ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 19.03.2024
Просмотров: 46
Скачиваний: 0
д) побудувати графіки залежності x(t) та y(t) для декількох початкових умов, що відповідають побудованим фазовим траєкторіям;
е) у завданнях варіанта «В» (додатковий варіант підвищеної складності, виконується за бажанням) побудувати діаграму (діаграми) виглядів особливих точок.
Таблиця 5.1
Номер |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Система рівнянь |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(додатково). |
|||
варі- |
|
|
|
|
Система рівнянь (обов’язково) |
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
анта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Взяти |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
= 3 + 4 |
|
|
|
|
|
= + (2 + 2) |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
1 |
А |
{ |
|
|
|
Б |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
̈+ = 0 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= − + (2 |
+ 2) |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
= 2 − 3 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + 2 |
− 1 |
|
|
|
|
||||||||||||
2 |
А |
{ |
|
Б |
|
{ |
|
|
В |
̈+ ̇+ |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= 6 − 2 |
+ 1 |
|
+5 = 0 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
= 2 − 4 − 8 |
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 ̈+ ̇+ |
||||||||||||||||
3 |
А |
{ |
|
|
|
Б |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
В |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
+2 = 0 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
= − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 42 − 2 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
= 2 + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + − 2 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈− 2 ̇+ |
|||||||||||||||||
4 |
А |
{ |
|
|
|
Б |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= + 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 22 − 2 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
= 3 − 4 |
|
|
|
|
|
|
|
= 2 − 2 − 1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈− ̇+ |
|||||||||||||||||||
5 |
А |
{ |
|
|
|
Б |
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+3 = 0 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
= − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продовження табл. 5.1
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
6 |
7 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
= − |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − 2 − 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈− ̇− |
|
||||||||||||
6 |
А |
|
{ |
|
|
Б |
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
−2 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
= 2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 + − 2 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
̈+ 2 ̇+ |
|
||||||||||||||
7 |
А |
|
{ |
|
|
|
|
Б |
|
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
В |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 0 |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 ( − ) |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= + |
|
|
|
|
|
|
|
|
= 1 − 2 − 2 |
|
|
2 |
|
||||||||||||||
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
|
{ |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
8 |
А |
|
|
|
Б |
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
̈+ ̇+ ̇ + |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ = 0 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 4 − 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= + 3 |
|
|
|
|
= 2( − 1)( − 2) |
|
2 |
2 |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
9 |
А |
{ |
|
|
|
|
|
|
Б |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
В |
̈+ ̇− |
|
+ |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
= −6 − 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 2 − 2 |
|
+1 = 0 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
= 3 − 2 |
|
|
|
= 2 + 2 − 8 − 6 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
{ |
|
|
|
|
|
|
̈− 5 ̇− 4 + |
|||||||||||||||||||||||||
10 |
А |
|
|
|
|
Б |
{ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ 2 = 0 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= 4 − |
|
|
|
|
|
= (2 − + 5) |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
ЛАБОРАТОРНА РОБОТА 6
Тема Обчислення визначених інтегралів методами Монте-Карло
Теоретичні відомості
Методи Монте-Карло є методами випадкових випробувань, що використовуються для розв’язання різноманітних числових задач. Для обчислення визначеного інтеграла функції можна застосувати два варіанти реалізації методів Монте-Карло.
1. Метод «спроб і помилок».
Нехай функція |
y = f (x) задана на відрізку [ , ] |
|
(рис. 6.1). Площа S* |
фігури, |
обмеженої лініями = , |
= , = 0, = ( ) |
дорівнює |
значенню визначеного |
інтеграла = ∫ ( )d.
Умовно помістимо графік функції ( ) у прямокутник, який визначається прямими = ; = ; = 0; = , де h – це висота прямокутника, яка не менша за максимальне значення ( ) на відрізку [ , ].
y |
y = h |
|
|
|
|
= a |
y = f(x) |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
yi |
(xi,yi) |
|
b |
|
|
S* |
|
||
|
|
x = |
|
|
|
y = 0 |
|
x |
|
a |
xi |
|
b |
|
Рисунок 6.1 – До методу «спроб і помилок» |
||||
Будемо генерувати випадкові пари координат (xi,yi), які визначать положення випадкових точок всередині прямокутника (i – номер випробування, або номер кроку Монте-Карло). Задамо загальну кількість випробувань, або кроків Монте-Карло як n. Тоді за n випробувань буде згенеровано n точок. Нехай ns – це кількість точок, що опиняються всередині прямокутника нижче кривої = ( ). Тоді доля цих точок відносно повної кількості точок n являє собою наближену оцінку відношення площі фігури S* до площі прямокутника S, а значення інтеграла обчислюємо за формулою:
( ) = , (6.1)
де = ( − ) .
2. Метод вибіркового середнього.
У цьому методі визначений інтеграл шукають через середнє значення підінтегральної функції на відрізку. Для того щоб знайти це середнє, генерують випадковим чином значення xi (рис. 6.2) і обчислюють відповідні значення підінтегральної функції f (xi). Потім знаходять наближене значення визначеного інтеграла за формулою
1 ( ) = ( − ) ∑ ( ). (6.2)
=1
В обох наведених методах вважають, що випадкові числа розподілені рівномірно.
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = f(x) |
|
|
|
|
|
|
|
f(xi) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
a |
xi |
b |
|
||||
Рисунок 6.2 – До методу вибіркового середнього |
|
||||||||
|
|
|
Завдання |
|
|
|
|||
1. |
Обчислити |
точне |
значення |
Fexact |
інтеграла |
||||
= ∫ |
( ) (див. таблицю варіантів 6.1). |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Методом |
«спроб і |
помилок» |
обчислити |
значення |
||||
визначеного інтеграла ( ) = ∫ ( ) залежно від кількості
випробувань n.
3. Методом вибіркового середнього обчислити значення визначеного інтеграла ( ) = ∫ ( ) залежно від кількості
випробувань n.
4. Для кожного методу побудувати графік залежності
абсолютної похибки обчислень ( ) = |( ) − | (похибка методу Монте-Карло) від n.
5. Скільки потрібно провести випробувань, для того щоб отримати ( ) з точністю до двох десяткових знаків? Який із двох використаних методів Монте-Карло потребує менше машинного часу для обчислень у перерахунку на одне випробування?