ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 126
Скачиваний: 3
в одной и той же строке находятся логарифмы синусов дополнительных до 90° углов. В столбце с подзаголовком «разности» даны разности этих логарифмов, которые и являются логарифмами тангенсов соответственных углов. Логарифм полного синуса принят равным нулю. Логарифмы прочих синусов являются положительными чис лами, растущими с уменьшением угла.
Большой интерес представляет второе сочи нение Непера «Устройство», где выводятся основные свойства логарифмов и дается подроб ное описание способа, при помощи которого были вычислены логарифмы. В приложении к нему указывается новая система логарифмов, более удобная и в сущности совпадающая с десятич ной. Кроме того, в этом сочинении даны впер вые так называемые аналогии Непера.
Об определении логарифма у Непера
В первой главе сочинения Непера «Описа ние» даны определения. Эти определения сле дующие [2, стр. 336—337]:
« О п р е д е л е н и е 1. Говорят, что линия растет равномерно, когда описывающая ее точка проходит в равные моменты равные промежутки.
О п р е д е л е н и е 2. Говорят, что линия со кращается пропорционально, когда пробегающая по ней точка в равные моменты отсекает от резки, сохраняющие постоянно одно и то же отношение к тем линиям, от которых они от секаются.
О п р е д е л е н и е 3. Говорят, что количества иррациональные или невыразимые числом опре21
|
деляются числами с наибольшим приближением, |
||||
|
когда они определяются большими числами, |
||||
|
отличающимися от истинных значений иррацио |
||||
|
нальных количеств меньше, чем на единицу. |
||||
|
О п р е д е л е н и е |
4. Синхронными движени |
|||
|
ями называются те, которые происходят вместе |
||||
|
и в течение одного и того же времени. |
|
|||
|
О п р е д е л е н и е |
5 и |
п о с т у л а т . Так как |
||
|
существуют движения, как более медленные, |
||||
|
так и более быстрые, чем всякое данное движе |
||||
|
ние, то отсюда необходимо |
следует, что суще |
|||
|
ствует движение, равпобыстрое всякому данному |
||||
|
(которое мы определяем как движение ни более |
||||
|
медленное, ни более быстрое, чем данное). |
||||
|
О п р е д е л е н и е 6. Логарифмом всякого си |
||||
|
нуса называется, наконец, число, определяющее |
||||
|
с наибольшим приближением линию, возрастаю |
||||
|
щую равномерно, между тем как линия полного |
||||
|
синуса сокращается пропорционально до вели |
||||
|
чины данного синуса, причем оба движения |
||||
|
синхронны и вначале равнобыстры». |
|
|||
|
Как видим, Непер обошел ту трудность, ко |
||||
|
торая возникла при сопоставлении арифмети |
||||
|
ческой и геометрической прогрессий в формиро |
||||
|
вании понятия о логарифме, |
связав непрерывную |
|||
|
последовательность чисел и их логарифмов с рас |
||||
|
стояниями, пройденными двумя точками, которые |
||||
|
движутся по определенным законам. |
|
|||
|
Дадим изложение хода мыслей у Непера. |
||||
|
Пусть ГД — отрезок прямой, AS — луч, выходя |
||||
|
щий из точки Р (рис. 1). |
Представим себе две |
|||
|
точки, которые двигаются одновременно. |
Одна |
|||
|
из них движется от Г к |
А, а другая |
от Р |
||
22 |
вдоль PS. |
|
|
их движения |
в точ- |
Допустим, что скорость |
ках Т и Р одинакова. Пусть движение точки по второй прямой будет равномерное, по первой же прямой точка движется пропорционально-за медленно так, что, когда она приходит в поло жение М, скорость ее пропорциональна непройденному расстоянию MR.
м' |
т— м |
м, |
мг |
я |
^ |
Р — 'N |
'NI |
' Nz |
|
Рис. 1
Если первая точка проходит расстояние ТМ за то время, за которое вторая проходит рас стояние PN, то это последнее расстояние Непер называет логарифмом MR.
Предположим, что начальная скорость точки v ~ T R (коэффициент пропорциональности равен единице) очень большая. Тогда в течение про
межутка времени |
точка по второй прямой |
будет проходить расстояние, равное у-— = 1.
Точка, двигающаяся по первой прямой с на чальной скоростью v, пройдет в конце первого промежутка расстояние, очень близкое к единице, и придет в положение М со скоростью MR =
В течение второго промежутка, тоже рав-
Н°Г° —, скорость точки, движущейся по первой
прямой, будет приблизительно равна v — 1, прой23
денное расстояние ММХ= v v |
а расстояние |
M1R = M R --M M 1==v— l — ^ ± |
= v(l — ^ f . |
Аналогично предыдущему найдем, что рас стояние точки от R в конце третьего проме-
/1 ®
жутка будет v ( 1 --- —) , |
в конце четвертого |
промежутка ■ и 1 — |
а в конце и-го проме |
1 ^ |
|
жутка — i ^ l ---- —) . |
|
Выпишем расстояния точки, движущейся по первой прямой от R , и расстояния точки, движу щейся по второй прямой от Р, в конце каждого промежутка времени. Получим две последова тельности:
n,o(l-l), o(l-4 ) |
( 1) |
|
О, 1, 2, . |
V. |
( 2) |
Последовательность |
(1) представляет собой |
геометрическую прогрессию, а последователь ность (2) — арифметическую. Члены последова тельности (2), по Неперу, являются логарифмами соответствующих членов последовательности (1).
Как видим, здесь открытие Непера сопри касается с идеями Архимеда, Штифеля и др. Но у Непера есть и новое, а именно функцио нальная зависимость величин, распространенная на непрерывно изменяющиеся значения аргу мента. Число v Непер взял равным 107. Нуль у него — логарифм числа v, отрезок линии TR — синус 90° (радиус) п равен 107. Таким образом,
24 по принятой системе логарифм полного синуса
равнялся нулю и этим самым упрощались лога рифмические вычисления, так как в тригоно метрии приходилось очень часто умножать и делить на полный синус (в современных логариф мах нуль есть логарифм единицы). Непер вы числял логарифмы синусов, а не логарифмы последовательных чисел.
Если первая точка до момента прохождения через Т занимает положение М ', то длина RM' будет больше полного синуса, а вторая точка будет находиться в АТ. В этом случае Непер принимал за логарифм RM' отрицательное число, абсолютная величина которого определяется дли ной отрезка PN'.
Из сказанного видно, что логарифмы Непера отличаются от натуральных логарифмов, где за основание берется число е = 2,7182..., хотя в некоторых руководствах по алгебре и анализу часто утверждается, что натуральные логарифмы были изобретены Непером. В строгом понимании слова об основании неперовых логарифмов гово рить нельзя, так как логарифм единицы не есть нуль, но если, однако, мы разделим каждый член геометрической и арифметической прогрес
сий на |
107 |
(о), |
то |
это даст: |
|
||
|
I 1 |
|
10^)’ |
(* |
Тот-) ’ ‘ ' ' ’ (* |
107 ) ’ |
|
о |
_ L |
’ |
J _ |
’ • |
' • ’ |
1. |
|
’ |
107 |
107 |
|
|
Единица будет логарифмом числа (1 — ~ j ,
которое близко к
Сам Непер указывал, что у него существует 25
некоторый произвол в выборе логарифмической системы.
Следует отметить, что первые таблицы натуральных логарифмов дал английский математик Спейдель в сочинении «Новые логарифмы» (1619).
Наиболее усовершенствованная система натуральных логарифмов принадлежит голландцу Вольфраму. Таблицы Вольфрама были изданы в 1778 г. Самая полная и обшир ная таблица натуральных логарифмов напечатана в энци клопедии Риса в 1819 г., в Вене в 1850 г. опубликована таблица Дазе.
Заметим, что в переводе на современный математический язык движение двух точек можно облечь в форму наглядной дифференциальной зависимости между двумя переменными величи нами: числом и его логарифмом.
Обозначим число через х, логарифм его че рез у, постоянную скорость точки, двигающейся по второй прямой, через v. Тогда можем на писать
где |
t — время. |
|
|
|
|
( 3 ) |
||
|
|
|
|
|
||||
|
Скорость точки, которая движется по первой |
|||||||
прямой, |
будет прямо пропорциональна х, т. е. |
|||||||
равна ах. Учитывая, что х с течением времени |
||||||||
убывает, |
находим |
dx |
|
|
,,, |
|||
|
|
|
|
|
- ах- |
|
||
|
|
|
|
|
И = |
|
(4) |
|
|
Исключая из (3) и (4) значения времени, |
|||||||
получаем такое дифференциальное уравнение |
||||||||
|
|
dx |
__ |
|
ахdx |
,1 |
v |
dx. |
|
~dy |
~ |
-------или |
ау = — |
|
|||
Его |
|
|
|
|
|
|||
решение |
|
|
|
|
|
|||
26 |
|
|
|
у = |
— — In X + с. |
|
|
|
|
|
|
а |
а |
1 |
|
|
Определим постоянные а и с. При х-— 107 —
— |
dx |
= v |
dx |
, |
v, откуда |
|
или — -jjr = ах |
а ■107 = |
|||
а = |
-т^г- При х — 107 у = 0, откуда с= 107 In 107. |
||||
|
Получаем зависимость |
между логарифмами |
|||
Непера (L) |
и натуральными |
|
|||
|
|
|
у = Lx — 107 |
In — . |
|
|
|
|
а |
х |
|
Как видим, в определении логарифма у Не пера уже содержится идея дифференциального уравнения, однако она получила широкое при менение только в современном математическом анализе.
Основные свойства логарифмов и неравенство для разности логарифмов двух чисел у Непера
Непер формулирует следующее важнейшее свойство логарифмов: логарифмы пропорциональ
ных чисел имеют равные разности, |
т. е. если |
будут даны четыре числа А, В, С, |
D, состав |
ляющих пропорцию А : В = С : D, то |
LA — LB — |
— LC — LD.
Доказательство этого свойства Непер дает примерно так. Он берет пропорционально-замед ленное движение точки по прямой, а затем вы бирает четыре положения точки, например А, В, С, D. Далее он рассматривает отрезки АВ и CD и устанавливает, что точка проходит их в рав ные промежутки времени. Это положение он доказывает, вставляя между А, В, С, D проме жуточные точки, и составляет производные про-
порции, а затем устанавливает границы времени, необходимого для прохождения каждого отрезка, и границы времени, нужного для прохождения отрезков АВ и CD. Из отношения значений этих времен видно, что число отрезков стремится к бесконечности. В результате получается, что от ношение времени, необходимого для прохожде ния отрезков АВ и CD, равно 1, т. е. отрезки АВ и CD проходятся точкой в равное время, а время пропорционально разностям логарифмов чисел.
Итак, если даны четыре числа А, В, С, D, составляющих пропорцию А: В = С : D, то LA •—
— LB = LC — LD.
Рассмотренное свойство логарифмов можно обобщить на ряд чисел. Из этого свойства вы водятся правила логарифмирования. Например, правило логарифмирования произведения С = АВ.
С в
Записываем пропорцию -j- = — . Из нее полу
чаем
LC — LA = LB — L 1,
откуда
LAB = LA -f LB — LI.
Как видим, правило логарифмирования у Непера сложнее, чем в остальных системах, так как логарифм единицы не равен нулю.
Далее, для того чтобы перейти к вычислению таблицы логарифмов, Непер дает следующее не равенство для разности логарифмов двух чисел:
107 |
< LM — L N < 107 |
Приведем вывод этого неравенства (по Неперу).
28 Возьмем две прямые. Отрезок АВ = г = 107.