ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 25.03.2024
Просмотров: 21
Скачиваний: 0
7. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-
дхилення випадкової величини Z = 8X-5Y+4, якщо відомі математичні очіку-
вання та дисперсії випадкових величин X та Y :
Завдання |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X ) |
54 |
31 |
12 |
82 |
54 |
168 |
43 |
59 |
106 |
116 |
81 |
14 |
33 |
113 |
68 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M (Y ) |
87 |
17 |
57 |
18 |
69 |
217 |
135 |
38 |
185 |
231 |
55 |
79 |
45 |
311 |
47 |
D( X ) |
2 |
5 |
22 |
15 |
7 |
4 |
27 |
31 |
28 |
25 |
6 |
10 |
4 |
84 |
11 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(Y ) |
8 |
7 |
11 |
5 |
2 |
3 |
33 |
56 |
57 |
63 |
3 |
5 |
6 |
95 |
19 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. Знайти математичне очікування, дисперсію й середнє квадратичне ві-
дхилення випадкової величини Z = 4X-9Y+5, якщо відомі математичні очіку-
вання та дисперсії випадкових величин X та Y :
Завдання |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M ( X ) |
6,5 |
9,3 |
8,8 |
9,8 |
8,5 |
9 |
7,9 |
8,7 |
4,3 |
7,5 |
5,1 |
5,4 |
7,8 |
8,7 |
11 |
M (Y ) |
8,7 |
8,1 |
8,4 |
2,6 |
9,7 |
5 |
9,1 |
2,4 |
5,5 |
9,6 |
2,4 |
4,6 |
2,3 |
3,7 |
12 |
D( X ) |
0,5 |
0,9 |
0,3 |
1,4 |
1,3 |
3 |
1,1 |
1,2 |
0,3 |
0,6 |
0,8 |
0,2 |
0,9 |
0,6 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D(Y ) |
0,4 |
0,5 |
0,3 |
1,2 |
2,2 |
4 |
4,5 |
0,3 |
0,8 |
0,2 |
0,5 |
0,7 |
1,3 |
1,8 |
8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. Можливі значення дискретної випадкової величини x1 = 1; x2 = 2; x3 = 3, а математичні очікування цієї величини та її квадрата рівні відповідно: M (X) = 2, 3; M (X2) = 5, 9. Знайти закон розподілу цієї випадкової величини та її фун-
кцію розподілу.
Контрольні питання
1.Що таке математичне очікування випадкової величини? По якій формулі обчислюється дана характеристика?
2.Що таке дисперсія випадкової величини? По якій формулі обчис-
люється дана характеристика?
3. Що таке середньоквадратичне відхилення випадкової величини? По
якій формулі обчислюється дана характеристика?
33
Лабораторна робота №3
«Побудова розподілів випадкових величин в MS Excel.
Біноміальний розподіл»
Мета роботи: навчитися використанню біноміального розподілу для рішення завдань теорії імовірності
Завдання роботи:
- уміти знаходити імовірності дискретної випадкової величини, що під-
коряється біноміальному розподілу, за допомогою Excel;
-будувати діаграму біноміального розподілу;
-уміти використовувати інтегральний розподіл.
Теоретичні відомості Розподіл імовірностей – одне з центральних понять теорії імовірності й
математичної статистики. Визначення розподілу імовірності рівносильне за-
вданню імовірностей всіх випадкових величин (ВВ), що описують деяку випад-
кову подію. Розподіл імовірностей деякої ВВ, можливі значення якої x1,x2,
…xn утворять вибірку, задається вказівкою цих значень і відповідних їм імові-
рностей p1, p2,…pn (pn повинні бути позитивні й у сумі давати одиницю).
У даній лабораторній роботі будуть розглянуті й побудовані за допомо-
гою MS Excel найпоширеніший розподіл імовірності: біноміальний.
Біноміальний розподіл являє собою розподіл імовірностей числа на-
стань деякої події («вдачі») в n повторних незалежних випробуваннях, якщо при кожному випробуванні імовірність настання цієї події дорівнює p. При цьому розподілі розкид варіант (є чи ні події) є наслідком впливу ряду незале-
жних і випадкових факторів.
Проводиться серія з n випробувань, у кожному з яких з імовірністю р може відбутися подія А, з імовірністю q= 1-р подія А .
Імовірність настання події А не залежить від числа випробувань n і ре-
зультатів інших випробувань.
34
Така схема випробувань із двома результатами (подія А настала або не настала) називається схемою послідовних випробувань Бернуллі.
Нехай при n випробуваннях подія А настала k раз, (n-k) раз подія А .
С k |
|
n! |
||
|
|
|||
k! n k ! |
||||
n |
|
|||
|
|
|||
- число різних комбінацій події А.
Імовірність кожної окремої комбінації: |
p k q k 1 |
|
|
||
Імовірність того, що в серії з n випробувань подія А, імовірність якої до- |
||
рівнює р, з'явиться k раз: |
|
|
P k |
C k p k q n k |
|
n |
n |
|
n |
k 1 |
|
Pn |
|
|
k 0 |
- умова нормування. |
|
Прикладом практичного використання біноміального розподілу може бути контроль якості партії фармакологічного препарату. Тут потрібно підра-
хувати число виробів (упакувань), що не відповідають вимогам. Всі причини,
що впливають на якість препарату, приймаються однаково імовірними й не за-
лежними другом від друга. Суцільна перевірка якості в цій ситуації неможлива,
оскільки виріб, що пройшло випробування, не підлягає подальшому викорис-
танню. Тому для контролю з партії на удачу вибирають певну кількість зразків виробів (n). Ці зразки всебічне перевіряють і реєструють число бракованих ви-
робів (k). Теоретично число бракованих виробів може бути від 0 до n.
В Excel функція БИНОМРАСП застосовується для обчислення імовірно-
сті в завданнях з фіксованим числом тестів або випробувань, коли результатом будь-якого випробування може бути тільки успіх або невдача.
Функція використовує наступні параметри:
БИНОМРАСП (число_успіхів; число_випробувань; імовірність_успіху; інтегральна)
число_успіхів — це кількість успішних випробувань;
35
число_випробувань — це число незалежних випробувань (число успіхів і число випробувань повинні бути цілими числами);
імовірність_ успіху — це імовірність успіху кожного випробування;
інтегральний — це логічне значення, що визначає форму функції.
Якщо даний параметр має значення ІСТИНА (=1), то вважається інтег-
ральна функція розподілу (імовірність того, що число успішних випробувань не менш значення число_ успіхів);
якщо цей параметр має значення НЕПРАВДА (=0), то обчислюється значення функції щільності розподілу (імовірність того, що число успішних випробувань у точності дорівнює значенню аргументу число_ успіхів).
Приклад 1. Яка імовірність того, що троє із чотирьох немовлят будуть хлопчиками?
Рішення:
1. Установлюємо табличний курсор у вільну комірку, наприклад в А1.
Тут повинне виявитися значення шуканої імовірності.
2. Для одержання значення імовірності скористаємося спеціальною фун-
кцією: натискаємо на панелі інструментів кнопку Вставка функції (fx).
3. У діалоговому вікні Майстер функцій - крок 1 з 2 ліворуч у полі Ка-
тегорія зазначені види функцій. Вибираємо Статистична. Праворуч у полі Функція вибираємо функцію БИНОМРАСП і натискаємо на кнопку ОК.
З'являється діалогове вікно функції. У поле Число_успіхів уводимо із клавіатури кількість успішних випробувань (3). У поле Число випробувань
уводимо із клавіатури загальну кількість випробувань (4). У робоче поле Імові-
рність_успіху вводимо із клавіатури імовірність успіху в окремому випробу-
ванні (0,5). У поле Інтегральний уводимо із клавіатури вид функції розподілу
— інтегральна або вагова (0). Натискаємо на кнопку ОК.
36
Рисунок 3.1 – Діалогове вікно уведення параметрів функції БИНОМРАСП
В комірці А1 з'являється шукане значення імовірності р = 0,25. Рівно 3
хлопчика з 4 немовлят можуть з'явитися з імовірністю 0,25.
Якщо змінити формулювання умови завдання й з'ясувати імовірність того, що з'явиться не більше трьох хлопчиків, то в цьому випадку в робоче поле
Інтегральний уводимо 1 (вид функції розподілу інтегральний). Імовірність цієї події буде дорівнювати 0,9375.
Рисунок 3.2 – Вигляд електронної таблиці після рішення завдання
37
Приклад 2. Побудувати діаграму біноміальної функції розподілу P(m)
при n=10, P=0,2.
Рішення.
1.В комірку А1 уводимо символ кількості успішних ісходів, а в комірку В1 символ імовірності p.
2.Заповнюємо кількість ісходів в А1 - від 0 до 10.
3.В комірку В2 вставляємо, через «вставка функції» БИНОМРАСПР.
У робоче поле «число» уводимо кількість успішних випробувань (адре-
са комірки А2). В «випробування» - число випробувань (у нас – 10). В «імовір-
ність» - 0,2. У робоче поле «Інтегральний» уводимо із клавіатури вид функції – у цьому випадку «0». В осередку В2 з'являється шукана імовірність, що «про-
стягаємо» на весь діапазон.
4.Через «майстер діаграм» будуємо шукану діаграму біноміального роз-
поділу, тип діаграми – гістограма.
Зберігаємо діаграму з відповідними написами на осях.
Приклад 3. В умовах попереднього приклада знайти значення числа m,
для якого імовірність інтегрального розподілу дорівнює або більше 0,3.
1. Установлюємо табличний курсор у вільну комірку, наприклад в А1.
Тут повинне виявитися значення шуканого числа m.
2. Для одержання значення імовірності скористаємося функцією КРИТ-
БИНОМ.
3. У діалогове вікно вводимо: Випробування – 10, імовірність – 0,2. У
робоче поле Альфа – критичне значення імовірності інтегрального розподілу
(0,3).
4. В комірці А1 з'являється шукане значення числа успішних випробу-
вань, у даному прикладі m=1.
Необхідно перевірити результат прямим розрахунком.
38
Завдання для самостійної роботи.
1. Яка імовірність того, що вісім з десяти студентів, що здають залік,
одержать «незалік». (0,04)
2.При киданні монети може випасти орел або решка. Знайти імовірність того, що орел випаде в точності 6 разів з 10.
3.Побудувати діаграму біноміальної функції щільності імовірності при
n=10, p=0.5.
4. Побудувати діаграму біноміальної інтегральної функції розподілу
P(A<m) при n=10, p=0.2.
5.Вибірковий контроль продукції проводять так: з 100 вибирається 20 і
при виявленні хоча б одного дефектного виробу вся партія бракується. У партії
є10 дефектних виробів. Яка імовірність того, що хоча б один дефектний виріб потрапить у вибірку?
6.Знайти кількість успішних випробувань для критичного значення ін-
тегральної функції розподілу, рівного 0,75, якщо загальна кількість випробу-
вань дорівнює 6, а імовірність успіху у випробуванні - 0,5.
Контрольні питання
1.Що називають законом розподілу випадкової величини?
2.Що значить «біномінальний розподіл»?
3.Вивід біномінального розподілу, при яких умовах застосовується.
4.Чому дорівнює математичне очікування й дисперсія?
5.Куди зрушується максимум біномінального розподілу при великій кі-
лькості випробувань?
6.Привести приклади біномінального розподілу.
7.Які функції в MS Excel використовуються для роботи із цим розподі-
лом.
39
Лабораторна робота № 4
«Побудова розподілів випадкових величин в MS Excel.
Нормальний розподіл»
Мета роботи: навчитися використовувати нормальний розподіл для рішення задач теорії імовірності .
Завдання роботи:
- уміти знаходити імовірності безперервної випадкової величини, що пі-
дкоряється нормальному розподілу, за допомогою Excel;
-будувати діаграму нормального розподілу;
-уміти використовувати інтегральний розподіл.
Теоретичні відомості
Нормальний розподіл - це сукупність об'єктів, у якій крайні значення деякої ознаки — найменш і найбільше — з'являються рідко; чим ближче зна-
чення ознаки до математичного очікування, тим частіше воно зустрічається.
Наприклад, розподіл студентів по їхній вазі наближається до нормального роз-
поділу. Цей розподіл має дуже широке коло додатків у статистику, включаючи перевірку гіпотез.
Нормальний закон розподілу.
f x |
|
2 e |
x m 2 |
||
|
2 2 |
||||
|
|
1 |
|
||
|
|
|
|
|
, >0 |
При =1 і m=1 – нормальний стандартний розподіл ( m-мат. очікування,
2 - дисперсія ). Діаграма нормального розподілу симетрична щодо точки m (математичного очікування). Медіана нормального розподілу дорівнює теж m.
При цьому в точці m функція f(x) досягає свого максимуму.
В Excel для обчислення значень нормального розподілу використову-
ється функція НОРМРАСП, що обчислює значення імовірності нормальної функції розподілу для зазначеного середнього й стандартного відхилення.
40