделей у двовимірному фазовому портреті існує 6 видів простих особливих точок: стійкий та нестійкий вузол, стійкий та нестійкий фокус, сідло та центр (рис. 5.1). Стійкі та нестійкі точки відрізняються напрямком руху системи з часом – до особливої точки та від особливої точки відповідно.

а б в г Рисунок 5.1 – Типи простих особливих точок: а – стійкий

вузол, б – стійкий фокус, в – сідло, г – центр

1) Відповідно до геометричного змісту першої похідної функції – тангенс кута нахилу графіка функції відносно осі абсцис

Визначення вигляду особливої точки за показниками Ляпунова:

Розглянемо можливі випадки (рис. 5.2):

1) 2 > 4 , тобто 1,2 – дійсні:

а) 1,2 < 0 (m > 0, n > 0) – стійкий вузол; б) 1,2 > 0 (m < 0, n > 0) – нестійкий вузол;

в) 2 < 0 < 1 (n < 0) – сідло;

2) 2 < 4 , тобто 1,2 = – комплексні: а) < 0 ( > 0) – стійкий фокус;

б) > 0 ( < 0) – нестійкий фокус;

в) = 0 ( = 0) – центр;

3)2 = 4 , тобто 1 = 2 = − 2 : вироджений вузол;

4)= 0 – особлива точка вищого порядку.

Точки вищого порядку: n = 0

Рисунок 5.2 – Діаграма виглядів особливих точок

Визначення вигляду особливої точки за теоремою Пуанкаре:

У деяких випадках корисно застосовувати теорему Пуанкаре, яка являє собою достатню умову для того, щоб

( , ), то точка О є центром.

Якщо права частина системи (5.1) має складний вигляд і не дозволяє прямо провести аналіз за вищеописаною схемою, то аналіз проводять наближено, використовуючи розкладання правих частин рівнянь (5.3) у ряд Тейлора1) відносно ∆ та ∆ поблизу 0.

Завдання

Для заданих систем диференціальних рівнянь (табл. 5.1): а) визначити кількість та координати особливих точок; б) визначити вигляд особливих точок, застосувавши

показники Ляпунова та/або теорему Пуанкаре; в) побудувати фазовий портрет (портрети) системи;

г) позначити на фазовому портреті положення особливих точок;

ґ) позначити на фазовому портреті напрямок руху системи (тобто напрямок зростання незалежної змінної);