Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

ИООСТ БЮРГИ (1552—1632)

Г. К. ОСТАПОВ

О 76 ®стапов Г. К.

Логарифмы. Минск, «Вышэйш.

школа», 1968. 228 с. с илл.

В книге содержится краткая история логариф­ мов и показательной функции, рассматриваются иррациональность и трансцендентность чисел е

и я, теория показательной и логарифмической функций, даются методы вычисления логарифмов, методическое руководство по преподаванию лога­ рифмов и показательной функции в средней школе.

2- 2-2

62-68

51(09)

В настоящей книге рассматривается история логарифмов и показательной функции, иррацио­

в литературе и методическое руководство по преподаванию показательной функции и лога­ рифмов в средней школе.

Следует отметить, что полное изложение этой темы отсутствует в существующей литера­

многие авторы доводят лишь до 17 в., мотиви­ руя тем, что дальше история логарифмов вхо- 5

дит в историю анализа и поэтому довольно сложно дать дальнейшее ее освещение. Несмот­ ря на эту трудность, мы сделали попытку до­ вести историю логарифмов до 19 в.

Вработе дается логически строгое и полное изложение теории показательной и логарифми­ ческой функций, базирующееся на теории пре­ делов и теории иррационального числа, которое мы рассматриваем как бесконечную непериоди­ ческую десятичную дробь. Такое определение иррационального числа мы берем потому, что оно знакомо учителям и учащимся средней школы.

Вкниге дается описание одного из совре­ менных методов изложения теории в математи­ ческом анализе: когда логарифм определяется при помощи интеграла, а показательная функ­ ция рассматривается как обратная логарифми­ ческой. На рассмотрении этого метода мы оста­ новились потому, что он мало известен, хотя является наиболее простым и наглядным.

Большое внимание уделено рассмотрению элементарных способов приближенного вычисле­ ния логарифмов, так так многие учителя мате­

При изложении элементарных методов вы­ числения логарифмов в книге даются методи­ ческие указания о том, в каком объеме п для какой работы в школе может быть использован каждый из них.

В элементарной алгебре одним из наиболее трудных с методической точки зрения является раздел, изучающий теорию показательной и ло­ гарифмической функций. При изложении этой теории учителя часто допускают ряд догмати­ ческих утверждений, предлагая учащимся при­ нять все объяснения на веру, не подтверждая их какими-либо логическими соображениями. Очень часто учителя не понимают значения учения о логарифмах, считая, что логарифмы необходимы только для упрощения числовых

При написании работы был учтен опыт пре­ подавания лучших учителей, ряд вопросов про­ верялся в процессе преподавания в школе ав­ тором, а также студентами-практикантами на протяжении многих лет.

Автор выражает глубокую благодарность члену-корреспонденту АПН СССР доктору фи­ зико-математических наук И. С. Бровикову, кандидату педагогических наук В. Г. Прочу- 7

хаеву и кандидату физико-математических наук П. Н. Князеву за просмотр рукописи и заме­ чания.

Отзывы о книге просьба направлять по адресу: Минск, ул. Кирова, 24, издательство «Вышэйшая школа».

Глава I

История логарифмов и показательной функции

Историческое значение § 1. введения логарифмов

Логарифмы были введены в начале 17 в. одновременно двумя математиками — Непером и Бюрги. Открытие логарифмов обусловлива­ лось требованиями эпохи. Это было время ве­ ликих географических открытий, освоения новых земель с целью использования их природных богатств. Быстро развивалась астрономия, ма­ тематические дисциплины. Еще в 15 в. немец­ кий математик Региомонтан составил таблицу

чин с 10 знаками через каждые 10". Во многих случаях пользование такими таблицами стано­ вилось трудным, а то и практически невозмож­ ным, так как приходилось производить боль­ шое количество действий с многозначными чи­

называемый простаферетический метод. При по­ мощи этого метода умножение, которое погло­ щало много времени, было заменено сложением или вычитанием. Однако этот метод был сло­ жен, а развивающаяся астрономия требовала новых, более эффективных средств, которые дали бы возможность оперировать с большими числами.

Таким образом, техника вычисления отставала от требований астрономии и других наук. Вве­ дение логарифмов снимало это противоречие: операции высшей ступени (умножение и деле­ ние) удалось свести к операциям низшей сту­ пени (сложению и вычитанию). Логарифмы да­ вали возможность за несколько часов выполнить работу, на которую раньше требовались целые месяцы.

Впервые логарифмами, удлиняющими, по выражению Лапласа, жизнь астрономов, во­ спользовался немецкий ученый Иоганн Кеплер (1571 — 1630) при составлении астрономических таблиц.

введены логарифмы, десятичные дроби, хотя н были известны, но не вошли во всеобщее упот­ ребление. Тогда не существовало понятия о три­ гонометрических функциях, а рассматривались лишь тригонометрические линии в круге, где радиус выражался высокой степенью десяти (великий математик Эйлер первый ввел вместо тригонометрической линии ее отношение к ра­ диусу).

Не было в то время и понятия о степени, а тем более о показателе степени. Таким обра­ зом, не могло быть речи об основании лога­ рифмов. Тем не менее логарифмы были открыты и вычислены.

Трудно сейчас представить, как без помощи логарифмов можно производить колоссальные вычисления, с которыми приходится иметь дело в астрономии и других науках.

Для вычислительной практики значение ло­ гарифмов столь велико, что их открытие можно поставить рядом с изобретением десятичной системы нумерации.

С теоретической точки зрения введение по­ нятия логарифма как новой функциональной связи между переменными имело исключительно большое значение для развития анализа беско­ нечно малых.

В дальнейшем изложении мы рассмотрим несколько подробнее технику вычислений до введения логарифмов, а также зарождение пер­ вых идей о логарифмах, после чего перейдем непосредственно к самой истории логарифмов.

§ 2. Техника вычислений до введения логарифмов

До введения логарифмов при тригонометри­ ческих вычислениях старались избегать действия умножения и заменяли его сложением или вы­ читанием.

Еще в средние века были известны следую­ щие формулы:

sin а • sin р = -i- [cos (а — [3) — cos (а + Р)],

cos а• cos р = -i- [cos (а ■— (3) -f cos (а + f3)].

Применялись эти формулы при вычислениях. Способ, основанный на этих формулах, получил название простаферетического метода.

Как видим, основой простаферетического метода является сведение умножения к сложе­

нейшем этот метод получил более широкое при­ менение. Так, в тригонометрической работе Ти­