Файл: Постнов Ю.И. Линейное программирование в сельском хозяйстве.pdf

3. — 7 —8 = — 15, так как два «проигрыша» по 7 и 8 еди­

Более сложные примеры при помощи известных нам пра­ вил, знаков и ' подсчета в отдельности «проигрыша» и «выигрыша» всегда можно свести к рассмотренным ти­ пам простейших примеров:

— 3 + ( — 8) — ( + 3) — ( — 5) = — 3 — 8 — 3 + 5 = —14 + 5 = — 9; 8 + ( — 3) — ( —10) — (+ 30) = 8 —3 + 1 0 —30= 18 - 3 3 = - 1 5 .

В заключение рассмотрим действия умножения и деле­ ния действительных чисел. Это производится на основа­ нии следующей аксиомы (т. е. истины, которая прини­ мается без доказательства): при умножении двух чисел перемножаются их абсолютные величины и в результате ставится знак ( + ), если числа имели одинаковые знаки, и знак ( —), если числа имели разные знаки; при деле­ нии двух чисел абсолютная величина делимого делится на абсолютную величину делителя и в результате ставит­

4 —(—3) + ( —5) — (+ 2) + (—2) •( + 3)— ■

22

- ( - 4 ) - ( + 2) = 4 + 3 - 5 - 2 - 6 + 8 = 1 5 - 1 3 = 2; 12 : 3 — ( —4): 2 + ( —2) - (+ 3) + ( — 8): ( — 4) = = 4 + 2 —6 + 2 = 8 —6= 2.

Предположим, что имеется два склада и три магазина. Надо перевезти некоторое количество единиц однородно­ го товара из складов в магазины, причем в каждый из магазинов требуется определенное количество единиц товара, а каждый из складов может выделить также только определенное количество товара. Предполагается, что общее количество выделяющегося для перевозки то­ вара равно требуемому количеству. Задача: определить, сколько единиц товара нужно отправить с каждого скла­ да в каждый магазин, чтобы общая стоимость перевозок была наименьшей. Известна стоимость перевозки едини­ цы товара из каждого склада в каждый магазин. Пусть, например, на первом складе имеется 10 единиц, а на вто­ ром— 14 единиц товара, магазинам требуется соответ­ ственно 6, 8, 10 единиц.

Неизвестные количества единиц товара, которые надо перевезти из каждого склада в каждый магазин, обозна­ чим x iIt Хі2, Хм, х21, х22, х2з. В этих обозначениях первая цифра индекса, стоящая у буквы х, показывает номер склада, а вторая — номер магазина. Так, хі2 обозначает неизвестное количество товара, которое необходимо пе­ ревезти из первого склада во второй магазин.

Все данные сведем в следующую таблицу:

23

Таблица 1

В таблице 1 все неизвестные количества товаров указа­ ны в соответствующих клетках.

По условию задачи имеем:

второму равенству требуется из второго склада в мага­ зины вывезти 14 единиц. Третье, четвертое и пятое ра­ венства показывают, что в первый, второй и третий ма­ газины надо завезти соответственно 6, 8 и 10 единиц то­ вара.

Если стоимости перевозок единицы товара из каждого склада в каждый магазин обозначить с п, Сіг, с13, с2ь с22, с2з, то общая стоимость всех перевозок будет равна:

С = Сц Х ц + Сі 2Д:і 2 + С із* із + С2і * 2і + С 22Х 22 + £23*23-

Требуется перевозки товара из складов в магазины ор­

24

ганизовать так, чтобы стоимость перевозок С имела наи­ меньшее значение при правильном вывозе товара из складов и правильном завозе его в магазины. Матема­ тически это означает: найти наименьшее значение функ­ ции С при'выполнении равенств (1).

Функция С называется функцией цели, а равенства (1) — ограничениями.

Для того, чтобы убедиться, что стоимость перевозок мо­ жет изменяться в зависимости от количества единиц то­ вара, перевозимых из складов в магазины, произведем некоторые конкретные вычисления. Зададим цены пере­ возок единицы товара из каждого склада в каждый ма­ газин. Пусть, например,

Сц = 1, с12 = 2, сіз= 3, с2і = 2, С22=1, с23 = 4.

Задача: найти наименьшее значение функции

С = Л’l- 1+ 2Х]2 + 3^13+ 2^21 +^22 +4^23

при выполнении условий равенств ( 1). Произведем несколько экспериментов.

1. Осуществим перевозки так, как показано в таблице 2.

25

В углах каждой клетки таблицы 2 проставлены цены пе­ ревозки единицы товара из каждого склада в каждый магазин. Общая стоимость всех перевозок равна:

С=2-1+3-2 + 5-3+ 4-2 + 5-1+5-4 = 2 + 6+15 + 8+ 5+ 20 = 56.

2.Осуществим перевозки другим способом по таблице 3.

В данном случае получим следующее равенство:

C = 3-l +4-2 + 3-3 + 3-2 + 4-1 + 7 4 - 3 + 8 + 9 + 6+ 4 + 28 = 58.

26

Ёданном случае

С= 3-10 + 2-6+ 1-8 = 30+ 12 + 8 = 50.

Как видно, из трех вариантов лучшим является третий, в котором общая стоимость перевозок равна 50. Возникает вопрос: можно ли по условиям данной зада­ чи перевезти товары с еще меньшими затратами?

Ответ на этот вопрос дают симплексный и распредели­ тельный методы.

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 0 РАЦИОНЕ ДЛЯ СКОТА

Требуется составить рацион для мясного откорма сви­ ней с живым весом 50—60 кг и суточным привесом 400—500 г. На одну голову в сутки требуется: кормовых единиц — 2,5, переваримого белка — 240 г.

Откорм ведется сухими кормами. Рацион составим из зерна кукурузы и подсолнечного жмыха, в одном кило­

27

Надо составить такой рацион, который содержал бы указанные питательные вещества и обладал бы наимень­

рые надо включить в рацион, обозначим соответственно через Х\ и х2. Тогда цена рациона составит:

С = 5хі + Ах2 коп., и в нем будет содержаться х1+ \,25х2 кормовых единиц и 400 лгі + 80 х2 г переваримого белка.

Так как по условию задачи рацион должен содержать не меньше 2,5 кормовой единицы и не меньше 240 г перева­ римого белка, то можно записать неравенства:

л:і + 1,25х2> 2 ,5 400х[ 80х2О240.

Таким образом, данная задача имеет следующую мате­ матическую формулировку: найти наименьшее значение функции

С ~ 5х1-р4.^2

при выполнении условий

Х\ -f-1 ,25х 2> 2,5 400 *! + 80x2>240.

Задача решается симплексным методом.

ПРОСТЕЙШАЯ ЗАДАЧА 0 НАИБОЛЕЕ ЭФФЕКТИВНОМ СОЧЕТАНИИ ОТРАСЛЕЙ В ЗЕМЛЕДЕЛИИ

Требуется организовать в хозяйстве производство кар­ тофеля и ячменя. Для этого хозяйство может выделить пашни 1000 га, израсходовать 8000 чел.-дн. (человеко­ дней), 900 тракторо-смен.

28