Файл: Специальные вопросы строительной теплофизики учебное пособие..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 60
Скачиваний: 0
А. Процесс передачи тепла в однородном массиве вокруг сфе рической полости
dt(r. z) |
d2t(z, z) J |
2_ |
dt(r, z) |
|
~1ьГ~ |
dr2 |
Г |
r |
dr |
5 0 |
Z |
00 ; |
OC * |
|
|
(iv.l)
где t(r,z) — температура |
в произвольной точке массива |
к моменту |
|
времени, z\ |
пространства около полости, |
измеряемая |
|
r — координата |
|||
от центра последней; |
|
|
|
г — текущее время; |
|
|
|
a — коэффициент температуропроводности массива, опреде |
|||
ляемый из зависимости |
|
|
|
|
\ |
ЛГ |
(IV.2) |
|
а = — |
час |
|
|
Тс |
|
|
Б. Процесс теплообмена между жидкостью, имеющей постоян ную температуру tB, и поверхностью массива, происходящий с преодолением термического сопротивления R, описывается форму лой граничного условия 3-го рода (закон теплообмена Ньютона)
= H[tB- t(r,z), |
] ; ( t B= const). |
(IV.3) |
дг |г=*0 |
U *0 |
|
В равенстве (IV.3) величина Н определяется из соотношения
Н ---- (м -1). |
(IV.4) |
R1 |
|
В некоторых работах эту величину называют коэффициентом относительной теплопроводности.
В. Начальное условие, определяющее характер температурно го поля в массиве перед началом теплообмена
t (г, г)\г=0 |
(z?H= const). |
(IV.5) |
Решение уравнения (IV. 1) при граничном условии (IV.3) и на чальном условии (IV.5) содержится в работе [9] автора и имеет следующий вид:
|
t (г, z) = tH+ |
tBRn2H |
erfc |
г — R о |
|
т н + \ ) г |
2 ]Лaz |
||
|
|
|
||
е |
|
г — Rn |
aZ (HR0+ l ) } \ . (IV.6) |
|
|
erfc |
|||
|
|
2 V az |
R> |
|
48
Функция erfcx определяется следующими соотношениями:
erfc х
— e r f х ; e r f ( х ) |
2 |
Г |
• ^ |
г__\ |
e~a'do., |
||
|
V « |
J |
|
|
|
о |
|
где х — независимый параметр; а — переменная интегрирования.
Функция erf х представляет собой интеграл ошибок Гаусса, ко торый вычислен в достаточно большом диапазоне изменения аргу мента х. В частности, пятизначные таблицы названной функции со держатся в справочнике [10].
Решение (IV.6) для температурной функции t(r,z) можно пред ставить в более удобном для расчетов виде, положив tH= 0 и введя обозначения:
HRa= Bi — которое представляет собой критерий Био;
— = т — представляет собой относительную координату прост
ранства;
— представляет собой критерий Фурье.
#о2
С учетом этих обозначений получим для относительного изме нения температуры в массиве такую зависимость:
Q(r.z) |
t (г, z) |
---- —------( erfc |
m — \ |
\ |
|
|
t* |
|
|
|
|||
|
tn (B i+ 1) ( |
W K |
) |
|
||
— £?(m—l){5i+1)+^0 (Bi+l)2 |
m — 1 |
Fo {Bi+\) |
(IV.7) |
|||
у |
||||||
|
|
. |
2 1 / t o |
|
|
Г |
Из формулы |
(IV.7) |
следует, |
что относительное изменение тем |
|||
пературы 0 (г, |
2) в произвольной точке |
массива, |
окружающего |
|||
сферическую полость, является функцией трех названных выше безразмерных величин, две из которых являются известными в тео рии теплопроводности критериями гомохронности (Фурье) и гра ничных условий (Био). Кроме того, из упомянутой зависимости (IV.7) следует, что искомая величина © (г, z) может изменяться в
пределах O<[0(r, 2)<f 1, |
оставаясь при любых значениях опре |
деляющих величин меньше единицы. |
|
Формула (IV.7) является |
основной расчетной зависимостью. |
В некоторых случаях, в частности для расчета температуры по
верхности массива, |
находящейся под |
слоем тепловой изоляции, |
|||
удобнее применять другую формулу, |
получаемую из зависимости |
||||
(IV.7), если положить в последней т = 1 |
|||||
е(Я„,г) |
*(#o.z) |
Bi |
1 — eFoФ'+Ф erfc [ У Fo {Bi -f- 1)] j . |
||
tв |
Bi + 1 |
||||
|
|
|
|||
(IV.8)
З а к . 434 |
49 |
При использовании расчетных формул (IV.7), (IV.8) следует иметь в виду, что в них учитывается начальная температура ^непо следовательно, при tu—Ь в результаты расчета необходимо вво дить поправку на величину ts, которая прибавляется к результату, расчета со своим знаком.
В связи с тем, что в большинстве практических случаев прихо дится иметь дело не со сферическими полостями, а с полостями других очертаний, ниже приводятся расчетные зависимости, кото рые могут быть использованы для корректировки результатов рас чета, выполненного по упомянутым выше формулам (IV.7), (IV.8).
Если теплообмен происходит в достаточно длинной цилиндри ческой полости с радиусом поверхности Ro, у которой можно пре небречь влиянием теплообмена по торцам, то такая задача матема
тически формулируется следующими зависимостями: |
|
|||||||||
dt (г, z) |
д3 |
t (г, z) |
1 |
dt(r, z) |
; |
Rb |
r < oo; 0 < |
2 < oo; |
||
|
|
дг2 |
|
г |
dr |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
(IV 9) |
|||
|
dt(r, z) |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
t{r, 2)]jr_/?u ; |
(7B— const); |
(IV. 10) |
|||||
|
дг |
r = R „ |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
t ( r , |
Z) |2=0 |
V„; |
(tn = const). |
(IV. 11) |
||||
Решением этой задачи является функция |
|
|
||||||||
где |
t (г, z) = |
tH+ (tB- *„)• Фх(т, Bi, |
Fo), |
(IV.12) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
( |
[ Y0 (xm) [/„ (x) + ~ |
Ix(x) |
|
||||
‘I-1! (in, Bi, Fo) |
1 |
( |
l |
|
|
Bi |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
tv |
|
Io(x) + — |
I1{x ) |
|
|||
|
|
|
|
|
|
Bi |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
—/ 0 (хт) |
П ( х ) + | 7 У] (х) |
| (1 — e-*lfo) |
|
||||||
|
|
|
|
Bi |
|
|
2 |
|
dx. |
(IV. 13) |
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
Bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В последнем выражении |
функции (Бесселевы функции) дей |
|||||||||
IoJu r0, |
Y i - цилиндрические |
|||||||||
|
ствительного аргумента нулевого и первого порядка; |
|||||||||
т, Bi, Fo — упомянутые выше безразмерные аргументы; |
|
|||||||||
|
х — переменная |
интегрирования. |
|
|
|
|||||
Приведенное решение содержится в работе автора [9] и в ряде других работ, например [11]; [12]. В связи с тем, что функция вида
(IV. 13) |
представляет |
собой сложную математическую зависи |
мость, |
ее вычисление |
пока не выполнено, вследствие чего расчет |
50
температурного поля по формуле (IV.12) невозможен. Однако из
формулы |
(IV. 13) можно |
получить |
некоторый материал, |
которым |
||
полезно воспользоваться |
при |
выполнении практических расчетов. |
||||
|
f |
формулу |
(IV. 12) можно привести к сле- |
|||
Положив т = — = 1, |
||||||
|
Ro |
|
|
|
|
|
дующему виду: |
|
|
|
|
|
|
|
Q(R„ z) |
t (До. z) |
|
|||
|
|
|
|
|||
|
ОЭ |
|
1 —б“ '2ро |
dx |
||
|
г% |
|
||||
Bi тс2 |
/0(х) + - — |
(х) |
|
Yn(x)+ — YAx) |
|
|
|
Bi |
|
|
Bi |
|
|
|
|
|
|
|
|
(IV.14) |
Согласно последней зависимости, аналогично результату (IV.8), относительное изменение температуры на поверхности полости,
при нулевой начальной температуре, является функцией критериев
Био и Фурье. |
В работах [9, |
11] приведены графики температурной |
||||
функции, представленной в правой части равенства |
(IV. 14), по ко |
|||||
торым составлена |
номограмма в пределах |
0,01 < |
В° |
10, |
||
0,1 < 5 / < 1 5 |
(рис. |
13). |
выполненные по формулам |
(IV.7), |
||
Таким образом, |
расчеты, |
|||||
(IV.8) для сферической полости, можно по необходимости сопо ставить с результатами теплообмена, подсчитанными для поверх-
4* |
51 |
