имеет степень . Минимальный полином из , как обычно, (уникальный) нормированный многочлен наименьшей степени такой, что ; является наименьшим общим кратным минимальный полином векторов . Очевидно, является циклическим, только если степень равна . Обратное утверждение можно сформулировать следующим образом.

ЛЕММА 1: если минимальныйполином из имеет степень , то циклический, то есть существует , такой что минимальный полином из является .

В частности, условие леммы 1 выполняется, если собственные значения различны.

Два нормированных полинома , взаимно просты, если их наибольший общий делитель равен 1. Тогда [4] существуют такие полиномы и

---

, что



ЛЕММА 2: Пусть циклический, с минимальными полиномами , и является генератором [4]. Если для некоторого полинома и если и взаимно просты, то также является генератором .

Обратное тоже верно, но не нужно.

Доказательство: Пусть будет минимальный полином от . Поскольку и взаимно просты, существуют и такие, что . Таким образом

.

Если произвольно, то для некоторого полинома ,

;

тогда , и поэтому

---

( делит ). Поскольку - минимальный многочлен , . Следовательно, , и поэтому генерирует . Доказательство завершено.

Пусть - матрица , как и раньше, и пусть обозначает подпространство , натянутое на векторы столбцов . Очевидно, что если содержит генератор , то является управляемым. Поскольку минимальный полином из может иметь степень меньше , обратное утверждение в общем случае ложно. Однако для циклического пространства верно следующее.

---

ЛЕММА 3: Пусть управляемо, а циклически. Существует такой вектор , что является управляемым.

Доказательство: для пусть будет минимальный полином в , а циклическое подпространство, порожденное . Таким образом, , и, если a является минимальный полином ,

.

Пусть - будет генератором . Существуют многочлены такое что , . Существование действительных чисел , будет доказано, что генерирует . По лемме 2 достаточно выбрать так, чтобы



взаимно с .

Для этого сначала отметим, что

---

. (5)

На самом деле, если это наибольший общий делитель слева, то



,

для подходящих полиномов и . Потом

, .

Таким образом , ; следовательно, по определению наименьшим общим кратным, , то есть .

Наконец, обратите внимание, что и взаимно просты тогда и только тогда, когда , , где - (комплексные) нули . В силу (5) величины , , не могут все обращаться в нуль для любого . Следовательно, числа

---

Смотрите также файлы

• Жаанды зыреттіліктер курсыны за мерзімді жоспары 8сынып ( барлыгы 18 са, аптасына 0,5 са).docx

• Отработка приемов с ручными пожарными лестницами.docx

• Oсобенности социальной стратификации традиционного казахского общества.docx

• Выполнение лабораторной работы по дисциплине информационные технологии в юридической деятельности.docx

• 6 апта Білім, ылым, техника жне технологиялар.docx