Файл: Специальные вопросы строительной теплофизики учебное пособие..pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 04.04.2024
Просмотров: 61
Скачиваний: 0
ности цилиндрической полости согласно зависимости (IV. 14) с по мощью номограммы рис. 13.
Процесс распространения тепла в полуограниченном, изолиро
ванном |
по боковой |
поверхности |
стержне, |
торцовая поверхность |
||||||
(х=0) |
которого по описанной выше схеме обменивается теплом со |
|||||||||
средой |
постоянной |
температуры, |
математически |
формулируется |
||||||
следующими зависимостями: |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
dt (х, z) |
d'2t(x, z) |
; 0 < |
X < оо ; 0 < |
2 < |
(IV.15) |
||||
|
~ д г |
---- -- — |
||||||||
|
дх2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
dt (x, z) |
H [tB— t (x, *)]|*=o ; |
tB= const, |
(IV. 16) |
|||||
|
|
dx |
||||||||
|
|
|jr=0 |
|
|
|
|
|
|
(IV. 17) |
|
|
|
|
t (x, z)|2=0 = tH; |
ta = const. |
|
|
||||
Решение этой задачи, известное в математической физике как |
||||||||||
решение Римана, имеет следующий вид: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
t (х, z) = |
t„ + (tB— tu) X |
|
|
|
|||
X |
erfc- |
x |
„ , |
, |
/ |
X |
+ H у |
az |
(IV.18) |
|
2 Y clz |
—eHx+azH1erfc |
|
2 Y az |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Заметим, что зависимость (IV.18) может быть получена ц из |
||||||||||
конечного результата решения для |
сферической |
полости |
(IV.6) |
|||||||
предельным переходом для t |
(г, |
z) |
при |
г-^ со. |
Совпадение ре |
|||||
зультатов объясняется тем, что процесс распространения тепла в полуограниченном, изолированном по боковой поверхности стерж не аналогичен процессу линейного распространения тепла в полу пространстве, которое можно представить в виде бесконечно про тяженного тела со сферической полостью бесконечно большого радиуса.
Для удобства выполнения расчетов формулу (IV. 18) можно представить в виде безразмерной функции изменения относительной температуры в произвольных точках пространства, аргументами
которой являются: |
|
|
|
|
|
х — координата длины (м)\ |
|
|
|||
az = ср— аналог критерия Фурье (м2); |
теплопроводности (лг-1). |
||||
Н — |
коэффициент |
относительной |
|||
9(х, 2)= |
.. = |
erfc — |
£ = - - еНх+ ^ 2erfc / — |
+ И Y V ) - |
|
|
U |
2 Y «Р |
\ 2 у ср |
/ |
|
|
|
|
|
|
(IV.19) |
В последней формуле, аналогично предыдущему, с целью сохра нения единства методики расчета положено (и=0.
Для упрощения расчетов при необходимости вычисления темпе ратуры торцовой поверхности массива в полуограниченном стерж не из зависимости (IV. 19), положив х=0, найдем
0(0,*)= |
= 1 - |
erfc (H Y Y )• |
(IV.20) |
52
Вычисление температурных функций (IV. 19), (IV.20) достига ется с достаточной степенью точности с использованием упомяну тых выше пятизначных математических таблиц [10].
Теперь, для уяснения методики расчета и оценки результатов теплообмена в некоторых частных случаях, рассмотрим несколько примеров.
Пример 1. Сферическая полость с радиусом поверхности R0= "1,0 м устроена в массиве с теплофизическими характеристиками:
коэффициент теплопроводности |
М - 1,0-----ккал— |
||
|
|
м-час-град |
|
объемный вес т = 2000 ----, |
|
|
|
мъ |
|
. п |
ккал |
, |
с |
||
весовая (удельная) теплоемкость |
= 0,2 |
-----------. |
|
|
|
|
кг-град |
На поверхности полости имеется тепловая изоляция толщиной 6=0,025 м, коэффициент теплопроводности изоляции (Хиз) состав-
ляет 0,0025 |
ккал |
------------------. Термическое сопротивление у поверхно- |
м- час -град
м2-час-град
сти изоляции принять « B=U,U1----------------- .
ккал
С момента времени 2=0 и в последующем в течение 30 суток внутри полости циркулирует жидкость с температурой ^в= —|—200° С. Требуется рассчитать процесс изменения температуры поверхно сти полости в течение всего времени теплообмена и построить гра фик распределения температур в массиве к концу времени теплооб
мена, если перед началом |
теплообмена температура всех точек |
|||
массива была одинаковой |
и составляла /н—+Ю°С. |
|||
Р е ш е н и е . |
1. Коэффициент температуропроводности массива |
|||
по формуле (IV.2) |
|
м2 |
|
|
|
_Х_ _ |
1 |
|
|
|
~ |
2000-0,2 |
0,0025 |
|
|
час |
|
||
2. Общее термическое сопротивление изоляции |
|
|||
R = |
0,025 |
+ 0,01 |
10,01 ж 10,0 |
м2час -град |
|
0,0025 |
|
|
ккал |
3. Критерий Био |
|
|
|
|
|
Bi = HR, = А - = — — = 0,1. |
|
||
|
|
\ R |
МО |
|
4. Критерий Фурье для расчета процесса изменения температу ры поверхности массива (табл. 6)
az __ 0,0025 2
Я0а = К + |
‘ |
53
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 6 |
|
z (сут ) |
0 |
|
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
30 |
z (час) |
0 |
|
12 |
24 |
48 |
120 |
240 |
720 |
Fo |
0 |
|
0,03 |
0,06 |
0,12 |
0,3 |
0,6 |
1,8 |
5. |
Подставляя |
в |
формулу |
(IV.8) |
числовые |
значения |
аргумен |
|
тов, получим зависимость |
|
|
|
|
||||
в(Я 0,2) |
t (Яо, *) |
0,091 |
1 —е1’21 erfc (1,1 Y F o ) \ . |
|
||||
|
|
|
||||||
Результаты расчетов, выполненных с помощью упомянутых вы ше пятизначных математических таблиц [10], сведены в табл. 7. При пользовании математическими таблицами следует помнить,
что erfc(x) = l — erf (я).
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 7 |
|
F o |
0 |
0,03 |
0,06 |
0,12 |
0,3 |
0,6 |
1,8 |
в (R„, z) |
0,0 |
0,0166 |
0,0222 |
0,029 |
0,0396 |
0,0480 |
0,0613 |
Результаты расчета температур поверхности массива по форму ле (IV.8) с учетом начальной температуры и результатов преды дущего расчета согласно зависимости ^(Я0г )= t B®{R0, z)~h 4 при ведены в табл. 8.
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 8 |
|
г (час) |
0 |
12 |
24 |
48 |
120 |
240 |
720 |
t (R 0, z) |
10 |
13,3 |
14,4 |
15,8 |
18,0 |
19,6 |
22,2 |
6. Относительная координата длины для вычисления темпера тур по глубине массива указана в табл. 9.
|
|
|
|
Т а б л и ц а 9 |
|
Расстояние от поверхности, м |
0 |
0,1 |
0,5 |
1,0 |
5,0 |
Г |
1 |
1,1 |
1,5 |
2,0 |
6,0 |
|
|||||
Ro
54
7.Подставляя в формулу (IV.7) числовые значения аргументов
F0— l,8\ R i= 0,1, получим зависимость следующего вида:
©( г , г)\^шиас = — |
{ erfc [0,373 (т - 1) ] - |
tB |
т |
_ gi,i(m-i)+2,i8erfc [о5373 ( т - \ ) + 1,475] }.
Результаты расчетов по этой зависимости при назначенных чис ловых значениях безразмерной величины т приведены в табл. 10.
|
|
|
|
Т а б л и ц а 10 |
|
т |
1 |
1,1 |
1,5 |
2,0 |
6,0 |
Н ( г , Z) |
0,0613 |
0,0556 |
0,0306 |
0,0164 |
0,00005 |
Преобразуем зависимость (IV.7) с учетом поправки на началь ную температуру к виду, удобному для определения искомой вели чины
t(r,z)lz~гпнас ; Ц г , z) = tH+@{r,Z)tB.
Подставив результаты предыдущего расчета и числовые зна чения tn и tB в последнюю зависимость, можно вычислить темпера туру в назначенных точках грунтового массива. Результаты выпол ненных расчетов приводятся в табл. 11.
|
|
|
|
|
Таблица 11 |
К у м |
1,0 |
1,1 |
1,5 |
2,0 |
6,0 |
t ( r , z ),° С |
22,2 |
21,1 |
16,1 |
13,3 |
10,01 |
Пример 2. Рассчитать процесс изменения температуры поверх ности при условиях 1-го примера, если теплообмен происходит в длинной цилиндрической полости, радиус поверхности которой со
ставляет 1,0 |
ж. |
Р е ш е н и |
е . Расчет производится с применением графика |
рис. 13, с учетом вычисленных в предыдущем примере безразмер ных величин F0 и Bi. Результаты расчетов, включая и промежуточ ные, приводятся в табл. 12. По-прежнему Bi—0,1.
Пример 3. Рассчитать процесс изменения температур поверхно сти полости при условиях 1-го примера, если теплообмен происхо дит у плоской поверхности, которую вместе с примыкающим мас сивом допускается принять за полупространство при линейном по токе тепла.
55
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 12 |
|
г (П |
|
0 |
| 12 |
24 |
48 |
120 |
240 |
720 |
|
|
|
i |
|
|
|
|
|
Fo |
| |
0 |
0,03 |
0,06 |
0,12 |
0,3 |
0,6 |
1,8 |
|
|
0,00 |
0,019 |
0,023 |
0,03 |
0,049 |
0,062 |
0,098 |
t (R0, z) |
|
10 |
13,8 |
14,6 |
16,0 |
| 19,8 |
22,4 |
29,6 |
Р е ш е н и е . 1. |
Аналог критерия |
Био |
|
|
|
|||
|
|
|
Я = — |
= — — = 0,1 |
м~\ |
|
|
|
|
|
|
I R |
МО |
|
|
|
|
2. Аналог критерия Фурье для расчета процесса изменения тем пературы поверхности массива (табл. 13)
|
|
®= |
аг = 0,0025 г. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 13 |
|
z (cym) |
0 |
0,5 |
1 |
2 |
5 |
10 |
30 |
z {час) |
0 |
12 |
24 |
48 |
120 |
240 |
720 |
a (M2) |
0 |
0,03 |
0,06 |
0,12 |
0,3 |
0,6 |
1,8 |
3. Подставляя в формулу (IV.20) числовые значения аргумен тов, получим зависимость
0 (о, 2) = -* (0’ г ) . =- 1 - ^ 01 * eric 0,1 V Y - tB
Результаты расчетов по схеме, примененной выше, приводятся в табл. 14.
|
|
|
|
|
|
Т а б л и ц а 14 |
|
z {час) |
0 |
12 |
24 |
48 |
120 |
240 |
720 |
« (0, z) |
0 |
0,0192 |
0,0275 |
0,0389 |
0,058 |
0,081 |
0,135 |
t ( 0, z ),°C |
10 |
13,8 |
15,5 |
17,8 |
21,6 |
26,2 |
37,0 |
56
