Файл: Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве.pdf

Урожайность картофеля— 100 ц/га, ячменя — 20 ц/га Нормативные затраты ручного труда на 1 га посева: по картофелю — 20 чел.-дн.; по ячменю — 2 чел.-дня.

Нормативные затраты механизированного труда на 1 га

Задача заключается в том, чтобы, исходя из данных про­ изводственных ресурсов, добиться максимума валовой продукции в денежном выражении.

Неизвестное количество картофеля, которое необходимо произвести, обозначим через х х ц, а ячменя — через х2 Ц- Тогда количество валовой продукции в денежном выра­ жении будет равно:

С = 3*і + 5*2 руб.

Учтем все имеющиеся производственные ресурсы. Для этого используем технологические коэффициенты, т. е. нормы затрат на производство 1 ц картофеля и 1 ц ячме­ ня. Так как на производство 100 ц картофеля требуется пашни 1 га, то для производства 1 ц — 0,01 га. Для про­ изводства 1 ц ячменя необходимо 0,05 га пашни, если предполагать, что урожайность ячменя — 20 ціга.

Для того, чтобы найти нормы затрат конно-ручного и механизированного труда на производство 1 ц продук­ ции, надо нормы затрат на 1 га разделить на урожай­ ность возделываемой культуры.

Нормы затрат на производство 1 ц картофеля и ячменя по конно-ручному труду равны соответственно:

20 : 100 = 0,2 чел.-дн.; 2 : 20 = 0,1 чел.-дн.

Нормы затрат механизированного труда следующие: по картофелю — 2,1 : 100 = 0,021 тракторо-смены; по ячме­ ню — 0,6 : 20 = 0,03 тракторо-смены.

29

Сведем все данные в таблицу 6.

*і *2

На производство Х\ ц картофеля и * 2 ц ячменя будет за­ трачено:

По условию задачи эти затраты не должны быть больше соответствующих наличных ресурсов, и поэтому можно записать такие неравенства:

Таким образом, следует решить следующую математиче­ скую задачу: найти наибольшее значение функции

С = 3*і + 5*2

при условиях ( 1).

30

Функцию С будем, как и раньше, называть функцией це­ ли, а неравенства ( 1) — ограничениями.

Нами рассмотрены три основных типа задач, которые могут быть решены симплексным методом. В первом ти­ пе задач ограничения выражаются равенствами, во вто­ ром типе — неравенствами со знаками и, наконец, в третьем типе — неравенствами со знакамиС,.

Наиболее просто симплексным методом решаются зада­ чи третьего типа, и поэтому с них начнем изучение сим­ плексного метода.

ВАРИАНТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

ТРЕТЬЕГО ТИПА СИМПЛЕКСНЫМ

МЕТОДОМ

ПЕРВЫЙ ВАРИАНТ

1. Рассмотрим составленную нами задачу третьего типа (см. стр. 28). Надо найти наибольшее значение функции

при выполнении условий

Для решения данной задачи с помощью симплексного метода следует прежде всего неравенства (2) преобра­ зовать в равенства. Как видно, левые части неравенств не больше правых, и поэтому, если к левым частям при­ бавить некоторые неизвестные неотрицательные части, то тем самым неравенства преобразуются в равенства:

31

пользована вся пашня; если х4= 0, то использованы все

Эти равенства обладают одной особенностью, благодаря которой к решению нашей задачи можно применить сим­ плексный метод: каждое из них содержит одну неизвест­ ную величину с коэффициентом, равным единице, кото­ рой нет во всех остальных равенствах. Так, в первом равенстве содержится неизвестная величина * 3, но она отсутстует в остальных равенствах; во втором равенстве есть величина * 4, которая не входит в первое и третье равенства; и, наконец, имеющаяся в третьем равенстве неизвестная *5 отсутствует в остальных равенствах.

Так как для решения задачи нам потребуются коэффи­ циенты при всех неизвестных в этих равенствах, то, что­ бы не допустить ошибок, запишем их в следующем виде:

32

т. е. если какое-нибудь из равенств не содержит некото­ рую величину, это значит, что оно ее содержит с коэф­ фициентом, равным 0. Дополнительные неизвестные вве­ дем в функцию цели с коэффициентами, равными нулю:

Исходная задача теперь может быть сформулирована так: найти наибольшее значение функции (4) при вы­ полнении ограничений (3).

Решение задачи симплексным методом производится при помощи составления симплексных таблиц.

Первая симплексная таблица содержит три строки коэф­ фициентов при неизвестных в равенствах (3) и одну строку коэффициентов функции цели. Все эти коэффи­ циенты записаны в соответствующих столбцах неизвест­ ных х ь х2, х3, х4 и х5.

В качестве исходного берем такой план, при котором продукция не производится, и, следовательно, все налич­ ные ресурсы остаются неиспользованными. Математиче­ ски это значит, что

*і = 0, х2 = 0, х3= 1000, х 4 = 8000, х5 = 900.

В столбец «План» в соответствующие строки записываем лишь те величины, которые отличны от нуля. В первый столбец («Цены») записываем коэффициенты функции цели при неизвестных х3, х4 и Х5, взятые со знаками ми­ нус. Так как эти коффициенты в нашем случае нули, то безразлично, с какими знаками их брать. Поэтому пишем во всех строках первого столбца просто нули.

Четвертая строка второго столбца («План») предназна­ чается для всей валовой продукции в денежном выраже-

нии (в руб.). Так как в исходном плане продукция не производится, то в этой клетке пишем нуль. Итак, первая симплексная таблица имеет такой вид (табл. 7):

Желательно как можно скорее получить наибольшее значение валовой продукции в рублях. Поэтому попы­ таемся вначале в план ввести ячмень, так как он имеет большую цену 1 ц.

Как это сделать?

В четвертой строке столбцов неизвестных выбираем наи­ большее положительное число, и тот столбец, которому оно принадлежит, называем генеральным столбцом таб­ лицы. В нашем примере наибольшее положительное чис­ ло 5 находится в столбце х2. Следовательно, столбец х2 генеральный. В нем отмечаем положительные элементы (числа) во всех строках, кроме последней. В нашем слу­ чае все элементы — 0,05, 0,1 и 0,03 — положительные. Составляем отношения элементов плана к соответствую­

34

щим (по строкам) положительным элементам генераль­ ного столбца:

1000 : 0,05 = 20 000; 8000 : 0,1 =80 000; 900 : 0,03 = 30 000.

Первое из этих чисел показывает, сколько ячменя можно произвести за счет использования всей пашни, второе — за счет использования всех человеко-дней и, наконец, третье — за счет использования всех тракторо-смен.

Если при имеющихся ресурсах надо производить только один ячмень, то больше 20 000 ц произвести его не удаст­ ся, так как не позволят размеры пашни. По этой причи­ не из всех полученных чисел выбираем наименьшее число (20 000), а строку, которой оно соответствует (в данном случае первую строку), называем генеральной строкой таблицы.

Элемент 0,05, находящийся и в генеральном столбце, и в генеральной строке, называется генеральным элемен­ том таблицы.

Таблица 8

Генеральный столбец показывает, какую из неизвестных надо включить в план, а генеральная строка — какую из неизвестных вывести. То есть на место неизвестной х3 в план надо ввести неизвестную х2. (См. общий вид второй симплексной таблицы — табл. 8).

В первом столбце («Цены») в строке х2 пишем цену 1 ц ячменя, взятую со знаком минус, и сохраняем нули во второй и третьей строках.

Теперь переходим к вычислению элементов второй симп­ лексной таблицы. Прежде всего вычисляем элементы строки, стоящей на месте генеральной. Так как первая строка в первой таблице была генеральной, то вначале мы вычисляем элементы первой строки. Для этого эле­ менты генеральной строки, кроме элемента в первом столбце (цены), делим на генеральный элемент 0,05:

1000:0,05 = 20 000; 0,01:0,05 = 0,2; 0 ,05:0,05= 1; 1:0,05 = 20; 0 :0 ,0 5 = 0; 0 :0 ,0 5 = 0.

Полученные результаты записываем в те клетки, в кото­

38