Министерство образования Российской Федерации
Тверской государственный университет

Реферат на тему:
«Фрактальная модель динамики численности народонаселения»

Исполнитель: студент группы М-11М

Фёдоров А.В.

Тверь 2023
Оглавление

Введение

1. 
   Анализ подходов к построению математических моделей динамики численности населения.
   
2. 
   Уравнения демографической динамики.
   
3. 
   Построение и реализация фрактальной модели динамики численности народонаселения.
   

Заключение

Список использованных источников

Введение

В настоящее время существует достаточно большое количество математических моделей для прогноза динамики численности населения. При построении данных математических моделей, различные авторы используют свои идеи и принципы их построения. Так, например, анализируя динамику народонаселения всей Земли, часто используют принцип замкнутой системы. Данный принцип используется, когда на систему не действуют внешние факторы, а только те, что используются в модели. Принцип замкнутой системы используют не только для описания численности всей Земли, но и для страны, отдельного региона и т.д. Но помимо не включенных факторов, в таких системах не используют показатели миграции. Ведь учет миграционных процессов в модели динамики численности соответствует принципу открытой системы. Другие используют биологические модели, где динамика численности популяции определяется процессами воспроизводства. В таких моделях факторы, влияющие на демографические процессы (например, уровень жизни населения и т.д.), учитываются введением соответствующих коэффициентов модели, характерных только для биологических популяций (такие как, рождаемость, смертность и т.д.). Иногда в таких моделях динамика численности (рождаемость и смертность) учитывается не коэффициентами, а функциями.

В моделях мировой динамики используют также принцип ограниченности ресурсов. В необходимы для описания последствий роста численности населения, нехватки пищи или ресурсов, загрязнение окружающей среды. Первая из широко известных математических моделей роста народонаселения была предложена Т.Мальтусом в XIX веке. Согласно ей численность народонаселения N изменяется со временем как eαt, где коэффициент α получил название мальтузианского коэффициента. По-видимому, такой рост народонаселения соответствует неограниченным территории и ресурсам.

1. 
   Анализ подходов к построению математических моделей динамики численности населения
   

В настоящее время численность населения Земли составляет 6,8 млрд. человек. Скорость роста народонаселения является одним из важнейших количественных показателей, характеризующих качество условий проживания человечества на Земле. Так в 20 веке количество людей выросло в четыре раза. Причем в городах живет 47% населения, а в деревнях – 53%. По многим прогнозам ожидается, что примерно в 2030 г. численность населения Земли достигнет 8 млрд. В первую очередь, рост народонаселения прогнозируется в городах.

Необходимо отметить и явление старения населения Земли. Быстрее всего увеличивается численность людей старше 80 лет. По проведенным оценкам ООН, в настоящее время ежегодно численность населения увеличивается на 1,2 %. На развивающиеся страны приходится 97 роста. Лидерами прироста являются Индия, Китай, Пакистан, Нигерия, Бангладеш, Индонезия. Из развитых стран высокий уровень рождения сохраняется лишь в США. Эта страна занимает 7 место в мире по темпам прироста численности населения. Иммигранты обеспечивают 80% этого роста. В Европе численность населения сокращается несмотря на существенную иммиграцию. В ряде работ [17 - 27] рассматривается вероятность того, что “пик” (численности человечества) будет достигнут уже при жизни нынешнего поколения, после чего начнется неуклонное ее снижение. Такой возможный ход истории получил отражение в изданиях ООН, отличающихся взвешенным подходом. Так в прогнозе комитета ООН по народонаселению “The 1996 Revision” наряду с “высшим” и “средним” присутствует и “низкий” вариант, согласно которому уже после 2040 г. при “нормальном” развитии событий, исключающем войны, голод и крупные эпидемии, рост численности прекратится, после чего начнется депопуляция мира. По этому сценарию народонаселение в 2040 году будет составлять 7,7 млрд. человек. Но уже за период с 2040 по 2050 г.г. человечество сократиться на 8 млн. человек. Далее оно будет сокращаться на 25% с каждым поколением [28].

Многообразие сценариев динамики народонаселения, опирающихся на различные механизмы, влияющие на демографические процессы, ставит вопрос о построение модели роста народонаселения, описывающих этот процесс и независящей от всевозможных допущений и предположений.

В настоящее время численность населения Земли составляет 6,8 млрд. человек. Скорость роста народонаселения является одним из важнейших количественных показателей, характеризующих качество условий проживания человечества на Земле. Так в 20 веке количество людей выросло в четыре раза. Причем в городах живет 47% населения, а в деревнях – 53%. По многим прогнозам ожидается, что примерно в 2030 г. численность населения Земли достигнет 8 млрд. В первую очередь, рост народонаселения прогнозируется в городах.

Первая из широко известных математических моделей роста народонаселения была предложена Т.Мальтусом в XIX веке. Согласно ей численность народонаселения N изменяется со временем как e^αt, где коэффициент α получил название мальтузианского коэффициента. По-видимому такой рост народонаселения соответствует неограниченным территории и ресурсам.

Но в 1960 г. X. фон Ферстер, П. Мора и JI. Амиот опубликовали в журнале Science сообщение [14] что между 1 и 1958 г. н.э. динамика числен­ность народонаселения мира (N) может быть с необычайно высокой точ­ностью описана при помощи другого соотношения:



С. фон Хернером (von Hoerner 1975) [14] и С. П. Капицей (1992, 1996, 1999) [8, 13, 15] было показано, это уравнение имеет смысл использовать в следующем аппроксимированном виде



Графиком данного уравнения является гипербола; описываемый этим уравнением закон роста обозна­чается как «гиперболический».

В этом случае численность народонаселения растет по гиперболическому закону росла по гораздо более быстрому ги­перболическому закону, а время t₀

2025 год . Этот закон также получил название режима с обострением.

---

Согласно этой модели в 2025 году нас ждет демографический взрыв, когда численность народонаселения должна вырасти почти мгновенно до очень больших значений, что практически нереально.

1. 
   
   

Рис 1.

Как видно из Рис. 1 реальный рост народонаселения не соответствует как экспоненциальному, так и гиперболическому законам. Кривая народонаселения с 1950 года разбивается на 3 участка, на каждом из которых с высокой степенью точности численность народонаселения растет линейно.

Характер данного процесса ближе всего соответствует описанию в рамках мультифрактальной динамики.

В данной работе мы предлагаем такую модель, которая основана на фрактальном подходе. Эта модель представляется более надежной по сравнению с другими. Она мало зависит от деталей функционирования рассматриваемой системы, устройство которой и численные параметры ее нам недостаточно известны.

2. 
   Уравнения демографической динамики.
   

В основе уравнений демографической динамики лежит, как правило, соотношение между скоростью изменения тренда численности народонаселения и трендом численности народонаселения (непрерывной и гладкой функции апроксимирующей данные по численности народонаселения). Из многочисленных демографических уравнений приведем некоторые их них: (Мальтус [2]), (Х. фон Ферстер [3], С. фон Хернер [4], Капица С.П. [5]), (Ферхюльст [6]), уравнения со стабилизацией численности народонаселения (Капица С.П. [7], А.В. Подлазов [8], С.В. Цирель [9], Коротаев А.В., Малков А.С., Халтурина Д.А. [10], Акаев А.А., Садовничий В.А. [11]), уравнения мультифрактальной динамики (А.Н. Кудинов и др. [12]). Рассмотренные примеры говорят о многообразии типов уравнений, используемых для решения конкретных задач в демографии.

Для описания демографической динамики в данной работе предлагается использовать новое демографическое уравнение:

(1)

Преобразованием

---

уравнение (1) сводится к уравнению Мальтуса с мальтузианским коэффициентом и поэтому его интегрирование не вызывает затруднений.

Уравнение демографической динамики (1) содержит три независимых параметра , выбором которых можно описать гораздо больше демографических сценариев по сравнению с другими уравнениями, зависящими от одного или двух параметров, и поэтому его вполне можно отнести к классу реалистических демографических уравнений. Полагая , получаем из (1) уравнение Мальтуса, при - уравнение С. фон Хернера, С.П. Капицы, а при - уравнение Ферхюльста.

В уравнении (1) параметры являются фундаментальными демографическими параметрами. Определим демографический период, как временной интервал, на котором демографические параметры постоянны, и значения которых определяются совокупностью экономических, социальных, политических и других факторов интересующей нас территориальной структуры. На стыке демографических периодов параметры естественно меняются скачками. А переход из одного демографического периода в другой имеет смысл демографического фазового перехода. При этом будем полагать, что численность народонаселения и скорость его изменения являются в точке демографического фазового перехода непрерывными функциями времени . Пусть при t=0 величина и , , тогда - предельное значение численности народонаселения при его росте. Если же ,

---

, тогда - предельное значение численности народонаселения при его уменьшении. Величина и знак параметра определяют, прежде всего, скорость роста или уменьшения численности народонаселения. Параметр в уравнении (1) является степенным фактором и существенно определяет характер его решения. Поэтому естественно назвать демографическим индексом, в значительной степени определяющим эволюцию демографического процесса.

Для описания мировой демографической динамики будем использовать предложенное нами уравнение (1), а параметры будем вычислять из условия наилучшего согласия с данными по народонаселению Мира с РХ по настоящее время [1], что принципиально отличает данный метод от других подходов. Таким образом, используя данные [1], мы учитываем все многообразие демографических факторов (экономические, политические, социальные, культурные, биологические и др.), определяющих рост народонаселения Земли.

Представим демографические данные на Рис. 2 с РХ по настоящее время. Здесь и далее величины мы будем измерять в млрд. человек.


Рис. 2. Зависимость численности

народонаселения Мира от времени

с РХ по 2017 год.



Рис. 3. Графики решения уравнения (1).


Из данных по динамике численности народонаселения Земли [1] следует, что можно выделить за временной промежуток в 2017 лет качественно два периода: I-й период с РХ до середины 1960-х годов, на котором наблюдается увеличение скорости роста народонаселения, II-й период, начиная с середины 60-х и по настоящее время, характеризуется уже замедлением скорости роста народонаселения Земли. Ранее на возможный демографический переход после 1965 года указывал С.П. Капица [7].

Естественно искать решения уравнения (1) в виде двух различных функций

---

и с различными значениями демографических параметров . В точке фазового перехода должны выполняться условия непрерывного перехода от первого демографического перехода ко второму:



3. Построение и реализация фрактальной модели динамики численности народонаселения.

Численность народонаселения будем измерять в млрд. человек, а время – в годах. Скорость роста народонаселения обозначим и она измеряется в

Будем предполагать, что динамика народонаселения является мультифрактальной динамикой. Это означает, что весь промежуток времени наблюдения можно разбить на промежутки, на каждом из которых она имеет определенное значение фрактальной размерности . На этих участках скорость роста народонаселения (тангенс угла наклона линейного тренда) согласно нашей модели [29] является функцией , которая является решением кубического уравнения

(2).

В этом уравнении для функции , мы выбираем следующее аналитическое представление:

при

---

Смотрите также файлы

• 2 величина признака, которая чаще всего встречается в данной совокупности.docx

• Лев рубинштейн.pdf

• Сборки в машиностроении.pdf

• Наличие витаминов в детских пакетированных соках.docx

• Наследственности.docx