Файл: Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 52
Скачиваний: 0
Это так называемая единичная |
решетчатая функция |
(фиг. 61). Применим формулу (124), |
полагаяв ней k—\ и |
д°Д0] = /[0] = 1;
тогда получаем
(130)
В этом случае абсцисса сходимости равна % = 0.
Ф) 3
/--т-т—г-т~Т- т—
0 13 3^56 п
Фиг. 61.
2- f[л] = 1и[п] = 1[/г] — 1[д — 1] — единичный импульс (фиг. 62). На основании теоремы линейности и теоремы^ за паздывания имеем
D[1„H} = Г>(1[п]} -e-^O{l[n]} =
—— -----—— — 1(а0 — 0), |
(131) |
|
— 1 |
eQ — 1 |
|
то есть изображение единичного импульса есть постоянная,
равная единице.
3.f[n] = еап (фиг. 63).
Воспользовавшись изображением 1[п] и теоремой смещения,, получаем
О(г-»} = О|е™-1И}=-^-=-^. (132>
4.f[n]—neM.
ST
Применяя теорему о)дифференцирбВанздио параметрук функции еап, получаем
°{Я>* = ОИ- |
аа \e e |
||
( |
da |
) |
|
|
_ |
|
еч.^ |
|
|
|
(133) |
(e9—ea)f
На стр. 92—93 приведена таблица изображений решетча тых функций, дополняющая соотношения, приведенные здесь. Как нетрудно видеть, изображения ступенчатых функций яв* ляются функциями не просто q, a eq
Желая подчернуть это свойство и одновременно сохранить символику обычного преобразования Лапласа, мы изображе ния решетчатых функцией снабжаем .*значком
Нахождение оригинала по изображению.
В общем виде изображение может быть представлено в ви де дробно-рациональной функции
|
|
(q)=*F |
*G (q) |
, |
|
(134) |
|
|
|
|
|
и степень |
v |
’ |
|
где Н* (q) и (q)*G |
суть полиномы по eq |
*И (q) |
|||||
не выше степени (<?)*G . |
|
|
|
|
|
||
Формулы разложения. |
полюсов [эти I |
|
|
|
|||
Пусть F(q)* |
имеет I |
полюсов |
являют |
||||
ся корнями уравнения *(q)G |
—О]1. |
|
|
|
|
||
1 В последнем случат имеются в виду полюсы q4, 'лежащие в по
лосе — тс < Imq > я. Эти полюсы мы назовем основными. Все остальные полюсы (их бесчисленное множество) имеют мнимую часть, отличающуюся
от мнимой части основных полюсов на 2тс/п, где т — любое целое число, отличное от нуля.
88
Тогда *(q)F |
можно представить |
в |
виде |
||
|
*(q)=F |
Н* |
(?) _ у |
с- |
|
|
*G |
(?) |
»-1 еч — е«’ |
||
|
|
||||
если полагать, что среди |
корней уравнения 0*(<?)-«вО крат |
||||
ких корней и корней, равных нулю, нет. Для определения c,(v = 1, 2,..., /) умножим обе части равенства на еч* ^еч
и полагая д = д^, то есть еч = еЧ, получаем
При |
д — д^ |
*G(^| |
1) = 0. Раскрывая |
неопределитель- |
|||||
ностб, |
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
^(* |
и) |
==^(?1х) |
|
(135) |
||
|
|
|
dG(q)* |
' |
|
(?*О |
и j ’ |
||
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
de4 |
J?-?)». |
|
|
|
|
|
где точка над *G |
означает |
дифёренцирование по |
еч. Таким |
||||||
образом, разложение принимает вид |
|
|
|
|
|||||
|
*Н( |
?) = у *(?Я у) |
|
1 |
|
|
(136) |
||
|
с* |
(л) |
Zj g(?„)* |
eq _еуГ» |
|
||||
|
|
|
|||||||
Замечая, что1 |
1 |
|
еч |
п |
|
? |
<л-1) |
|
|
|
|
|
v |
|
|||||
|
------------—.------------- |
== g |
|
, |
|
||||
|
еЧ — ё' |
еЧ — ё1'' |
|
|
|
|
|
||
получаем, переходя |
от изображения |
к |
оригиналу, |
|
|||||
|
|
дп] = V .. |
|
Лл |
|
(137> |
|||
|
|
|
V—1 |
|
|
|
|
|
|
Рассмотрим еще важный случай, когда *F(q) |
имеет по |
||||||||
люс q—0- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
F^g)==^)._^-----. |
|
|
(138> |
|||||
|
|
|
G*(g) |
|
еч—l |
|
|
|
|
1 См. таблицу оригиналов и изображений на стр. 92; здесь использо |
|||||||||
вана теорема сдвига. |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8»
В этом |
случае, пользуясь формулой (1^6), получаем |
|||||||||
(Н*у) |
|
|
е9__ у |
|
) |
_______ е9______ |
(139) |
|||
G*(q) |
|
е9 — 1 |
|
*G(q, |
) |
(«?7-/»)(<??—1) |
* |
|||
Замечая, |
что* |
|
|
|
|
|
7 |
о |
|
|
__ е9_______ ___ |
1 |
( |
е9________ е9 |
|
||||||
|
|
|
—1) . |
1—/ф17—1 |
е9 — е<7, |°* |
|
||||
|
|
|
|
|
Ч- (1 -г’.") |
|
|
|
||
|
|
|
|
1 — е |
• |
|
|
|
|
|
и, переходя |
от изображения к оригиналу, получаем |
|||||||||
|
|
V—1 |
|
|
|
1 |
|
/ |
|
|
Полагая в |
формуле (118) q — 0, |
имеем |
|
|
||||||
|
|
|
/7*(0) |
у |
|
*(1Н Ч) |
|
|
|
|
|
|
|
(0)*G |
V—1 |
(^* -1)с 7< ) |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Следовательно, |
окончательно |
|
|
|
|
|||||
|
Пд[ = gWL + у |
|
> |
е-л |
(Ш) |
|||||
|
1 |
1 |
*G(0) |
1 |
|
(Л—l)G*fa, |
) |
|
V 7 |
|
|
|
|
|
|
V = 1 |
|
|
|
|
|
Последняя формула является аналогом хорошо известной
формулы Хейвисайда.
Аналогичным образом можно получить формулы разло жения в том случае, когда имеются кратные корни, чисто мнимые корни и т. д. Мы этих случаев здесь не будем рас
сматривать (часть из них приведена в таблице оригиналов и изображений).
Интегрированием в пределах от о—/л |
до cr-j-pt выражения |
|||
(ПО) можно показать, что имеет |
место |
формула обращения |
||
|
Co-l/lt |
|
|
|
f[n]=D-'{5*(9)} = |
(q)*F -e |
9ndq. |
(142) |
|
1 См. таблицу оригиналов и изображений на стр. |
92. |
|
||
90
Формула обращения (142) для решетчатых функций яв ляется аналогом формулы обращения в обычном преобразовав нии Лапласа и решает задачу о нахождении оригинала по изображению в общем виде.
Пользуясь формулой обращения и привлекая теорию выче тов нетрудно из нее получить приведенные выше формулы раз ложения аналогично тому, как это сделано в теории преобра зования Лапласа.
Обладая специфическими особенностями, дискретное пре образование Лапласа применимо для описания и исследова ния систем импульсного регулирования почти с той же лег костью, с которой применимо обычное преобразование Лапла
са для исследования систем непрерывного регулирования.
8
Соответствие между оригиналами и
Оригинал
Ж =»
=Z)*(7))-i|F
Iм
п
п3
Изображение
1
е?
еЧ- 1
еч
И-1?
еч
(eV — I)3
Таблица
изображениями дискретном преобразовании Лапласа
Оригинал |
Изображение |
|
f[л] = (g)}*D-'{F |
F*( 7J=D{/[n]} |
|
Sinwn |
еЧ sin <о |
|
2а |
— |
|
|
е ч—2^cos |
о» + 1 |
^п-^п\ |
_______еЧ_______ _ |
|
|
|
|
J— (1 - еа”) |
_______ еЧ________ |
|
1—ея |
(еч—1)(еЧ~еа ) |
|
у _” |
*(G V) |
|
e4->G\q4) |
|
|
Оригинал Д«] =
еЛп
пе<п-^
пге а(л-1)
g/шл
СОЗШЛ
Изображение
*F ^) = D(f[n]}
ei
еЧ-ел
еЧ
(еЧ — еа)
eq i
----------- (еЧ -|- ее) (еЧ — ev
еЧ
еЧ - е'"
(еЧ — cos ш) еЧ
е2Ч—2еЧ cos ш + 1
Оригинал f[л] - 0-1 *(F(g)}
Я^О)
G* (0) +
у нЧяч) V
V-1
e7Zn ,
GCW*
У______ еЧ“
2-i (е?’ —*^,e/oOG )
•у — 1
Продолжение
Изображение
F(* ?) = О {/[«]}
И* (q) еЧ
G* (q) еЧ — 1
Н(*д) еЧ
*G (?) еч—е^
<0 |
Примечание. Точка над G* означает производную G* по е%. |
