Файл: Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности.docx

Скачать файл (0,83Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.03.2024

Просмотров: 101

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Законы идемпотентности.

Idempoiens — одинаковость; сохраняющий ту же степень.

1. А + А = А - идемпотентность дизъюнкции

2. А А = А идемпотентность конъюнкции.

Законы идемпотентности (их еще иногда называют формулами приведения) определяют результат логической операции для двух одинаковых членов.

Законы коммутативности.

Commutatio - изменение, перемена.

3. A + В = В + А - коммутативность дизъюнкции.

3¹ А В = В А – коммутативность строгой дизъюнкции.

4. А В = В • А - коммутативность конъюнкции

5. А В = В А - коммутативность эквиваленции.

Законы коммутативности (переместительиые законы) утверждают, что для операций логического сложения, строгого логического сложения, умножения и эквиваленции безразлично в каком порядке записываются высказывания.

Законы ассоциативности

Associatio- соединение.

6.

- ассоциативность дизъюнкции

7.

- ассоциативность конъюнкции.

8. (А В) С = А (В С) - ассоциативность эквиваленции.

Законы ассоциативности (сочетательные законы) утверждают, что при выполнении операций логического сложения, умножения или эквиваленции безразличен порядок их выполнения.

Дистрибутивные законы

Distribution- размещение, распределение

9. А • (В + С) = (А • В) + (А С) - 1 дистрибутивный закон.

10. А + (В• С) = (А + В) (А + С) – 2 дистрибутивный закон.

Дистрибутивные законы (распределительные законы) определяют порядок преобразований сложных логических операций. Одинаковые логические переменные в дизъюнкции и конъюнкции можно выносить за скобки. 1 дистрибутивный закон называется также распределением конъюнкции по дизъюнкции.

2дистрибутивный закон, в отличие от предыдущего, не имеет аналога в алгебре и применяется только для логических переменных и функций. 2 дистрибутивный закон называется также распределением дизъюнкции по конъюнкции.

Законы инфолюции.

11.

- закон двойного отрицания.

Закон двойного отрицания утверждает, что двойное отрицание некоторого высказывания равносильно этому высказыванию.

12.

13.

Законы де Моргана

Законы отрицания - законы инверсии. Inversio- переворачивание.

14.

- первый закон де Моргана.

15.

- второй закон де Моргана.

С помощью этих формул конъюнкция может быть выражена через дизъюнкцию с отрицанием и наоборот, дизъюнкция может быть выражена через конъюкцню с отрицанием.

Операции с логическими константами.

16. А+1=1

А

1=А

17. А+0=А

А

0=0

Операции с переметши и ее инверсией.

18.

- закон исключенного третьего

закон непротиворечия (противоречия)

Применение операции инверсии для логических констант.

19.

20.

Из законов дистрибутивности и операций с переменной и се инверсией вытекают важные следствия, которые называют формулами расщепления:

21. - первая формула расщепления

22.

- вторая формула расщепления.

Некоторые из приведенных законов математической лотки аналогичны соответствующим законам арифметики или алгебры и поэтому легко запоминаются. Но некоторые из них не имеют соответствующих аналогов в арифметике и алгебре. Наиболее сильно отличаются от привычных законов алгебры законы идемпотентности, законы инверсии и инфолюции, а также законы, исключающие тождественно истинные и тождественно ложные высказывания, которые определяют работу с логическими константами. Все без исключения законы соответствуют законам над множествами в теории множеств, которые также подчиняются законам булевой алгебры.

С помощью аппарата алгебры логики достаточно легко записываются законы классической логики: закон двойного отрицания , закон исключения третьего , закон непротиворечия или

,

закон тождества А = А или А А = 1

С помощью аппарата алгебры логики можно записать некоторые принципы, применяемые к логике и теории доказательств. Например, прием доказательство от противного: если утверждение влечет некоторое следствие-утверждение, но не выполняется, то не выполняется и само утверждение. В символах алгебры логики это записывается следующим образом

.

Законы логики можно доказать и с помощью таблиц истинности. Доказательство законов де Моргана с помощью таблиц истинности уже было фактически получено в предыдущем примере.

Следствия из законов алгебры логики.

Из законов алгебры логики вытекают очень важные правила, которые применяются для преобразования и упрощения логических формул. Эти правила преобразовании логических формул называются следствиями алгебры логики.

Такими следствиями являются:

23.

24.

Законы поглощения.

25.

- закон поглощения для конъюнкции.

26. - закон поглощения для дизъюнкции.

Данные законы распространяются на большее количество членов. Например, закон поглощения для дизъюнкции трех переменных может быть записан в следующем виде:

Укажем еще два следствия.

27.

- закон Блейка-Порецкого.

28. - закон Блсйка-Порецкого.

В этих формулах пропадают переменные, входящие с отрицанием относительно внешней переменной в соответствующих конъюнкциях и дизъюнкциях.

Формула (27), также как и законы (25) и (26), являются законом поглощения. Формула (28) называют правшам свертки, которое является следствием 2 дистрибутивного закона (10). Докажем формулу (28).

Применив к левой части формулы (28) 2 дистрибутивный (распределительный) закон, получим

Формулу (27) можно доказать следующим образом:

Укажем также важные следствия из законов де Моргана. Отрицание логической суммы нескольких высказываний равно произведению отрицании от каждого из высказываний

29.