. Если они это делают, соответствующие элементы управления полностью не взаимодействуют.

Применение к стабилизации. Ссылаясь на (2), естественно сказать, что пара стабилизируема, если существует матрица такая, что матрица стабильна, то есть все ее собственные значения имеют отрицательные вещественные части. Очевидно, что если управляемо, то стабилизируемо. Будет показано, что стабилизируемость эквивалентна более слабому свойству, что, по крайней мере, «неустойчивые моды» являются управляемыми.

Чтобы быть точным, пусть минимальный полином для относительно будет учтено как



где все нули лежат в замкнутой правой части комплексной плоскости, а все нули лежат в открытой левой полуплоскости. Определить подпространство неустойчивых мод



и пусть обозначает матрицу управляемости (см. Введение).

ПРЕДЛОЖЕНИЕ:Пара стабилизируется тогда и только тогда, когда диапазон

---

содержит . Доказательство: Определить

.

Поскольку , взаимно просты, из этого следует [3], что . Пусть обозначает проекцию на вдоль , и пишем . Из (1)

(15)

где .

Поскольку являются -инвариантными подпространствами,

, .

Таким образом, (15) подразумевает

, (16)

где - ограничение на . Так же,



и здесь устойчив. Теперь, если тогда



Таким образом, пара является управляемой в

---

, и существует матрица такая, что является устойчивой. Пусть и положим . потом



. (17)

Уравнение (17) показывает в треугольной форме со стабильными обоими диагональными блоками, то есть устойчиво.

Обратно предположим, что . Поскольку инвариантен и взаимно просты,

.

Таким образом, подпространство правильно содержится в ; другими словами, пара неуправляема. В обозначим через ортогональную проекцию на -инвариантное подпространство . Тогда , и . Запись

,

---

из (16) следует, что

.

Поскольку собственные значения включены в число значений , ясно, что подсистема с вектором состояния не может быть стабилизирована каким-либо выбором управления . Доказательство завершено.

Рассмотрим (l), определенный для , вместе со вспомогательным уравнением

, (18)

где представляет собой матрицу , а представляет наблюдаемый вектор. Определить -векторную функцию уравнением вида

,

(19)

где и будут определены ниже.

Функция может служить асимптотической оценкой в следующем смысле. Если пара стабилизируема, то матрицы и

---

можно выбрать так, чтобы

,

для всех начальных значений . Действительно, выберите так, чтобы был стабильным, и установите . Тогда



и утверждение следует. Это означает, что если требуется только асимптотическая идентификация, то стабилизируемость может заменить более сильное условие наблюдаемости.

Основным результатом данной работы является доказательство эквивалентности управляемости и назначения полюсов в конечномерных динамических системах с вещественными параметрами. Таким образом, два упомянутых свойства проявляются в виде двойных понятий в соответствующих областях времени и частоты. Данное доказательство является длинным, но содержит интересный вспомогательный результат (лемма 3) и дает информацию о канонической структуре. Более слабое свойство стабилизируемости характеризуется как управляемость неустойчивых мод. Было бы интересно алгоритмизовать конструкцию смещения полюсов, возможно, по линии Басса и Гуры [6], и найти более точное абстрактное доказательство основной теоремы.
ЛИТЕРАТУРЫ

1. 
   S. Lefschetz, Stability of Nonlinear Control Systems. New York: Academic Press, 1965.
   
2. 
   C.E. Langenhop, “On the stabilization of linear systems,” Proc. Amer. Math. Soc., vol. 15, no. 5, pp. 735-742, 1964.
   
3. 
   F.R. Gantmacher, The Theory of Matrices, vol. 1. New York: Chelsea, 1959.
   
4. 
   G. Birkhoff and S. MacLane, A Survey of Modern Algebra. New York: Macmillan, 1953.
   
5. 
   R.E. Kalman, “When is a linear control system optimal?,” Trans. ASME, J. Basic Engrg., ser. D, vol. 86, pp. 51-66, 1964.
   
6. 
   R.W. Bass and I. Gura, “High order system design via state-space considerations,” Preprints, Joint Automatic Control Conf. (Troy, N. Y., June 1965), pp. 311-318.
   
7. 
   D. G. Luenberger, “Observers for multivariable systems,” IEEE Trans. Automatic Control, vol. AC-1l, pp. 190-197, -April 1966.
   
8. 
   J. D. Simon, private communication.
   

¹ Обозначение [.] обозначает диапазон матрицы.

---

Смотрите также файлы

• Жаанды зыреттіліктер курсыны за мерзімді жоспары 8сынып ( барлыгы 18 са, аптасына 0,5 са).docx

• Отработка приемов с ручными пожарными лестницами.docx

• Oсобенности социальной стратификации традиционного казахского общества.docx

• Выполнение лабораторной работы по дисциплине информационные технологии в юридической деятельности.docx

• 6 апта Білім, ылым, техника жне технологиялар.docx