Файл: IOOD_Lab.pdf

Центральні моменти доцільно обчислювати, використовуючи формули,

що виражають центральні моменти через початкові:

2 2 12 ,3 3 3 1 2 2 13.

Приклад. Дискретна випадкова величина Х задана законом розподілу:

Знайти початкові й центральні моменти першого, другого та третього порядків.

Рішення. Знайдемо початковий момент першого порядку:

1 М ( Х ) 1 0.1 2 0.3 3 0.2 4 0.3 5 0.1 3 .

Складемо закон розподілу величини Х 2 :

Знайдемо початковий момент другого порядку:

Знайдемо початковий момент третього порядку:

3 М ( Х 3 ) 1 0.1 8 0.3 27 0.2 64 0.3 125 0.1 39.6 .

Центральний момент першого порядку дорівнює нулю: 1 0 .

26

Для обчислення центральних моментів другого й третього порядків зру-

чно скористатися формулами, що виражають центральні моменти через почат-

кові:

2 2 12 10.4 32 1.4;3 3 3 1 2 2 13 39.6 3 3 10.4 2 33 0.

4. Загальний опис завдання

Лабораторна робота припускає попереднє вивчення, і засвоєння теоре-

тичних положень. У роботі напрацьовуються навички обчислення математич-

ного очікування, дисперсії, среднеквадратического відхилення випадкових величин. При рішенні завдань вивчаються різні властивості числових характе-

ристик випадкових величин.

Для безперервних випадкових величин вивчаються поняття моди й ме-

діани. При виконанні лабораторної роботи студент повинен вирішити завдання свого варіанта.

Завдання 1. Обчислення математичного очікування

Розглянемо знаходження математичного очікування для ряду дискретних значень. На рисунку 2.1 представлений ряд дискретних значень, причому в лі-

вому стовпці представлені значення, а в правом – їхньої імовірності. Матема-

тичне очікування представленого ряду значень обчислюється по наступній формулі:

=СУММПРОИЗВ(A2:A11;B2:B11).

Результат обчислень математичного очікування поміщений в комірку В13.

27

Рисунок 2.1 – Обчислення математичного очікування

Завдання 2. Обчислення дисперсії

Розглянемо приклад знаходження дисперсії випадкової величини. Знайдемо математичне очікування й зведемо його квадрат (рис. 2.2). Результат обчислень представлений осередку B13:

Рисунок 2.2 – Обчислення математичного очікування

28

Тепер знайдемо математичне очікування квадрата випадкової величини.

Для цього зведемо випадкову величину у квадрат запишемо значення в стов-

пець С. Потім знайдемо математичне очікування для випадкової величини зі стовпця С. Результат обчислень представлений в комірці C13:

Рисунок 2.3 – Обчислення математичного очікування квадрата випадкової ве-

личини

Після цього залишається обчислити різницю між комірками С13 і В13,

що й буде дисперсією випадкової величини Х.

Завдання 3. Обчислення середньоквадратичного відхилення випадкової

величини

Після завершення роботи з попереднім завданням вам необхідно обчис-

лити квадратний корінь зі знайденого значення дисперсії, що й буде середнім квадратичним відхиленням. В MS Excel квадратний корінь обчислюється з ви-

користанням функції КОРІНЬ(число). Помістіть результат в комірку В15.

29

Завдання для самостійної роботи.

1. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-

дхилення дискретної випадкової величини Х, заданої одним з наступних законів розподілу:

1.

11.

2.Дискретна випадкова величина приймає три можливих значення: х1=5

зімовірністю р1=0,5; х2=8 з імовірністю р2=0,3; х3 з імовірністю р3. Знайти зна-

чення величин х3 і р3, знаючи, що математичне очікування випадкової величини

M ( X ) = 7.

3. Для кожного з варіантів завдання знайти математичне очікування, ди-

сперсію і середнє квадратичне відхилення випадкової величини Z = 4X + 5Y,

якщо відомі математичні очікування M(X) і M(Y) та дисперсії D(X) і D(Y) випа-

31

дкових величин X і Y :

4. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-

дхилення випадкової величини Z = 3X − 2Y, якщо відомі математичні очікуван-

ня та дисперсії випадкових величин X та Y :

5. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-

дхилення випадкової величини Z = 7X + 4Y, якщо відомі математичні очікуван-

ня та дисперсії випадкових величин X та Y :

6. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-

дхилення випадкової величини Z = 6X - 3Y, якщо відомі математичні очікуван-

ня та дисперсії випадкових величин X та Y :

32