Файл: Курс лекций по дисциплине Цифровая схемотехника для специальности.docx

Скачать файл
Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 27.03.2024

Просмотров: 98

Скачиваний: 1

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Пример 1: Перевести число 1001,011 из двоичной в десятичную систему счисления. (Ответ: 1001,011 2 = 9,37510).

3 2 1 0 -1-2 -3

1001, 01 1 = 123+120+12-2+12-3 = 8+ 1 + 0,25 + 0,125 = 9,37510


Пример 2: Перевести число 726,15 из восьмеричной в десятичную систему счисления. (Ответ: 726,15 2 = 470,20312510).

2 1 0 -1-2

726, 15 = 782+281+680+18-1+58-2 = 448+ 16 + 6 + 0,125 + 0,078125 = 470,20312510


Пример 3: Перевести число 10A,F из шестнадцатеричной в десятичную систему счисления. (Ответ: 10A,F 16 = 266,937510).

2 1 0 -1

10A, A = 1162+10160+1516-1 = 256 + 10 + 0,9375 = 266,937510


Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную и обратно

Чтобы сформулировать правило перевода чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную, вспомним рассмотренный ранее кибернетический подход к измерению информации. Уравнение Хартли позволяет определить информационный вес символа iалфавита мощностью N: 2i =N. Мощность алфавита восьмеричной с.с. равна 8, следовательно, информационный вес каждого символа этого алфавита равен трем битам, т.к. 23 =8. Известно, что каждый символ двоичного алфавита несет один бит информации, следовательно, для кодирования каждой цифры восьмеричной с.с. требуется 3 цифры двоичной с.с.

Правило перевода: для перевода числа из восьмеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа записать трехразрядным двоичным числом (триадой).

Пример. Записать число 325,278 в двоичной системе счисления.

325,278 = 011 010 101, 010 111 8-2 = 11010101,0101112

Для перехода от восьмерично-двоичной системы к двоичной отбрасываются незначащие нули слева для целых чисел и справа - для правильных дробей.

Для перевода числа из двоичной с.с. в восьмеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по три разряда – триады и представить каждую группу цифрой в восьмеричной системе счисления. Крайние неполные триады дополняются нулями.

Пример. Записать число 10111011,011012 в восьмеричной системе счисления.


10111011,011012 = 010 111 011, 011 010 8-2 = 273,328

Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную и обратно

Правило перевода: Для перевода числа из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную необходимо каждую цифру этого числа заменить тетрадой – четырехразрядным двоичным числом.

Пример. Записать число C876,F316 в двоичной системе счисления.

C876,F316 = 1100 1000 0111 0110, 1111 0011 16-2 = 1100100001110110,11110011 2

Правило перевода: Для перевода числа из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную необходимо разбить это число вправо и влево от запятой на группы по четыре разряда – тетрады и представить каждую группу цифрой в шестнадцатеричной системе счисления.

Пример. Записать число 1011101101,1011011012 в восьмеричной системе счисления.

1011101101,1011011012 = 0010 1110 1101 , 1011 0110 1000 16-2 = 2ED,B688

  1. Арифметические действия в различных системах счисления

Действия над числами с основаниями отличными от 10, несколько непривычны, и поэтому вызывают определенные затруднения. Однако правила сложения, вычитания, умножения «столбиком» и деления «уголком», которые используются в деся­тичной системе счисления, применимы в любой системе счисления. Как и в десятичной системе счисления, при сложении чисел единица переноса и стар­ший разряд появляется, если сумма цифр равна или больше основания рсис­темы счисления. При вычитании чисел, если цифра уменьшаемого меньше цифры вычитаемого, то из следующего старшего разряда «занимается» едини­ца основания.

В арифметике все операции, в конечном счете, как будет показано поз­же, могут быть определены через операцию сложения. Рассмотрим ее выпол­нение в системе счисления с основанием р.

Пусть заданы два целых положительных числа в позиционной системе счисления с основанием р. Запишем эти числа в виде:





Сумма этих чисел равна числу, которое может быть представлено в ана­логичной форме



Сумма этих чисел вычисляется по следующим правилам:

  • операция сложения выполняется поразрядно, начиная с младших разрядов в слагаемых;

  • в каждом одноименном разряде слагаемых суммируются соответствующие цифры и перенос из предыдущего разряда суммы;

  • если сумма цифр одноименных разрядов слагаемых и переноса меньше ос­нования системы, то перенос в следующий разряд равен нулю, если сумма цифр равна или больше основания системы - перенос равен единице.

Если числа А и Б имеют разное количество разрядов, то для меньшего числа считается, что все цифры недостающих разрядов равны нулю. Количество разрядов суммы S - m может превосходить количество разрядов слагаемых n.

П
ak bk
равило сложения в одном разряде можно пояснить рис. 2.1.1, на кото­ром показана схема работы сумматора в k-м разряде.







Пк-1
Пк






Sk



Здесь k означает перенос k -го разряда в (k +1) разряд, который опре­деляется следующими неравенствами:

Пк =0, при

Пк =0, при

Для суммы, в разряде k, выполняется следующее правило

, где sk


Цифры суммы чисел могут быть определены только последовательно, на­чиная с младших разрядов. Поэтому в соответствующих суммирующих схемах ЭВМ (многоразрядных сумматорах) операция суммирования должны выпол­няться последовательно, что существенно увеличивает время вычисления.

Арифметические действия в двоичной системе счисления.



Рассмотрим правила выполнения арифметических операций над одноразрядными двоич­ными числами, сопроводив их соответствующими таблицами.

Правила сложения

0+0=0

0+1=1

1+0=1

1+1=10
11+001=11

Решение

+ 0 1 1

0 0 1

1 0 0

1 1

Правила вычитания

0-0=0

1-0=1

1-1=0

0-1=-1
101-011=010

Решение

101

- 011

010

Правила умножения
Правила деления





0/0 – не определено

1/0 – не определено

0/1=0

1/1=1





Арифметические действия в шестнадцатеричной системе счисления


Таб­лицы сложения и умножения для шестнадцатеричной системы счисления (со­ответственно таблицы 2.1.3, 2.1.4) аналогичны соответствующим таблицам хо­рошо известной и привычной десятичной системы счисления и симметричны относительно вышеуказанной диагонали.

Приведем примеры выполнения арифметических операций в различных системах счисления.

Таблица сложения для шестнадцатеричной системы счисления


♦
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F

0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
B
С
D
Е
F

1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
C
D
Е
F
10

2
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11

3
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12

4
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13

5
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14

6
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15

7
7
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16

8
8
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15 16
16
17

9
9
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18

А
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19

В
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A

С
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B

D
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1С

Е
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1С
1D

F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1С
1D
1E

А
А
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
1A
15
16
17
18
19

В
В
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A

С
С
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B

D
D
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1С

Е
Е
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1С
1D

F
F
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1A
1B
1С
1D
1E



Таблица умножения для шестнадцатеричной системы счисления

умножения для шестнадцатеричной системы счисления

Таблица Z1.4 счисления

X
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

1
-
1
2
3
4
5
6
7
8
9
А
В
С
D
Е
F

2
-
-
4
6
8
А
С
Е
10
12
14
16
18
1А
1С
1E

3
-
-
-
9
С
F
12
15
18
1B
1E
21
24
27
2А
2D

4
-
-
-
-
10
14
18
1С
20
24
28
2С
30
34
38
ЗС

5
-
-
-
-
-
19
1E
23
28
2D
32
37
ЗС
41
46
4В

6
-
-
-
-
-
-
24
2А
30
36
ЗС
42
48
4Е
54
5А

7
-
-
-
-
-
-
-
31
38
3F
46
4D
54
5В
62
69

8
-
-
-
-
-
-
-
-
40
48
50
58
60
68
70
78

9
-
-
-
-
-
-
-
-
-
51
5А
63
6С
75
7Е
87

A
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
64
61
78
82
8С
96

В
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
79
84
8F
9А
А5

С
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
90
9С
A8
В4

D
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
А9
В6
СЗ

E
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
С4
D2

F
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
F1

Смотрите также файлы