. То есть пусть будет матрицей с векторами столбцов в только что написанном порядке, и пусть . Тогда имеет блочную форму

. (10)

В (10) матрицы встречающиеся на диагонали являются сопутствующими матрицами .

, (11)

и матрицы имеют размерность .

Наконец, , где

(12a)

здесь

(12b)

и - матрица , которая не появляется, если .

Чтобы проверить детали (10), (ll) и (12), отметим, что является столбцом компонентов в базисе .

Таким образом, -й столбец - это список компонентов, в этом базисе,

---

, где - это -й базисный вектор. Этот список можно прочитать из (9). Аналогично является столбцом компонент , так что (12) сразу следует из (8b).

С в канонической форме будет в конечном итоге показано, что собственные значения могут быть заданы произвольно. Положим и наблюдаем, что матрица подобна под к . Далее возьмите в виде

(13)

где

, .

В верхний блок имеет размерность , а нижний блок размера . Из (10)- (13) видно, что



где, для ,

.

Пусть будет определителем , то есть

. (14)

Из треугольной формы

---

следует, что

.

Также из (14) ясно, что нули числа могут быть назначены произвольно (при условии сопряженности комплексных нулей) путем правильного выбора действительных коэффициентов . Это показывает, что, в частности, система (1) всегда может быть стабилизирована путем соответствующего выбора .

Чтобы показать, что может быть назначен произвольный набор собственных значений , необходимо учитывать тот факт, что матрицы имеют фиксированную размерность. Если, например, и каждый имеют размерность , невозможно назначить произвольную комплексную пару собственных значений путем независимой регулировки . Это дополнительная сложность, связанная с ограничением реальных параметров. Для продолжения пусть , где имеет вид (13) и подчиняется только требованию, чтобы все собственные значения были различны. Только что было замечено, что такой выбор возможен. Тогда по лемме 1 пространство циклически относительно матрицы

---

. По лемме 4 является управляемым. Применяя лемму 3, можно найти -вектор такой, что является управляемым. Теперь для подходящей вектор . Таким образом, если принимается в виде



с скаляром и вектором , то система (1) становится

.

Наконец, поскольку теорема верна в случае с одним входом, можно выбрать в виде



таким образом, что матрица имеет требуемый набор собственных значений . То есть матрица «усиления»



имеет обязательное свойство. Теорема доказана.

---

Комментарии

1) Конструкцию в доказательстве необходимости можно суммировать в терминах блок-схемы (рис.1). После выбора подходящего набора переменных состояния (каноническая форма (8) - (12)) конструктор строит внутренний цикл обратной связи (через матрицу ), который делает систему циклической, то есть управляемой одним входом. Затем разработчик выбирает подходящий ввод в виде ( -генератор ) и завершает внешний цикл, устанавливая для достижения требуемого размещения полюсов.



Рисунок 1. Построение в доказательстве после выбора канонических переменных состояния.
2) На практике может быть много способов выбора переменных состояния и величин , , для достижения заданного назначения полюсов. Использование этой свободы с помощью подходящих критериев проектирования является интересной проблемой современных исследований [5].

3) Стоит отметить, что для данной пары может существовать более одной «канонической» формы (10)-(12). То есть матрица в (10) может не раскрывать внутреннюю структуру , как это делают обычные рациональные канонические разложения в блочно-диагональные формы [3]. Недостаток таких блочно-диагональных представлений состоит в том, что, как правило, циклические подпространства, соответствующие отдельным блокам, не обязательно должны иметь образующие в подпространстве

---

Смотрите также файлы

• Жаанды зыреттіліктер курсыны за мерзімді жоспары 8сынып ( барлыгы 18 са, аптасына 0,5 са).docx

• Отработка приемов с ручными пожарными лестницами.docx

• Oсобенности социальной стратификации традиционного казахского общества.docx

• Выполнение лабораторной работы по дисциплине информационные технологии в юридической деятельности.docx

• 6 апта Білім, ылым, техника жне технологиялар.docx