Файл: Остапов Г.К. Логарифмы.pdf

§ 3. Первые идеи о логарифмах

Идея логарифма возникла в связи с возве­ дением одного и того же числа в последова­ тельные целые степени. При этом получаются две прогрессии: арифметическая и геометри­ ческая. У египтян мы находим возвышение в степень числа 2.. Способ умножения у них со­ стоял в удвоении. Например, чтобы умножить а на 235, они проделывали следующее:

Искомое произведение равно

а + 2а + 8а + 32а + 64а + 128а = 235а.

хотя и в грубой форме, возникла из сопостав­ ления членов геометрической прогрессии с чле­ нами арифметической прогрессии. Такое сопо­ ставление ясно выражено у Архимеда в сочинении «Псаммит» [1, стр. 9]: «Если будет ряд непре­ рывно пропорциональных чисел, начиная с еди­ ницы, и если два члена этого ряда перемножить, то произведение будет членом того же ряда, настолько удаленным от большего множителя, насколько меньший удален от единицы. Он уже будет удален от единицы одним членом меньше в сравнении с тем, насколько удалены от нее оба множителя». Объяснить это можно так: если с геометрической прогрессией 1 ,а ,а -, . . . сопо­ ставить арифметическую прогрессию 1, 2, 3, . . . , то произведение двух членов первой ат и ап будет членом той же прогрессии; порядковый номер члена прогрессии равен сумме порядковых номе­ ров множителей без единицы.

Идея Архимеда встречается почти во всех зна­ чительных сочинениях по математике 1516 вв. Так, французский математик Н. Шюке в трактате «Наука о числе» (1484) дает одно из основных правил логарифмического исчисления. Он берет последовательность степеней числа 2 с их показа­ телями и указывает, что произведение двух чисел первой последовательности выражается числом этой же последовательности, соответст­ вующим сумме показателей перемножаемых чи­ сел. Шюке сопоставляет прогрессии:

0, 1, 2, 3, . . . ,

1, 2, 4, 8, . . .

Здесь арифметическая прогрессия в отличие от 15

архимедовой начинается с 0, а геометрическая прогрессия имеет равные между собой второй член и знаменатель прогрессии, т. е. это про­ грессия вида

1, а, а2, . . . , ап, . ..

Арифметическую и геометрическую прогрес­ сии до 16 в. неограниченно продолжали, и при­ том без изменения разности и знаменателя про­ грессии, только в одну сторону — вправо от начала. Идея продолжения прогрессии влево от начала, первое указание на подобную возмож­ ность внутри прогрессии, т. е. между каждыми двумя рядом стоящими членами (хотя уже и при изменении соответствующей разности и знамена­ теля прогрессии), принадлежат немецкому мате­ матику Штифелю (1486— 1567). В своем сочи­ нении «Всеобщая арифметика» он сопоставляет последовательности:

. . . . - 3 , - 2 , - 1 , 0, 1, 2, 3, . . .

и

и называет числа первой последовательности показателями.

Как видим, первая последовательность яв­ ляется арифметической прогрессией, а вторая — геометрической. При помощи этих двух последо­ вательностей можно умножение, деление, воз­ вышение в степень и извлечение корня из чисел второй последовательности заменить низшими действиями сложения, вычитания, умножения

16 и деления над соответствующими числами первой