Существуют системы счис­ления, в которых это соотношение не выполняется. Например, в системах, с так называемым, симметрическим или кососимметричным алфавитом. По­ясним что это такое. Если в системе с основанием р множество цифр состо­ит из элементов {0,1…р=1}, то говорят, что система имеет естественное мно­жество цифр; если р=2m+1 и множество цифр равно {-m,....,-1,0,1,....,m], то говорят, что система имеет симметрическое множество цифр, если р = 2m и множество цифр равно {-m....,-1,0,1, ....,m-1} или {-m + 1,....-1,0,1,....m}, то го­ворят, что система имеет кососимметрическое в отрицательную или положи­тельную сторону множество цифр, соответственно.

Показатели степени основания дробной части -m могут изображаться отрицательными числами от -1до - (из арифметики и алгебры известно, что дробная часть может выражаться с помощью бесконечной периодической или непериодической дроби).

Для некоторых, часто встречающихся, систем счислений применяются следующие алфавиты или цифры:

в 2 СС - {0, 1),

в 3 СС – {0, 1, 2} или {1; 0;1} - симметричный алфавит,

в 8СС- {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7},

в 10 СС - {0, 1. 2, 3, 4. 5, 6, 7, 8, 9}

в 16 СС - {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}.

Приведем примеры записи целых, дробных и смешанных чисел в раз­личных системах счислений. Например,

0,CD₁₆=

Эти примеры показывают, что некоторое число можно записать в раз­личных системах счисления. Любое число можно записать в системе счисле­ния с любым основанием.

В современных ЭВМ используются двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и, конечно, привычная нам, десятичная системы счисления. Для ка­ждой системы используется свой алфавит - набор цифр для изображения чи­сел. Рассмотрим более подробно представление чисел в применяемых в ЭВМ двоичной, восьмеричной н шестнадцатеричной системах счисления.

---

Двоичная система счисления (бинарная или диодная система счисления)

Имеет цифровой набор {0,1/}, р=2. В двоичной системе 10₂ = 2₁₀. Иногда вместо индекса 2 для обозначения двоичных чисел используется латинская буква b (binary). Например, 11011b. Смешанное двоичное число можно представить выражением в десятичной системе счисле­ния



В соответствии с этой формулой целое двоичное число 1000101₍₂₎ можно записать следующим образом:



Смешанное двоичное число 10011,0101₍₂₎ можно записать следующим образом:

Двоичная система счисления очень широко используется в ЭВМ, поэто­му полезно знать наиболее часто встречающиеся степени числа 2. В таблице 2.1.1 приведены первые 12 степеней числа 2

Таблица 2.1.1

к	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
2к	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024	2048	4096

Восьмеричная система счисления

Для изображения чисел в восьмеричной системе используются первые 8 цифр десятичной системы счисления - {0,1, 2,3,4,5,6,7}, р = 8. В восьмеричной системе 10₈ = 8₁₀.

В восьмеричной системе счисления, целое число 5375₈ имеет вид:

---

=2813₍₁₀₎

Шестнадцатеричная система счисления

Для изображения чисел в шестнадцатеричной системе требуется 16 цифр. Первые десять цифр берутся из десятичной системы счисления, а для шести остальных используются шесть заглавных (прописных) букв латинского алфавита - А, В, С, D, Е, F. Заметим, что можно было бы использовать любые другие шесть символов - например, 1,2,3,4,5,6.

Таким образом, в шестнадцатеричной системе имеется на­бор цифр {0, 1. 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, C, D, Е, F}, р=16. В шестнадцатерич­ной системе 10₁₆ = 16₁₀.



Приведем еще несколько примеров записи целых и дробных шестнадцатеричных чисел.

1АА9,С₍₁₆₎= = 426,5625

Полезно знать соответствие одинаковых чисел в указанных системах счисления и десятичной системе счисления, которая является наиболее удоб­ной для проведения операций с числами и их восприятия. В таблице 2 1.2 приведены представления десятичных числа от 0 до 21 в двоичной, восьме­ричной и шестнадцатеричной системах счисления.

Таблица 2,1.2

Эквиваленты в системах счисления				Эквиваленты в системах счисления
10 СС	2 СС	8 СС	16 СС	10СС	2СС	8 СС	16 СС
0	0	0	0	11	1011	13	В
1	1	1	1	12	1100	14	С
2	10	2	2	13	1101	15	D
3	11	3	3	14	1110	16	Е
4	100	4	4	15	1111	17	F
5	101	5	5	16	10000	20	10
6	110	6	6	17	10001	21	11
7	111	7	7	18	10010	22	12
8	1000	10	8	19	10011	23	13
9	1001	11	9	20	10100	24	14
10	1010	12	А	21	10101	25	15

---

2. 
   Преобразование чисел из одной системы в другую
   

Перевод десятичных чисел в другие системы счисления

Перевод целых чисел

Алгоритм перевода (последовательность шагов):

1. 
   Основание новой системы счисления выразить в десятичной с.с. и все последующие действия выполнять в десятичной с.с.
   
2. 
   Последовательно выполнять деление данного числа и получаемых промежуточных частных на основание новой с.с. до тех пор, пока не будет получено частное, меньшее делителя.
   
3. 
   Полученные остатки, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
   
4. 
   Составить число в новой системе счисления, записывая его, начиная с последнего частного.
   

Пример 1: Перевести число 37 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 37₁₀ = 100101₂).

37 : 2 = 18 + 1, значит a₀ = 1,

18 : 2 = 9 + 0, значит a₁ = 0,

9 : 2 = 4 + 1, значит a₂ = 1,

4 : 2 = 2 + 0, значит a₃ = 0,

2 : 2 = 1 + 0, значит a₄ = 0,

1 < 2, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a₅ = 1.

Теперь составим число a₅ a₄ a₃ a₂ a₁ a₀ =100101₂
Пример 2: Перевести число 315 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 315₁₀ = 473₈).

315 : 8 = 39 + 3, значит a₀ = 3,

39 : 8 = 4 + 7, значит a₁ = 7,

4 < 7, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a₂ = 4.

Теперь составим число a₂a₁a₀ = 473₈
Пример 3: Перевести число 315 из десятичной в шестнадцатеричную систему счисления. (Ответ: 315₁₀ = 13B₁₆).

315 : 16 = 19 + 11, значит a₀ = 11,

19 : 16 = 1 + 3, значит a₁ = 3,

1 < 16, следовательно, деление следует прекратить, а полученная цифра – это a₂ = 1.

Теперь составим число a₂a₁a₀ = 13B₁₆

Перевод правильных дробей

Алгоритм перевода:

1. 
   Основание новой системы счисления выразить в десятичной системе счисления и все последующие действия производить в десятичной с.с.
   
2. 
   Последовательно умножать данное число и получаемые дробные части произведений на основание новой системы счисления до тех пор, пока дробная часть произведения не станет равной нулю или не будет достигнута требуемая точность представления числа в новой системе счисления.
   
3. 
   Полученные целые части произведений, являющиеся цифрами числа в новой системе счисления, привести в соответствие с алфавитом новой системы счисления.
   
4. 
   Составить дробную часть числа в новой системе счисления, записывая его, начиная с целой части первого произведения.
   

---

Пример 1: Перевести число 0,1875 из десятичной в двоичную систему счисления. (Ответ: 0,1875 ₁₀ = 0,0011₂).

0	1875 2
a-1 = 0	3750 2
a-2 = 0	7500 2
a-3 = 1	5000 2
a-4 = 1	0000

Теперь составим число 0,a_-1a_-2a_-3 = 0, 0011₂

Пример 2: Перевести число 0,1875 из десятичной в восьмеричную систему счисления. (Ответ: 0,1875 ₁₀ = 0,14₈).

0	1875 8
a-1 = 1	5000 8
a-2 = 4	0000

Теперь составим число 0,a_-1a_-2= 0, 14₈

Пример 3: Перевести число 0,1875 из десятичной в шестнацатеричную систему счисления. (Ответ: 0,1875 ₁₀ = 0,3₁₆).

0	1875 16
+ 1 1	1250 8750
a-1 = 3	0000

Теперь составим число 0,a_-1= 0, 3₁₆

Перевод смешанных чисел

Правило перевода: целая и дробная часть исходного числа переводятся отдельно по рассмотренным выше алгоритмам. В итоговой записи числа в новой системе счисления целая часть отделяется от дробной запятой (точкой).

Пример: 315,1875₁₀ = 473,14₈ = 13B,3₁₆
Перевод чисел из любой позиционной системы счисления в десятичную

Алгоритм перевода:

1. 
   Расставить значения степеней основания системы счисления для каждой значащей цифры числа.
   
2. 
   Цифры числа в исходной системе счисления привести в соответствие с алфавитом десятичной системы счисления.
   
3. 
   Основание исходной системы счисления выразить в десятичной с.с. и все последующие действия выполнять в десятичной с.с.
   
4. 
   Записать число в развернутой форме и выполнить необходимые арифметические действия.
   

---

Смотрите также файлы

• Программа по учебному курсу Химия Класс 8 Программу составила Киревичева Н. В 20202012 уч г 8 класс.doc

• Коммерциялы емес ашы акционерлік оам марбек дукеев атындаЫ.docx

• Контрольная работа по дисциплине Введение в профессиональную деятельность.docx

• П. А. Сивкова подпись, дата И. О. Фамилия.docx

• Самостоятельная работа по теме Цель занятия приобретение и закрепление знаний оюридической ответственности предприятий, загрязняющих окружающую среду, формирование умения применять их.docx