Файл: Шмыголь С.С. Определение и прогнозирование движения центра масс летательного аппарата по результатам траекторных измерений.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 44
Скачиваний: 0
107
В том случав, когда в алгоритме определения элементов тра ектории используется нормированная корреляционная матрица оши бок измерений, составленная из коэффициентов корреляции, сред неквадратические ошибки определяемых элементов траектории мож но вычислить по формуле
|
|
= |
5 о У о 7 ь , |
|
|
(247> |
где Qu - |
диагональные |
элементы матрицы [ jj] ,обратной матрице |
||||
коэффициентов основной |
[б] |
(или нормальной) |
систем |
уравне |
||
ний для определения элементов траектории; <э0- |
среднеквадра |
|||||
тическая ошибка измерения, имеющего вес, равный единице. |
||||||
Опенка среднеквадратического отклонения |
6 о |
|
||||
На рис.39 пунктиром показана истинная траектория движе |
||||||
ния ЛА. Предположим, что в моменты времени |
£ f |
, где |
f = |
|||
= 1 , 2 , . . . , |
N , летательный аппарат находился |
соответственно в |
||||
точках A f |
ucm.B соответствии |
с измерениями |
|
, выполненны |
||
ми в те же моменты времени положение ЛА изображается точками
А ^ ,
Рис.39. К оценке среднего квадратического отклонения
|
Истинные ошибки измерений 6 |
r f представляют |
собой разно |
сти |
истинных ( ^ ист) к измеренных |
( r f ) значений |
соответствую |
щих |
параметров: |
|
|
(248)
f ист
108
Нанесем сплошной линией на рис.39 траекторию движения, рас считанную по вычисленным (с помощью рассмотренных выше алгорит мов) элементам тректории . Так как она получена путем об работки результатов опыта (измерений), то назовем ее опытной. В общем случае опытная траектория не совпадает с истинной, так как найденные нами элементы траектории содержат ошибки, обусловленные как ошибками измерений, так и погрешностями ме тода их учета.
По этой причине расчетные значения измеряемых параметров
Гр = Гр {q.t ) |
будут |
отличаться |
как от измеренных |
( r f ) |
» так |
||
и от истинных их значений (г, |
): |
|
|
||||
|
|
v |
f и с т / |
|
|
|
|
|
|
A r f |
= r |
p |
- r f . |
|
(249) |
Отклонение |
A r f , |
как видно из рис.39, помимо истинной |
|||||
ошибки измерений б'г-р |
содержит |
|
также ошибку 6 r f , |
обусловлен |
|||
ную неточностями вычисленных ранее элементов траектории |
q t : |
||||||
|
A r f = |
6 r f |
+ |
8 Гр . |
|
(250) |
|
Так как истинные значения ошибок определения элементов тра ектории неизвестны, то задаются некоторой упрощенной гипотезой
об ошибках измерений. Одной из таких гипотез является нормиро |
||||
ванная корреляционная матрица |
р |
. |
Но в этом |
случае, как ука |
зывалось ранее, необходимо в |
процессе |
обработки |
измерений опре |
|
делять |
среднее квадратическое отклонение некоторого фиктивного |
||
измерения, вес которого принимается |
за единицу. |
|
|
Величина б 0 характеризует меру |
разброса измерений |
относи |
|
тельно |
траектории, определяемой элементами движения |
, по |
|
лученными в результате обработки избыточных траекториях изме рений с использованием уравнений движения ЛА.
С целью определения q 0 в процессе обработки измерений введем в рассмотрение величину ftp , определяемую соотношением
‘2 si>
где 6 ^ - поправки к элементам траектории, полученные при ре шении основной или нормальной систем уравнений.
Для получения формульной зависимости, предназначенной для
вычисления б 0 , рассматривается выражение |
|
|
N |
(252) |
|
7 |
||
|
109
которое с учетом соотношения (251) может быть представлено в виде
И Pf V f $ F = |
£ /> |
Е Е Qfi a fk |
6 q |
6 q k - |
|
||
f=t |
|
|
1=1 |
k=l |
|
u |
|
- |
2 E |
a n |
|
A rf2 |
|
|
(253) |
где |
|
|
|
|
|
|
|
a n - |
fly |
’ |
° f k ~ |
~dqk ’ |
i, |
к - |
л . |
Определяя математические ожидания и корреляционные момен ты случайных величин, входящих в правые части соотношения (253), и выполняя ряд преобразований с привлечением соотношений, при веденных в алгоритме обработки измерений, можно получить сле дующую зависимость для оценки среднеквадратического отклонения:
|
|
7 |
Е |
P f & f t i f |
o,s |
||
е 0 = |
|
t |
|||||
|
N - п' |
f = l r |
r |
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
n ' = |
Е Я f |
I |
tff l E |
|
a - i K p f k ■ ' |
|
|
|
f= i |
i= \ |
k=i |
|
|
|
(254)
(255)
Вычисление величины n ' по этой формуле не представляет принципиальных трудностей. При вычислении же числителя в фор муле для б 0 появляется трудность, связанная с невозможностью определения при ограниченном объеме измерений точного значения математического ожидания произведения ) = {ff Поэто му при практическом использовании формулы (254) оно заменяется простым произведением этих величин:
^ ^ ^ ^ |
Е p f |
% = Е |
р Д Е a f l Acir Arf ) \ (256) |
т —1 |
* ~ |
‘ |
где Дд - поправки к элементам траектории, получаемые после решения.основной системы уравнений.
В случае применения метода наименьших квадратов, когда в алгоритме определения элементов траектории используется гипо теза о независимости измерений с нормальным распределением их
н о
ошибок, uozEO показать, что в этой случав тройная сунна в вы ражении (255) равна числу определяемых элементов траектории
п 1= п .
Средняя квадратическая ошибка единицы веса неравноточных независимых измерений, как это следует из формул (254), (255) при л ' = п , может быть вычислена по формуле
б о |
' 7 |
|
£ /V Д |
0,5 |
(257) |
N - |
П |
1 |
|||
|
|
|
|
где величины Д гу определяются в каждом приближении как раз ности фактических и расчетных значений измеряемых параметров.
После выполнения последнего уточнения элементов траектории в величину . б 0 необходимо внести поправку, обусловленную сме щением расчетных значений измеряемых параметров за счет ошибок определения элементов траектории. С учетоы этого для оценки
ошибки единицы веса |
б 0 |
при определении'элементов траектории |
|||||
методом наименьших квадратов |
[5] можно получить формулу |
||||||
б о = |
7 |
/ Д |
п |
л !0”5’. |
(258) |
||
N - |
|||||||
П |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|||
Определяя величину |
б 0 |
в каждом приближении и используя |
|||||
формулу (247), можно оценивать точность определения элементов
траектории б ~ |
в процессе решения задачи. |
>£ |
|
