Файл: [3] Проценко І.Ю., Шумакова Н.І., Овчаренко Ю.М. Фізика твердого тіла Навчальний посібник. – Суми Видавництво.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 20.03.2024
Просмотров: 52
Скачиваний: 0
Ізоенергетична поверхня в оберненому k – просторі описується рівнянням
k2 = k2 |
+ k2 |
+ k2 |
= |
2m*ε |
|
|
|
h2 , |
(3.1) |
||||||
x |
y |
z |
|
||||
що аналогічне рівнянню (2.7).
При малих квазіімпульсах ( p = hk ) ізоенергетична поверхня має сферичну форму, але у міру наближення до межі зони Бріллюена має місце все більше і більше відхилення від сфери. На рисунку 3.1 це показано на прикладі перших двох зон Бріллюена.
Оскільки електрони кристалів займають енергетичні рівні відповідно до статистики Фермі-Дірака, то електрони і при Т=0 К будуть мати енергію від 0 до εmax, яка одержала назву енергії Фермі (εф). Ізоенергетична поверхня, яка відповідає εф, має назву поверхні Фермі.
Рисунок 3.1 – Схематичне зображення ізоенергетичних поверхонь електронів у І і ІІ
(випадок, коли валентна зона і зона провідності дотикаються) зонах Бріллюена
3.2 ЕФЕКТИВНАМАСАЕЛЕКТРОНАВКРИСТАЛІ
Закон Ньютона для електрона в кристалі, як квазічастинки, має вигляд
F = h2 a
∂2ε ∂k2 ,
m* = h2 |
|
∂2ε −1 |
|||
|
|
|
|
|
|
∂k |
2 |
– ефективна маса. |
|||
де а – прискорення; |
|
|
|
||
На рисунку 3.2 подана якісна залежність ефективної маси від квазіімпульсу.
Рисунок 3.2 – Послідовні стадії побудови залежності m*=m*(k)
Фізичний зміст m*>m0 полягає у тому, що робота зовнішніх сил F, які прискорюють електрон, частково переходить у кінетичну енергію електрона, а частково у потенціальну енергію решітки. Якщо m*→∞, то це із фізичної точки зору означає, що робота сил повністю переходить у потенціальну енергію решітки (електрон зупиняється). Коли m*<0, то в потенціальну енергію решітки переходить не тільки робота зовнішніх сил, але і частина кінетичної енергії електрона.
3.3КІНЕТИЧНЕРІВНЯННЯБОЛЬЦМАНАДЛЯЕЛЕКТРОНА
ВКРИСТАЛІ. ЕЛЕКТРОПРОВІДНІСТЬМЕТАЛІВ
Кінетичне рівняння Больцмана можна одержати, якщо застосувати теорему rЛіувілляr до функції розподілу електронів за енергіями
f (ε) = f (p, r, t) :
|
r r |
|
|
r |
|
r |
|
|
df (p, r, t) |
= ∂f |
+ ∂fr |
∂p + |
∂fr |
∂r |
= 0 |
|
dt |
∂t |
|||||
|
∂t |
∂p |
∂t |
∂r |
, |
||
∂fr ≡ gradprf ≡ prf |
|
|
|
|
|
|
|
де ∂p |
– градієнт функції розподілу в напрямку |
||||||
∂fr ≡ gradrr f ≡ rr f |
|
|
|
|
|
r |
|
∂r |
– градієнт функції розподілу в напрямку r . |
||||||
r p ;
У реальному кристалі відбуваються процеси зіткнення електронів із фононами, дефектами, домішками та електронами і тому в правій частині замість нуля необхідно записати зміну функції розподілу в результаті вка-
∂f
заних зіткнень – ∂t зт , яку Больцман назвав інтегралом зіткнень. Тоді кінетичне рівняння у самому загальному випадку запишеться так:
∂f |
+ |
∂f |
r |
∂f |
r% |
|
∂f |
|
∂t |
r |
F + |
r v = |
|
(3.2) |
|||
|
∂p |
|
∂r |
|
|
∂t зт , |
||
r
де F – сила, яка діє на електрон; r
v% – середня швидкість дрейфу електрона у зовнішньому електричному полі. r r
Якщо скористатися законом Ома в диференціальній формі ( j = σE , де σ – питома провідність), то можна висунути теорію електропровідності металів.
В імпульсному підпросторі закон Ома перепишеться так:
r |
2e |
r% |
* |
|
j = |
(2πh)3 |
|
dp |
|
∫vf |
||||
|
|
p |
|
, |
де f* – доля функції розподілу Фермі-Дірака, яка пов’язана лише із тими електронами, які беруть участь в електропровідності (їх енергетичні стани розміщуються у розмитті функції Фермі-Дірака, яка показана на рису-
нку 3.3).
Якщо скористатися рівнянням Больцмана (3.2), то можна знайти функцію f* і записати у самому загальному вигляді закон Ома для ізотропних металів:
r |
2e2 |
|
∫ |
r%2 r |
|
|
∂f |
|
|
j = |
|
3 |
|
− |
dp |
|
|
||
(2πh) |
v Eτ |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
∂ε |
, |
(3.3) |
||
|
|
|
p |
|
|
|
|
||
∂f
де ∂ε – похідна функції розподілу до прикладення зовнішнього електричного поля (рис.3.3); τ – час релаксації (час, який необхідний для переходу розподілу 3 на рисунку 3.3 у розподіл 2).
Для аналізу температурної залежності питомого опору металевого провідника виділимо із (3.3) множник, який пов’язаний із питомою провідністю
|
2e2 |
|
∫ |
r%2 |
|
|
∂f |
|
σ = |
|
3 |
τ |
− |
dp |
|
||
(2πh) |
v |
|
||||||
|
|
|
|
|
∂ε |
. |
||
|
|
|
p |
|
|
|
|
Оскільки основний внесок в електропровідність дають електрони із розмиття функції Фермі-Дірака, то попередній вираз спрощується до вигляду
v2
σ = e2 3ф gф(ε)τ
Рисунок 3.3 – Розмиття функції Фермі-Дірака при збільшенні енергії електрона: 1 – f(ε) при Т=0К; 2 – f(ε)
r |
r |
|
|
− |
∂f |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|||
при Т>0К і E =0; 3 – f(ε) при Т>0К і E ≠0; 4 – |
|
|
|
∂ε |
|
для кривої |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
