Файл: IOOD_Lab.pdf

Функція має параметри:

НОРМРАСП (х; середнє; стандартне_відх; інтегральна), де:

х — значення вибірки, для яких будується розподіл;

середнє — середнє арифметичне вибірки;

стандартне_відх — стандартне відхилення розподілу;

інтегральний — логічне значення, що визначає форму функції. Якщо інтегральна має значення ІСТИНА(1), то функція НОРМРАСП повертає інте-

гральну функцію розподілу; якщо це аргумент має значення НЕПРАВДА (0),

то обчислює значення функція щільності розподілу.

Якщо середнє = 0 і стандартне_відх = 1, то функція НОРМРАСП повер-

тає стандартний нормальний розподіл.

Приклад 1. Побудувати графік нормальної функції розподілу f(x) при x,

що міняється від 19,8 до 28,8 із кроком 0,5, математичним очікуванням 24,3 і

стандартним відхиленням 1,5.

Рішення

1.В комірку А1 уводимо символ випадкової величини х, а в комірку B1

—символ функції щільності імовірності — f(x).

2.Уводимо в діапазон А2:А21 значення х від 19,8 до 28,8 із кроком 0,5.

Для цього скористаємося маркером автозаповнення: в комірку А2 уводимо ліву границю діапазону (19,8), в осередок A3 ліву границю плюс крок (20,3). Виді-

ляємо блок А2:А3. Потім за правий нижній кут простягаємо мишею до осере-

дку А21 (при натиснутій лівій кнопці миші).

3. Установлюємо табличний курсор в осередок В2 і для одержання зна-

чення імовірності скористаємося спеціальною функцією — натискаємо на па-

нелі інструментів кнопку Вставка функції (fx). У діалоговому вікні, що з'явилося, Майстер функцій - крок 1 з 2 ліворуч у поле Категорія зазначені види функцій. Вибираємо Статистична. Праворуч у поле Функція вибирає-

мо функцію НОРМРАСП. Натискаємо на кнопку ОК.

4. З'являється діалогове вікно НОРМРАСП. У робоче поле X уводимо

адресу осередку А2 клацанням миші на цьому осередку. У робоче поле Се-

41

реднє вводимо із клавіатури значення математичного очікування (24,3). У ро-

боче поле Стандартне_відх уводимо із клавіатури значення середньоквадра-

тичного відхилення (1,5). У робоче поле Інтегральна вводимо із клавіатури вид функції розподілу (0). Натискаємо на кнопку ОК (рис 4.1).

Рисунок 4.1 – Заповнені аргументи функції

5. В комірці В2 з'являється імовірність р = 0,002955. Курсором миші за правий нижній кут табличного курсору протяганням (при натиснутій лівій кнопці миші) з осередку В2 до В21 копіюємо функцію НОРМРАСП у діапа-

зон В3:В21.

6. За отриманим даними будуємо шукану діаграму нормальної функції розподілу. Клацанням курсором миші на кнопці на панелі інструментів ви-

кликаємо Майстер діаграм. У діалоговому вікні, що з'явилося, вибираємо тип

діаграми Графік, вид - лівий верхній. Після натискання кнопки Далі вказуємо діапазон даних — В1:В21 (за допомогою миші). Перевіряємо, положення пе-

ремикача Ряди в: стовпцях. Вибираємо закладку Ряд і за допомогою миші вводимо діапазон підписів осі X: А2:А21. Нажавши на кнопку Далі, уводимо назви осей Х и В і натискаємо на кнопку Готово.

Приклад 2. Побудувати діаграму стандартного нормального інтеграль-

ного розподілу.

1.В комірку А1 уводимо символ випадкової величини x, а в осередок В1

-символ стандартного нормального розподілу імовірності - Ф(x).

42

Рисунок 4.2 – Графік нормальної функції розподілу

2.Уводимо діапазон по x від -3 до 3 із кроком 0,5.

3.В В2 – вставка функції НОРМРАСПР. Розтягуємо В2 до В14.

4.Через майстер діаграм будуємо графік.

Приклад 3. Знайти верхню й нижню квартили для нормальної щільності при М=24,3 і дисперсії 2,25.

1. Для одержання значення верхньої квартили скористаємося спеціаль-

ною функцією НОРМОБР, що вставляємо в комірку А1.

2. У діалогове вікно, у робоче поле Імовірність уводимо значення імо-

вірності верхньої квартили – 0,75, у Середнє – 24,3, у Стандартне_відх - сере-

дньоквадратичне відхилення ( у прикладі – 1.5). Після ОК в А1 з'являється значення верхньої квартили.

3. Повторюємо для осередку А2 (в Імовірність – 0.25).

43

Завдання для самостійної роботи

1. Побудувати графік нормальної функції щільності розподілу f(x) при

x, що змінюється від 20 до 40 із кроком 1 при =3.

2.Знайти імовірність того, що з'явиться випадкова величина x 42 при нормальному законі розподілу імовірностей з М=40 і 1,5 .

3.Побудувати діаграму нормальної функції щільності імовірності при М=40 і 2 .

4.Знайти квантиль для р=09087089 і нормального розподілу із задачі 2.

5.Побудувати діаграму інтегральної функції розподілу імовірності при М=30 і 3.

6.Знайти нормалізоване значення x, якщо x=21, М=20, 1,5 .

Контрольні питання

1.Що називають законом розподілу випадкової величини?

2.Що значить «нормальний» закон розподілу?

3.Який графік даного розподілу?

4.Чому дорівнює математичне очікування?

5.Чому дорівнює дисперсія?

6.Чому дорівнює мода і медіана?

44

Лабораторна робота № 5

«Використання електронних таблиць Excel для побудови

вибіркових функцій розподілу»

Мета роботи: Побудувати вибіркові функції розподілу за допомогою

MS Excel.

Теоретичні відомості

Розглянуті раніше розподіли імовірностей випадкової величини (ВВ)

опираються на знання закону розподілу ВВ. Для практичних задач таке знання

– рідкість. Тут закон розподілу звичайно невідомий, або відомий з точністю до деяких невідомих параметрів. Зокрема, неможливо розрахувати точне значення відповідних імовірностей, тому що не можна визначити кількість загальних і сприятливих ісходів. Тому вводиться статистичне визначення імовірності.

По цьому визначенню імовірність дорівнює відношенню числа випробувань, у

яких подія відбулася, до загального числа зроблених випробувань. Така імовір-

ність називається статистичною частотою.

Статистичним розподілом вибірки називають перелік варіант і відповід-

них їм частот або відносних частот.

Зв'язок між емпіричною функцією розподілу й функцією розподілу

(теоретичною функцією розподілу) така ж, як зв'язок між частотою події і його імовірністю.

Для побудови вибіркової функції розподілу весь діапазон зміни випад-

кової величини X (вибірки) розбивають на ряд інтервалів (кишень) однакової ширини. Кількість інтервалів звичайно вибирають не менш 3 і не більше 15.

Потім визначають число значень випадкової величини X, що потрапили в кож-

ний інтервал (абсолютна частота, частота інтервалів).

Сума всіх абсолютних частот називають об'ємом вибірки (тобто кіль-

кість всіх об'єктів вибірки). Наприклад, у наступній гістограмі осі ординат від-

кладені ni / h (h – довжина інтервалу), отже, об'єм вибірки дорівнює 2 * (1 + 2 +

4 + 5) = 24.

45

Частота інтервалів – число, що показує скільки разів значення, що ста-

вляться до кожного інтервалу угруповання, зустрічаються у вибірці. Поділив-

ши ці числа на загальну кількість спостережень (n), знаходять відносну частоту (частість) влучення випадкової величини X у задані інтервали.

По знайдених відносних частотах будують гістограми вибіркових функ-

цій розподілу.

Гістограма розподілу частот – це графічне подання вибірки, де по осі абсцис (ОХ) відкладені величини інтервалів, а по осі ординат (ОУ) – величини частот, що попадають у даний класовий інтервал. При збільшенні нескінченно розміру вибірки вибіркові функції розподілу перетворюються в теоретичні: гіс-

тограма перетворюється в графік щільності розподілу.

Накопичена частота інтервалів – це число, отримане послідовним пі-

дсумовуванням частот у напрямку від першого інтервалу до останнього, до то-

го інтервалу включно, для якого визначається накопичена частота.

В Excel для побудови вибіркових функцій розподілу використовуються спеціальна функція ЧАСТОТА й процедура Гістограма з пакета аналізу.

Функція ЧАСТОТА (масив_даних, двійковий_масив)обчислює часто-

ти появи випадкової величини в інтервалах значень і виводить їх як масив цифр, де

•масив_даних — це масив або посилання на множину даних, для яких обчислюються частоти;

•двійковий_масив — це масив інтервалів, по яких групуються значення

вибірки.

Процедура Гістограма з Пакету аналізу виводить результати вибірко-

46

вого розподілу у вигляді таблиці й графіка. Параметри діалогового вікна Гісто-

грама:

•Вхідний діапазон - діапазон досліджуваних даних (вибірка);

•Інтервал кишень – діапазон комірок або набір граничних значень, що визначають обрані інтервали (кишені). Ці значення повинні бути уведені в зро-

стаючому порядку. Якщо діапазон кишень не був уведений, то набір інтервалів,

рівномірно розподілених між мінімальним і максимальним значеннями даних,

буде створений автоматично.

• вихідний діапазон призначений для уведення посилання на ліву верх-

ню комірку вихідного діапазону.

• перемикач Інтегральний відсоток дозволяє встановити режим вклю-

чення в гістограму графіка інтегральних відсотків.

• перемикач Вивід графіка дозволяє встановити режим автоматичного створення убудованої діаграми на аркуші, що містить вихідний діапазон.

Завдання 1.

Побудувати емпіричний розподіл ваги студентів у кілограмах для на-

ступної вибірки: 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 70, 60, 61, 65, 62, 62, 40, 64, 61, 59, 59,

63, 61.

Рішення

1. В комірку А1 уведіть слово Спостереження, а в діапазон А2:А21 —

значення ваги студентів.

2. В комірку В1 уведіть назви інтервалів Вага, кг. У діапазон В2:В8 уве-

діть граничні значення інтервалів (40, 45, 50, 55, 60, 65, 70).

3. Уведіть заголовки створюваної таблиці: в комірки С1 — Абсолютні частоти, в комірки D1 — Відносні частоти, в комірки E1 — Накопичені ча-

стоти.

4. За допомогою функції Частота заповніть стовпець абсолютних час-

тот, для цього виділите блок комірок С2:С8. З панелі інструментів Стандартна

викличте Майстер функцій (кнопка fx). У діалоговому вікні, що з'явилося, ви-

беріть категорію Статистичні й функцію ЧАСТОТА, після чого натисніть

47

кнопку ОК. Курсором миші в робоче поле Масив_даних уведіть діапазон да-

них спостережень (А2:А21). У робоче поле Двійковий_масив мишею введіть діапазон інтервалів (В2:В8). Ліворуч на клавіатурі послідовно натисніть комбі-

націю клавіш Ctrl+Shift+Enter. У стовпці C повинен з'явитися масив абсолют-

них частот.

Рисунок 5.1 – Вигляд діалогового вікна для введення параметрів функції ЧАСТОТА

Рисунок 5.2 – Вигляд електронної таблиці після обчислення абсолютних частот

48

5. В комірці C9 знайдіть загальну кількість спостережень. Активізуйте осередок С9, на панелі інструментів Стандартна натисніть кнопку Автосума.

Переконайтеся, що діапазон підсумовування зазначений правильно й натисніть клавішу Enter.

Рисунок 5.3 – Вигляд електронної таблиці після підсумовування

6. Заповніть стовпець відносних частот. В комірку введіть формулу для обчислення відносної частоти: =C2/$C$9. Натисніть клавішу Enter. Протяган-

ням (за правий нижній кут при натиснутій лівій кнопці миші) скопіюйте уведе-

ну формулу в діапазон і одержіть масив відносних частот.

Рисунок 5.4 – Вигляд електронної таблиці після обчислення відносних частот

49

7. Заповніть стовпець накопичених частот. В комірку D2 скопіюйте значення відносної частоти з комірки E2. В комірку D3 уведіть формулу:

=E2+D3. Натисніть клавішу Enter. Протяганням (за правий нижній кут при на-

тиснутій лівій кнопці миші) скопіюйте уведену формулу в діапазон D3:D8.

Одержимо масив накопичених частот.

Рисунок 5.5 – Результат обчислень

8. Побудуйте діаграму відносних і накопичених частот. Клацанням кур-

сору миші по кнопці на панелі інструментів викличте Майстер діаграм. У діа-

логовому вікні, що з'явилося, виберіть закладку Нестандартні й тип діаграми

Графік/гістограма.

Завдання 2.

Для даних 64, 57, 63, 62, 58, 61, 63, 70, 60, 61, 65, 62, 62, 40, 64, 61, 59, 59, 63, 61.. (додайте самостійно до 55 штук) побудувати емпіричні розподіли,

скориставшись процедурою Гістограма.

1. В комірку А1 уведіть слово Спостереження, а в діапазон А2:Е12 -

дані.

2. Для виклику процедури Гістограма з меню Сервіс підпункт Аналіз

50

даних; Інструменти аналізу - Гістограма.

3. У вікні, що з'явилося, Гістограма заповніть робочі поля :

У вхідний діапазон - (А2:Е12);

У вихідний діапазон посилання на ліву верхню комірку вихідного ді-

апазону (F1). Встановіть перемикачі в положення Інтегральний відсоток і Вивід графіка. ОК.

Діаграма відрізняється від попереднього приклада. Поясніть чому.

Завдання для самостійної роботи.

1. Побудувати вибіркові функції розподілу (відносні й накопичені час-

тоти) для росту в см. 20 студентів: 181, 169, 178, 178, 171, 179, 172, 181, 179,

168, 174, 167, 169, 171, 179, 181, 181, 183, 172, 176.

2. Знайдіть розподіл по абсолютних частотах для наступних результатів тестування в балах: 79, 85, 78, 85, 83, 81, 95, 88, 97, 85 (використовуйте границі інтервалів 70, 80, 90).

Контрольні питання

1.Генеральна сукупність.

2.Вибірка.

3.Поняття й формування випадкової вибірки.

4.Що таке вибіркова функція розподілу. Як вона будується.

5.Процедури Excel.

51