Файл: Цыпкин Я.З. Лекции по теории автоматического регулирования. Элементы теории импульсного регулирования.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 51
Скачиваний: 0
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Решетчатые функции и дискретное преобразование
Лапласа
Решетчатой функцией называется функция, значения кото
рой изменяются |
только при целых значениях |
аргумента |
(п=0, 1, 2, ...), |
(фиг. 60). Будем обозначать |
решетчатую |
функцию символом Дп] и предполагать, что решетчатая функ ция тождественно равна нулю при отрицательных зачениях аргумента.
Рассмотрим ряд
|
ОО |
|
(ио) |
|
и—0 |
где |
<7=о-}-/й) — комплекс |
ное число. Нетрудно пока зать, что существует такое число по, называемое аб сциссой сходимости, что ряд
(ПО) wабсолютно сходится
при Re (7=(г>(То, и расходится при Re <7=(Т<(То. Очевидно, что абсциссой сходимости для решетчатой функции, удовлет воряющей условию
№]1 <Ме' , |
(111) |
где М и tri — постоянные числа, независящие |
от п, будет |
сго^>сг1. Соотношение (НО) устанавливает соответствие между решетчатой функцией Дп], называемой оригиналом и функцией
комплексного переменного F(q),* |
называемой изображением. |
|||
решетчатой функции |
Это соответствие |
будем |
кратко за |
|
писывать в виде |
|
|
|
|
(<7)^* |
= £>№]} или (^*F |
/[л] |
(112) |
|
6—1869 |
|
|
|
81 |
Преобразование решетчатых функций, определяемое со отношением (110), назовем дискретным преобразованием Лапласа.
Рассмотрим основные свойства дискретного преобразова
ния |
Лапласа. |
|
|
|
|
/. |
Теорема линейности |
|
|
||
|
|
н |
и- |
р- |
|
|
|
|
|
|
(113) |
|
|
|
|
1 |
|
где |
F* |
(9)% |
и а^ — постоянные. |
|
|
|
I |
теорема непосредственно |
вытекает из |
определения |
|
Эта |
|||||
дискретного преобразования Лапласа (ИО). |
|
||||
2. |
Теорема сдвига |
k—I |
|
||
|
|
Одп-И]} = e<*(q){F |
(114) |
||
|
|
- £ e~Qnf[n]}. |
|||
|
|
|
|
л—о |
|
|
|
Я(/[я-Л]}=Г’Л(<7)Г* . |
(115) |
||
По определению |
(ПО) |
|
|
||
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
= S e-^fln + k]. |
|
|
|
|
|
л-0 |
|
|
полагая n^=n-\-k и, |
значит, п=П\—k, имеем |
|
|||
|
|
D(/|n+4]|=f е |
*>Дя,] = |
|
|
|
|
|
л-0 |
|
|
ft—1
- £ e~qn'f\^
'~п!—0
Первая сумма в правой части последнего равенства равна
*(q)F . |
Меняя во второй сумме n-t |
на п, получаем формулу |
(114). Аналогичным образом |
|
|
|
ОО |
ОО |
|
= S е"""/[«-4=S |
|
|
л—0 |
л—й |
так |
как f[n—Л]==0 при п<Л |
|
82
Полагая Теперь |
п—k—щ и, значит, п=П14-&, имеем |
|
||||||||
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л1»0* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
е~9Л7к1] = е“?**(?)/= . |
|
|
||||
|
|
|
л,=0 |
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Теорема смещения |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
D\e f[n]\ |
= (qF* |
+ а.). |
|
|
||||
Из определения (110) |
следует |
|
|
|
|
|||||
D{e±“nf[^]}=S |
е~ЧП(.е±'ПКп])=% ^^/[nj^F^qTa) |
|
||||||||
|
п—о |
|
л=0 |
|
|
|
|
(116) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Теорема о |
дифференцировании |
по |
параметру |
|
|||||
|
|
D [ |
rffftt.X] |
) |
_ dF*(q,k) |
|
ц7- |
|||
|
|
|
t |
dk |
J |
Л |
|
|
V |
' |
следует непосредственно из теоремы линейности. |
|
|
||||||||
5. |
Теорема умножения решетчатой функции на |
пк |
|
|||||||
|
|
|
|
= (- |
|
|
■ |
(US) |
||
Дифференцируя |
обе части |
равенства |
(ПО) k |
раз по |
q, |
|||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ОО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
л—0 |
|
|
|
|
|
|
откуда следует равенство (118). |
|
|
|
|
||||||
6. |
Теорема свертывания |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
' п |
|
|
|
|
о £/,[»- |
|
|
=D S л [^1/а ]«— |
|
|
|||||
|
m—0 |
|
|
|
|
т—0 |
|
|
|
|
= D{fl{n]}D{f2[n]} = ri*{q)F 2(q).
6* |
83 |
Умножая равенство (110) |
на F2*(<7) , имеем |
|
|||
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
= £ e~4mF2{q)fx{ni\. |
|
|
|
|
|
m=0 |
|
|
Но, согласно теореме сдвига, |
|
||||
е |
о |
|0 |
при п <, т |
|
|
F2(q)° |
*{/гР —пг\ при п. > т |
|
|||
Следовательно, |
|
|
|
|
|
rx |
|
(q)F*2(q)°+ Уп} ft [т\ f2[n - т]. |
(119) |
||
|
|
|
т—в |
|
|
Полагая п—т=т^ и, значит, т—п—ти получаем |
|||||
|
|
|
п |
|
(120) |
F, |
|
|
У /,[„ _ mjf, [mJ; |
||
|
|
|
m-0 |
|
|
последние соотношения и доказывают теорему |
свертывания. |
||||
7. Изображение разностей |
|
||||
D{A/[n]} = (е« — l)f*(?) — ^/[0]. |
(121) |
||||
Дп*£>{]}Д |
= (е« - \)k{q)F* |
*-i |
Д’/[0]. |
||
-е^{еч - |
|||||
Разности (фиг. 59) |
|
|
(122) |
||
|
|
|
|||
ДД/г] = f[n + 1] - f[n]; |
ДVt«l = Afe-7k+l] “ |
||||
|
|
|
|
|
(123) |
по отношению к решетчатой функции играют ту же роль, что и производные по отношению к непрерывной функции. При меняя к первой из формул (123) дискретное преобразование Лапласа, получим
£>{д/(л)} = О(/[» + 11} - £>№]} = Одл + 11} - f(»)■
Согласно теореме сдвига
D{f[п 4- 1]} = еч (q)F* — e«f [0];
i Здесь *Д ДО] = f [0].
84
следовательно, после подстановки в предыдущее соотношение
получаем формулу (121):
£>{!/[«]} = (е« - *(<7)1)F - ^[0].
Аналогичным образом
W} = D{ДДД«]} =
= (еч — 1 )£>{Д/[п]} — е’Д/[0].
Воспользовавшись соотношением (121), получаем
£>{Д7[п]} = (е?- (^*1)2F-
— еЧ{еч — 1)/[0] — е?Д/[0].
Продолжая далее указанный процесс, приходим к выра жению (122).
Разрешая выражение (122) относительно (q}F* , получим
формулу, которая очень удобна для нахождения изображений различных решетчатых функций:
Л—1
Xе 1) S <«’ -+
v-0
+ |
|
(124) |
|
8. Предельные |
значения решетчатой |
функции1 |
|
lim /[n] = lim |
— 1V*(7) |
(125) |
|
л-оо |
q—О'' |
' |
|
|
limf[n\ = lim F*(q} |
(126) |
|
|
л-O |
fl-00 |
|
Рассмотрим
ОО
о(чм«’’a/w-
л-0
— (e9 — (<7)1)F* |
— |
(127) |
i Если lim f[л] существует.
/Г" |
ss- |
|
При q ■-* |
0 имеем |
|
|
|
£ Д/[/г] = |
- (^)1)F* |
-е’/[ОЦ. |
|
л—О |
|
|
Но |
“ |
“ |
|
|
2д/[«]=£№ + 11-/[«]1 = |
||
|
л-0 |
л-0 |
|
|
|
= lim Д/г] — ДО]. |
|
Следовательно |
л-»оо |
|
|
|
|
||
|
lim Д/г] - ДО] = lim(^ - l)F*(q) - /[О], |
||
|
л-оо |
q-0 |
|
откуда по |
сокращению ДО] следует формула (125). Рассмот |
||
рим снова формулу (127), умножив предварительно обе части равенства на е~ч
п |
f e~q(n+'}Д/г] = (1 - e~q )F*(q) |
~ /[0]. |
|
||||
л=0 |
оо сумма, стоящая |
/»««•< |
части этого |
равен |
|||
При q •-* |
|
в яраэеи |
|||||
ства, равна |
нулю, и, следовательно, |
|
|
||||
|
|
f[0] = lim(l— е |
4}F*(q)==\\m F*(q}. |
|
|||
|
|
|
q^CQ |
|
q-co |
|
|
9. |
Сумма дискретных значений решетчатой функции. |
||||||
Пусть lim Д/г]=О; тогда сумма дискретных значений решет |
|||||||
чатой функции (фиг. 59) равна |
а |
|
|
||||
|
|
|
£=/=*(0). |
|
(128) |
||
Действительно, полагая |
в |
основном |
соотношении |
(ИО) |
|||
<7=0, |
получаем |
|
|
|
|
||
|
|
|
00 |
|
|
|
(129} |
|
|
|
£f[n] = F*(0) = S. |
|
|||
|
|
|
л—О |
|
|
|
|
S определяет площадь соответствующей ступенчатой функтйти |
|||||||
Найдем |
изображения некоторых решетчатых функций: |
||||||
О при /г < О
1. f[л] = 1[/г] =
1 при /г > 0.
83
