Файл: Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 42
Скачиваний: 0
Г л а в а 4
ПРОГНОЗИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ДА И ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ
§ 17. ОСНОВНЫЕ МЕТОДЫ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ДА
В ряде случаев возникает необходимость не только определить с заданной точностью уже совершившееся движение, но и предвычислить (спрогозировать) его на определенное время в будущем. Это, вообще говоря, является известной и широко применяющейся первой задачей механики: по известным начальным условиям и ха рактеристикам системы действующих на ДА сил необходимо опреде лить параметры его движения в функции времени или соответствую щие элементы траектории.
При решении задачи прогнозирования движения ДА будем счи тать, что фактическое движение ДА определено с заданной точ ностью с помощью рассмотренных ранее методов. Это означает, что путем соответствующей обработки результатов фактических измерений определены начальные условия для прогнозирования дальнейшего движения ДА, уточнены характеристики действующих на вего сил.
Существующие в настоящее время методы прогнозирования мож но условно разделить на три группы: численные, аналитические и смешанные.
Рассмотрим коротко содержание этих методов.
Численные методы
К группе численных методов относятся все те методы предвычисления параметров движения ДА или элементов его орбиты, кото рые используют численные методы интегрирования систем диффе-
и г
ревциальных уравнений. Рассиотриы основные методы этой группы.
М е т о д |
п р я м о г о |
( о д н о х о д о в о г о ) |
||
и н т е г р и р о в а н и я |
с и с т е м ы |
у р а в н е н и й |
||
|
д в и ж е н и я |
ЛА |
|
Этот метод предусматривает наличие системы дифференциаль ных уравнений и начальных условий движения ЛА в той системе координат, относительно которой необходимо прогнозировать дви жение:
|
|
Р К = Р н ( р к Ас, » Р к 0 > Р к 0 1 * ) > |
|
<259> |
|
где |
рк , |
р к - параметры движения и их производные по време |
|||
ни, |
подлежащие вычислению в функции времени; г> |
, |
I |
- на- |
|
|
|
• К Q |
|
гч Q |
чальные условия для решения системы (259), полученные на осно вании опытных данных.
При этом могут использоваться абсолютные геоцентрические системы координат как прямоугольные, так и цилиндрические. В этом случае, как известно, правые части системы дифференциаль ных уравнений движения записываются наиболее просто [YJ. Одна ко требующийся в ряде случаев пересчет полученных параметров движения в относительные системы координат, связанные с пункта ми наблюдений, требует дополнительных преобразований получен ных параметров.
Если же для прогнозирования используются относительные
А
геоцентрические системы координат, то таких преобразований будет меньше. Правда, в этом случае правые части системы диф ференциальных уравнений движения будут записаны немного слож нее за счет членов, содержащих угловую скорость вращения Зем
ли. Но* как видно из уравнений (224), |
это |
усложнение несуще |
|
ственно. В этом легко убедиться, |
если |
сравнить систему (224) |
|
с той, которая из нее получится |
при |
Q |
= 0. |
Следует также заметить, что системы цилиндрических коорди нат позволяют применить больший шаг интегрирования, что может оказаться важным при больших сроках прогнозирования.
Заметим, что современное состояние вычислительной техники позволяет получить вполне приемлемые результаты с помощью ме
тода прямого численного интегрирования для прогнозирования дви жения на сравнительно небольшие сроки.
и з
Недостатка! этого метода является сравнительно большой расход мапнвого времени и понижение точности расчетов при увеличении сроков прогнозирования.
М е т о д |
и н т е г р и р о в а н и я |
с и с т е м ы |
|
у р а в н е н и й |
о с к у л и р у ю щ и х |
э л е м е н т о в |
|
|
|
о р б и т л |
|
Как известно, оскулирующие элементы орбиты ЛА изменяются по времени значительно медленнее и в меньшей мере, чем пара метры движения. В связи с этим в ряде случаев оказывается вы годным интегрировать численными методами систему уравнений оскулирующих элементов орбиты:
4 i ~ 4 i |
4 i 0 > t ) i 1 = 1, 2 , . . . , 6 , |
(260) |
где , q to~ текущие и начальные значения оскулирующих элементов орбиты а , е , i , со , Q., Z 0 ,
Основные недостатки этого метода подобны недостаткам пре дыдущего метода.
М е т о д |
д в у х ц и к л о в о г о |
|
и н т е г р и р о в а н и я |
|
|
Изменения оскулирующих элементов орбиты, |
как известно, со |
|
стоят из периодических |
и вековых изменений. |
Причем последние |
весьма медленно изменяются. С учетом этого обстоятельства и разработан метод двухциклового интегрирования. На интервале в один виток интегрируется система уравнений движения (259)
или система уравнений оскулирующих элементов (260). Это и со ставляет внутренний цикл. Приращения оскулирующих элементов
за один виток принимаются в качестве производных |
от эле |
||
ментов орбиты |
по числу витков N . Составляется |
система |
|
дифференциальных уравнений |
|
|
|
d 4 i |
= A q i , |
1 = 1 , 2 , |
(261) |
— |
которая и интегрируется во внешнем цикле.
При этом по мере изменения вековых уходов оскулирующих элементов с ростом числа N необходимо снова вычислять пра-
выв части системы (261), для чего прибегают к интегрированию во внутреннем цикле при новых начальных условиях.
Этот метод дает хорошие результаты при долгосрочном прог нозировании. , '
Аналитические методы
Аналитические методы позволяют избежать численного интег рирования систем дифференциальных уравнений, что, как правило, ведет к существенному уменьшению затрат машинного времени на прогнозирование. Рассмотрим основные аналитические методы.
М е т о д ы , о с н о в а н н ы е |
н а |
|
и с п о л ь з о в а н и и |
г и п е р э л л и п т и ч е с к о й |
|
|
т е о р и и |
|
Сущность гиперэллиптической теории движения ЛА, разрабо танной М.Д.Кисликом и др. заключается в том, что гравитацион ное поле эллипсоидальной Земли аппроксимируется таким выраже- . нием, которое допускает интегрирование системы дифференциаль ных уравнений движения ЛА и получение решения в квадратурах:
Р х = р Л Р к 0 , * ) ' |
(262) |
При этом, естественно, существенно уменьшается объем расчетов. Но область применения этих методов ограничена большими высота ми полета, где влиянием атмосферы можно пренебречь. Недостат ком аналитических методов, основанных на гиперэллиптической теории, является также и то, что функции (262), представляющие собой решение, получаются в эллиптических интегралах, что на кладывает дополнительные трудности на проведение расчетов.
Э к с т р а п о л я ц и о н н ы е м е т о д ы
Сущность экстраполяционных методов заключается в том, что на основании траекториях измерений и их обработки с использо ванием методов, изложенных выше, определяются опытные значения элементов орбиты для некоторых моментов времени. По этим дан ным для каждого элемента орбиты строится экстраполирующий по лином, коэффициенты которого находят, используя метод наимень-
115
ших квадратов, как это делалось для сглаживания параметров движения в § 9 . При атом оказывается, что для различных эле ментов орбиты требуются различные степени экстраполирующих полиномов:
а = а 0 + a t ( t - t 0 ) .
|
е = е 0 + |
е , |
{ |
t - t 0 ) |
+гsinе |
со, |
|
|
||
|
^ |
^ 0 9 |
|
|
|
|
|
|
(263) |
|
|
Q = ' Q 0 + Q , ( t - t 0 ) + Q z ( t - t 0 ) f\ |
|
||||||||
|
СО — |
|
|
|
£0) +Ci) 2 ( £ ~ ^ 0 ) ? |
|
||||
|
C 0 ~ |
^ 0 0 + *^01 |
~~ ^ o j |
^ о г |
~ |
? |
|
|||
где |
постоянные |
a |
0 , |
a t |
, e 0 , e |
1еfг , 4о ,Я о, й т, а г ,ь)в,и |1(^,'С00,ТГО1 |
||||
и |
“С0 2 определяются |
на основании обработки траекториях |
изме |
|||||||
рений действительного движения ЛА. |
|
|
|
|||||||
|
Так как |
измеряется |
реальная |
траектория |
движения, то |
при . |
этом учитываются все реально действующие на ЛА силы, что будет способствовать повышению точности прогноза движения.
Машинное время, которое необходимо затратить для выбора коэффициентов в формулах (263), а также для непосредственного предвычисления зависимостей оскулирующих элементов - неболь шое.
Но для того, чтобы указанные коэффициенты были достаточно достоверными и точными, необходимо накопить достаточно большой фактический материал, что существенно увеличивает и время на блюдений и объем расчетов для их обработки.
Смешанные методы
Методы этой группы предусматривают сочетание численного интегрирования систем дифференциальных уравнений с расчетами по аналитическим формулам. При этом численными методами инте грируется система дифференциальных уравнений, описывающих ве ковые изменения элементов орбиты. Правые части этой системы представляют выражения для вековых изменений элементов орбиты, вычисляемые по аналитическим формулам.
При умелой сочетании численных методов с аналитическими в ряде случаев могут быть получены достаточно хорошие резуль таты как по точности и продолжительности прогноза, так и по затратам малинного времени.
§ 18. ОЦЕНКА ТОЧНОСТИ ПРОГНОЗИРОВАНИЯ ДВИЖЕНИЯ ЛА
Во всех случаях прогнозирования движения ЛА отмечалась особая роль начальных условий прогнозируемого движения и ха рактеристик действующих на ЛА сил. Как начальные условия, так и характеристики сил известны с некоторьши ошибками. По этой причине и параметры прогнозируемого движения будут содержать ошибки.
Если не учитывать ошибки проведения вычислений, которая при современном уровне совершенства ЭЦВМ может быть сделана достаточно малой, то ошибку прогнозирования параметров движе ния можно представить в следующем виде:
|
|
e /> « .,= 4 ( e ? J + |
6 ft<(e * |
b |
( г * ) |
где |
брк пр - |
* . 1 , 2 , . . . , 6 , |
к -го |
параметра движения; |
|
ошибка прогнозирования |
|||||
брк( |
( т а |
часть ошибки прогнозирования, |
которая |
обусловле |
на, наличием ошибки-определения начальных условий движения ЛА; 6рк( б я ) - та часть ошибки прогнозирования, которая обусловлена неточным знанием характеристик, действующих на ЛА в полете сил.
Главной причиной ошибки 6рК ( б /Г) является несовершенство математических моделей гравитационного поля и атмосферы Земли. Хотя неточности в знании гравитационных сил относительно неве лики, но при прогнозировании движения ЛА на длительные сроки они приводят к существенным погрешностям прогнозирования. Пара метры атмосферы на больших высотах, как .известно, очень силь но могут отличаться от параметров модели атмосферы, которая ис пользовалась при расчете. И хотя абсолютное значение плотвости при этом невелико, но при длительней! движении ЛА параметры фак тического полета могут сильно отличаться от параметров спрог нозированного движения.
Для того, чтобы оценить ошибку прогнозирования движения ЛА от незнания действующих на него сил, необходимо иметь ве-
117
роятностные оценки отклонений гравитационного поля и атмосфе ры Земли от их характеристик, принятых в расчетах по предвычислевию движения.
Учитывая малость влияния этих отклонений, можно записать,
что
® |
* ^ - & Г , и ч<+ f t / * " ' ' |
<265) |
где 6 R gp , S R Q3- |
характеристики средних на рассматриваемом |
участке движения ЛА отклонений соответственно гравитационной и аэродинамической сил от их эначений, принятых в модели дви
жения: -зтг- |
, |
оКаэр |
- частные производные |
от параметров |
дви- |
оК гр |
|
|
|
|
|
жения по характеристикам соответственно гравитационной и аэро |
|||||
динамической |
сил. |
что величина 6 R zp |
|
|
|
Следует |
заметить, |
зависит только |
от |
положения ЛА относительно Земли или других притягивающих цен тров. От времени эта величина практически не зависит.
Что же касается отклонения характеристики аэродинамических сил, вызванной отклонением параметров атмосферы, то она су щественно зависит не только от положения ЛА относительно Зем ли, но и от времени непосредственно. Известно, что плотность атмосферы зависит существенно от солнечной активности, от вре мени суток и тому подобных мало исследованных явлений.
Все указанное затрудняет достаточно надежную оценку ошиб ки прогнозирования, обусловленной незнанием действующих на ЛА сил.
Оценку ошибки прогнозирования параметров движения ЛА за счет наличия ошибок в определении начальных, условий можно вы полнить 'более надежно. Так как известны зависимости параметров движения от начальных условий и времени
Рк ~ Р к О » k , l = 1, 2 , . . . , 6 , (266)
то легко можно получить матрицу частных производных от парат
метров движения |
р н по |
начальна: условиям q , |
|
|
|
Г дРг |
др, |
|
|
Й |
4 , 0 |
дЦго |
д<1ео |
(267) |
= |
|
|
|
Зрв
^ 4 , 0
дрБ
О СМ *сз!
д р е
4 в о Л