Файл: Дружинин Г.В. Надежность электрических схем авиационных систем.pdf

исправной работы слюдяного конденсатора р

0,999999.

Поэтому

наряду

с р(() используют

и другие характеристики надежности,

которые

часто оказываются

более удобными.

Рассмотрим

одну из

том, что вероятность о (ti

появления двух и более отказов за бес­

конечно малый интервал

времени

(t, t -4- dt) убывает быстрее, чем

длина этого интервала, т.

е. &(t)

является бесконечно малой более

высокого порядка, чем dt.

Иными словами, если имеется группа оди­

хийные бедствия.

и (/, ( -f- dt)

Рассмотрим два смежных интервала времени: (0, I)

(рис. 1.1). Для того чтобы некоторый элемент

имел

возможность

dt

------------------------ t

-------- a—f

^ —

_

L

y/\

d q ( t ) = - dp(t) = p(t)-A,

(1.3)

где p{t) — вероятность исправной

работы элемента в течение вре­

мени (0, t);

отказа

элемента за

время

А — условная

вероятность

(t, t + dt),

найденная в предположении, что он исправно

проработал время (0, /).

в интервале

времени

Условную вероятность отказа

элемента

А = X[t) dt,

(1.4)

где величина /. (t) называется

интенсивностью выхода из строя.

Из (1.3) и (1.4) имеем:

— р (t)').[t) dt.

(1.5)

dp (t) =

Решение уравнения (1.5)

при начальном условии р(0) =

1 даст

для надежности элемента формулу

t

-

J Ut)dt

(l.G)

P(t)=---e

{)

Введением начального условия р(0) •

I накладываем ограничение,

чтобы к началу эксплуатации элемент был исправным.

По формуле (1.6) можно, имея

статистическую кривую >.(£),

-

J). (t)at -

.1 i (0 at

р [U) — t

0

или

и

>(t)at

•- ,f

P(h) = P V\ ) z

Л

•

(1-7)

Вместе с тем, согласно теореме умножения вероятностей,

0

P{t\)

(1 -8)

где p{t2)

— вероятность

исправной

работы

элемента

в

течение

времени (0, 12);

p(t\)

— вероятность

исправной

работы

элемента

в

течение

времени (0,

Л);

p(t2H\)

— условная вероятность

исправной работы

элемента

в течение времени (7Ь /2), найденная в предположении,

что в момент времени Л элемент был исправен.

В соответствии с (1.2) и (1.6) функция

надежности системы будет

определяться выражением

т

t

Л

(/) dt

P( t ) :

У-10

;1 -1 о)

или

Р (t) =

-

f Л (/)

( I t

e

0

( 1. 11)

•МО =

2

W

(Ы 2)

Для

системы, состоящей из

j= 1

одинаковых элементов,

Л (0

и соответственно

t

P{t) = e

- - m

i / .

(/) dt

(1.13)

ь

.

Для

периода времени (/ь 0)

формула (1.11)

будет иметь вид:

и

-

I

Л (t) dt

(1.14)

P[t'>it\)~ е

*'

х

л

под

дить численно или графически, планиметрированием площади

кривыми A (t)

или ХДО в пределах от 0 до 0-

кри­

Формулы

(1.6) —(1.14)

позволяют, имея статистические

вые Х;- (t) для

элементов,

найти

вероятность исправной работы

ятностью Р время

работы

системы

без повреждений.

Например, для вычисления веро­

ятности исправной

работы

системы

в течение времени (Д, t2) нужно

измерить площадь 5 (рис.

1.3) и

найти по таблице

экспоненциальной

функции:

Р и с .

1.3.

Р ( Ш = е - * -

При заданной вероятности Р сначала находится значение инте­

грала

|\\. { t ) d t = - In Р.

X

Затем, имея t\, по

графику

Л(П находим (Д — В),

при котором

жением

т

(

тп

P(t) = U

[ l - q

[ t ) ] =U

[1 - j‘

( 1Л5>

j-i

(1.15)

J-i

о

вычисление

Уже по виду формулы

можно

заключить, что

вой,

написать:

t

т

t

j \j(t)dt .

(U 6)

0

d t = i -

2

y-10

Когда, время

работы системы

мало

и

выполняется

условие

т

t

2

j

/,• (t) dt С

1, формулу

(1.15)

также можно переписать в виде

У-1 О

т

i

P(t) -

1 - 2

]'/f(t)dt.

(1.17)

Таким образом, при малых t можно не делать различия между

/у (t)

и

В этом

можно также

убедиться,

переписав формулу

(1.5)

в виде:

f ( t ) = \ ( t ) p ( t ) .

(1.18)

При малых / значения p(t) ^

1 и f(th ^

I (Л. При I =

0 p(t)

= 1

и f ( t ) = l ( t ) .

При

Согласно (1.18),

всегда справедливо

неравенство

1-( f ) > /(0 -

Х= const

f(t)

убывает с течением времени работы по экспо­

ненте.