Файл: Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 109
Скачиваний: 0
математики в объеме 7 классов. Она построена так, что читатель постепенно, начиная с наиболее простых задач, знакомится с наиболее сложными.
Б. Т. ТУЛЕГЕНОВ,
заведующий кафедрой высшей ма тематики, доцент КазПИ име ни Абая,
Б. М. УРАЗБАЕВ,
заведующий кафедрой элементар ной математики, доцент.
ЦЕННОЕ ПОСОБИЕ
Результаты работ видных экономистов дока зывают, что внедрение математических методов в практику планирования, организации и управле ния сельскохозяйственным производством во всех его звеньях может дать огромный экономический эффект в масштабе всей страны. Однако в на стоящее время в совхозах и колхозах почти нет специалистов, владеющих методом линейного программирования, а литературы по этому вопро су мало, да она большей частью сложна и недо ступна для читателей, являющихся практическими работниками сельского хозяйства.
Поэтому издание книги Ю. И. Постнова яв ляется отрадным. Большой заслугой автора сле дует признать, что он нашел прекрасное методи ческое решение всех вопросов, затронутых в ра боте. Он сумел сложные понятия объяснить просто и наглядно, подробно и постепенно рас крывая экономический смысл всех вновь вводи мых величин, операций; методы линейного про граммирования в таком изложении становятся ясными и доходчивыми Именно такого пособия недостает на первых
порах массовому читателю, интересующемуся
11
применением линейного программирования в сель ском хозяйстве.
Работа Ю. И. Постнова поможет в опреде ленной мере восполнить пробел в математическом образовании специалистов сельского хозяйства, работающих на производстве, а для студентов вузов явится отправным пунктом в изучении ин тереснейших исследований.
Вдумчивый и заинтересованный читатель пос ле изучения этой книги будет в состоянии читать литературу, указанную в конце работы; эти посо бия расширят и дополнят круг идей, изложенных aeTQpoM в книге.
Л. И. ЛЕУТСИИЙ,
старший научный сотрудник КазІІИИЭиОСХа.
СИМПЛЕКСНЫЙ
МЕТОД
СУЩНОСТЬ
СИМПЛЕКСНОГО
МЕТОДА
В практике линейного программирования чаще других используется метод последовательного улучшения плана, или, как нередко его называют, симплексный метод (симплекс — метод). Основные положения его были сформулированы американским математиком Д. Данци гом в 1949 году. Метод Данцига в иностранной литерату ре по линейному программированию известен под назва нием симплексного. Оно возникло из геометрического толкования* первых частных задач, к которым метод был применен, и на самом деле не соответствует сущест ву метода, то есть его название почти условное.
Сущность же метода состоит в следующем. Прежде всего составляется первоначальный план, называемый до пустимым планом (точнее — опорный план). Опорный план удовлетворяет всем условиям задачи, но не явля ется оптимальным (наилучшим) с точки зрения постав ленной конечной цели задачи. Затем по установленным этим методом способам план улучшают, получая новый, более близкий к оптимальному. Таким путем через ко нечное число приближений (шагов) достигается опти мум, когда дальнейшее улучшение уже невозможно. Задача считается решенной.
Таким образом, метод заключается в последовательном улучшении плана, что и целесообразно отразить в его названии. Но поскольку в литературе все более укоре
* Простейший многогранник в пространстве с произвольным чис лом измерений называют с и м п л е к с о м .
15
няеТся название метода как симплексного, мы будем
.придерживаться этого названия, как более краткого и в силу установившейся традиции.
§ 2 |
ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ |
|
|
|
И СОКРАЩЕННЫЕ |
|
ЗАПИСИ |
1. Предположим,' что производится некоторая продук ция А. Под ней мы понимаем любую продукцию земледе лия или животноводства: зерно, картофель, мясо и т. д. Для установления количества произведенной продукции выбираем определенную единицу измерения: 1 кило грамм, 1 центнер и т. п. Чаще всего количество сельско хозяйственной продукции измеряется в центнерах.
Если, предположим, в настоящий момент неизвестно, сколько продукции произведено, то можно сказать: по лучено X (икс) единиц продукции. Допустим, стало из вестно, что произведено 1000 единиц продукции. Это выражается следующим равенством:
х = 1000.
Если нужно показать, что количество произведенной про дукции б о л ь ш е (например, больше 2000 единиц), прибегаем к знаку неравенства > (больше), а все выра жение записываем так:
* > 2000.
Подобно этому количество |
произведенной |
продукции, |
м е н ь ш е е , например, 3000 |
единиц, кратко |
записываем |
в виде неравенства со знаком < (меньше): *<3000 .
16
Знак > показывает, что количество произведенной про дукции не м е н ь ш е какой-то величины. Например, если X не меньше 4000 единиц, то кратко это выразим неравенством, соединенным с равенством:
|
X > 4000. |
|
Аналогично |
количество произведенной |
продукции, н е |
б о л ь ш е е , |
скажем, 5000 единиц, выражаем неравенст |
|
вом, соединенным с равенством (знак < |
): |
|
|
X < 5000. |
|
В некоторых случаях необходимо указать, что число еди ниц произведенной продукции заключено в некоторых границах: например, оно не больше 6000, но не меньше 2000. Тогда кратко можно записать следующее двойное неравенство:
2000 < х < 6000.
Введем в рассмотрение цену единицы произведенной продукции, обозначив ее буквой «с». Если известно, что произведено х единиц продукции, то для определения цены всей произведенной продукции надо цену единицы продукции с умножить на число единиц продукции х. Учитывая, что через х мы обозначаем цену всей произ веденной продукции, записываем кратко такое равенство:
|
С = сх. |
Допустим, |
цена единицы продукции с —2 руб., то |
|
С = 2х руб. |
Произведем некоторые вычисления. |
|
Если х = 0, |
т. е. не произведено ни одной единицы про |
дукции, то |
|
|
С = 2 •0 = 0. |
2 -3 6 |
|
j S f i ü é U ?
Если * = 20, т. е. произведено 20 единиц продукции, то С = 2 •20 = 40 и т. д.
Отсюда видно, что цена С всей произведенной продукции изменяется в зависимости от изменения числа единиц продукции *. Поэтому говорят, что цена С является функцией числа единиц продукции х.
2. Предположим теперь, что производится два вида про дукции: А1 и Л2. Если неизвестно, сколько единиц каждо го вида продукции произведено, то эти неизвестные вы ражаем через Хі и * 2. Обозначим цену единиц продукции каждого вида через с\ и с2, тогда цена всей произведен ной продукции составит
С —СjA'i + С2Х2.
Если, например, — 10, а с2 —5, то
С = 10*і + 5*2.
Произведем некоторые вычисления.
Допустим, *1 = 100, *2 = 25, т. е. произведено 100 единиц продукции Лі и 25 единиц продукции Л2, то
С = 1 0 - 100 + 5 -25= 1000+ 125= 1125 .
Если *і = 0, *2 = 500, т. е. продукции Лі нет, а продукции Л2 произведено 500 единиц, то
С = 10 -0 + 5 -500 = 2500 и т. д.
Таким образом, цена всей произведенной продукции за висит от двух величин: х\ и х2. Поэтому говорят, что це на С есть функция от двух величин *і и * 2.
3. Предположим теперь, что производится три вида про дукции: Лі, Л2 и Л3 в количестве * ь *2 и * 3 единиц каж дого вида по цене с и с2 и съ за единицу каждого вида.
Вэтом случае цена всей произведенной продукции равна:
С= С\Х\+ ^2*2+ С3* 3.
18
То есть цена С есть функция трех величин Х\, х2 и Хз, если считать заданными цены единиц продукции каждо го вида.
Рассмотрим общий случай.
Формула цены всей произведенной продукции может быть применена при любом числе видов продукции. Предположим, что производится п (латинское «эн») ви дов продукции. Каждый из них обозначим Ль А2, . . . , Л„
(многоточие ставится вместо пропущенных |
названий |
продукции, которые все не могут быть перечислены). |
|
Пусть продукция производится в количестве Х \, |
х2, . . . х п |
единиц каждого вида по цене С\, с2, . . . , с п за единицу |
продукции каждого вида. Тогда цена всей произведенной продукции равна:
С = С\Х\ + с 2х2+ . . . + с пхп.
Подобные суммы в математике принято сокращенно обо
значать так: |
|
С = Е |
. |
Если, например, п = 4, т. е. |
производится четыре вида |
продукции, то цену всей произведенной продукции запи сываем так:
С = С\Х\ + с2х2 + С3Х3 + С4Х4,
или сокращенно
С= S ct x t. i=l
Вобщем случае, когда производится п видов продукции, цена С всей произведенной продукции зависит от п вели
чин ХіХ2у. . . , х п, и поэтому говорят, что цена С есть функция от п величин.
2 |
19 |
§ 3 |
АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ДЕЙСТВИЯ |
|
|
|
НАД ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫМИ |
|
ЧИСЛАМИ |
В экономике часто приходится иметь дело с величи нами, которые могут рассматриваться в двух противопо ложных смыслах: доход — расход, выигрыш — проиг рыш, прибыль — убыток и т. д.
Если «доход», «-выигрыш», «прибыль» считаются величи нами положительными и выражаются числами со знаком ( + ), то «расход», «проигрыш», «убыток»— величинами того же рода, но отрицательными и выражаются числа ми со знаком ( —). В этих случаях допустимо говорить, что «расход — есть отрицательный доход», «проигрыш — есть отрицательный выигрыш» и т. д.
Определение. Число со знаком ( + ) называется поло
жительным; |
число |
со знаком (—) — отрицательным. |
Так, +124; |
+ 37,&; |
+25,5741 — положительные числа, |
а :— 2, —41,7 — отрицательные. |
Заметим, что при записи положительного числа знак ( + )
принято опускать и вместо, например, |
+ 72 писать просто |
72; или, если имеется в виду число + а , |
пишется просто а. |
К числам причисляют еще 0 (нуль), |
не относя его ни |
к положительным, ни к отрицательным числам. |
Определение. Числа положительные, отрицательные и нуль называются действительными числами.
Для положительного числа а противоположным считает ся число—а (минус а). Так, например, для числа 7 противоположным является —7. В данном случае знак минус ( —) используется для записи числа, противопо ложного данному положительному.
С другой стороны, по смыслу число а является противо
20
положным для числа — а, или для числа —а противопо ложно число а. Поэтому можно записать:
—( — а) = а.
Вэтой записи первый знак ( —) говорит о том, что надо
взять число, противоположное отрицательному числу
( - а ) .
Таким образом, если перед положительным или отрица тельным числом ставится знак минус, то это означает, что надо перейти к числу, ему противоположному. Так, например,
— ( + 5 ) ----- 5, — ( — 7) = +7.
Если перед любым числом ставится знак плюс, то это означает, что надо сохранить данное число и не перехо дить к числу, ему противоположному. Так, например,
+ ( + 6) = 6, + ( — 3) = — 3.
Таким образом, приходим к правилам двойных знаков:
+ { + а ) —а\ + ( — а) = — а\ — (+ а ) = -а\ —( — а ) = а .
Определение. Абсолютной величиной положительного числа называется само это число, абсолютной вели чиной отрицательного числа называется число, ему противоположное. Абсолютная величина числа 0 равна нулю. Например, для чисел 5; —3; 2,8; —45; 657 абсо лютные величины равны соответственно 5; 3; 2,8; 45; 657. Перейдем к рассмотрению действий сложения и вычита ния действительных чисел. При выполнении этих дейст вий очень удобно толковать положительное число как
«выигрыш», |
а отрицательное — как «проигрыш». |
Примеры с |
краткими пояснениями: |
1. 5 — 3 = 2, |
так как «выигрыш» 5 единиц и «проигрыш» |
3единиц дают в результате 2 единицы «выигрыша».
2.7 — 10 = —3, так как «выигрыш» 7 единиц и «проигрыш» 10 единиц дают в результате 3 единицы «проигрыша».
21