Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Скачать файл (3,97Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 68

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Решение. По определению:

1— = hm

J Ха .4-0

Так как при а 1

а при а — имеем:

то

		41
		1 — а
		I
если 0<а<1, й	интеграл	Cdx
если 0<а<1, й	интеграл	1— не
дела при е -♦ 0, если а> 1.		е
дела при е -♦ 0, если а> 1.
Следовательно,	несобственный
вует, если 0<а<1, причем		в этом
	1	1__
	Мх_ _	1__
	J	1 — а ’

имеет конечного пре-

интеграл Cdx -сущест-

случае

если же	а > 1, то	расходится.
Геометрический смысл полученных результатов заключает
ся в том,	что бесконечная область D (черт. 39), ограниченная

слева осью оу, справа прямой х=1, снизу осью ох, а сверху

кривой У—— , расположенной под гиперболой У=~^- > имеет

конечную площадь, если под площадью всей области D пони

мать предел, к которому стремится площадь конечной ее части

9—295

129

до прямой х=е, когда е ->• 0; если же верхнюю границу об ласти D заменить гиперболой У=~^~ или кривой, расположен

ной выше гиперболы, то получим область с бесконечной пло щадью.

Так же, как для		интегралов с бесконечными предела
ми, для интегралов		от неограниченных функций	можно
доказать,	что если	ъ	то	схо-
		сходится интеграл J\| f(х) \| dx,
		а
дится и		b		на-
	интеграл J/(x) dx. Последний в этом случае
зывается		а
	абсолютно сходящимся.

После рассмотренного здесь примера нетрудно доказать

следующий признак абсолютной сходимости.

Пусть функция f(x) непрерывна в полуинтервале [а, Ь) и неограничена в интервале (Ь—е, Ь). Если существует такое положительное число а<П, что для всех х, достаточно близ ких к Ь,

\f(x) \ <------

’1 (b-x)

130

где Л4>0 не зависит от х, то интеграл р (х) dx сходится

абсолютно. .

Кроме того, можно заметить, что если для всех х, достаточ но близких к Ь,

где М >0 не зависит от х, то интеграл Jf (х) dx рас-

ходится.

УПРАЖНЕНИЯ

57.Вычислить плонХадь области между кривой

иосью ох.

58.Найти значения а, для которых интегралы

J е зх dx, и J е™ dx

а —оо

СХОДЯТСЯ.

59. Выяснить, сходится ли интеграл

4оо

Г sin х dx

J аг + х’ ’ 1

Ответы

	3 з ________			2а2 In (а4*+ 4) + С.
	77^-/(1+2ха)84-С. 2.			2а2 In (а4*+ 4) + С.
3.	arctg еж + С.		4.	-у-[х—1п(2-\|-ел)] 4- С.
5.	-уд (У 5 arcsin^T,*	--	— У 4 — 5х4)-\|-С.

6- — (tg 2х — ctg 2х) — 4х 4- С.

1. 3x+l ■ z,

7.arctg -t==- 4- C.

У5 s 1

8.	•	-*2 I	Z>	n	*2 +1	3-2x c
	arcsin--------- H C.				62Л____	21n3 '
	1	2	\| n	2 In 6	In 2
10.		* x3 - 1		11. 2]/T--2in(i4-K7)4- c.
	-arctg 2		+ C.

12.2arctg /14-х+С.

13.	+	(* =«*g4
14. 1	X — arcsec	f- С, (л = лзес z),

аа

15.х arcsin х 4-]/1 —х1 + С.

16.	У^—(х3	^4-^1------^4-С.
а \	а	а1 а3 )

17.-^-(sinx3— x2cosx2)4'C-

18 2 sin lx— cos 2x . q

19.- - -L 4-_L 1п(л’4-3) - -L^arctg-4^ +

x	Xs ' 2	v	r ’ у з	V з	'
	Q	In (x3	4- 2x 4- 2) 4- 4arctg		(x4- 1) 4"
20.. In (x2—I)2-------

132

28.—3]/4—4х—х1—8arcsin~p~ -J- С.

29.А(Х _3)1/^+2х+2 + -^1п|х4-1 +

+/л2+2%4-2 | + С.

зо. — in —+с.

aa-j- у *х + аг

31.2)Т(6 + 5х")+С.

6 (2 + Зу2)

34	-^-sin	2			sin41 ) + C.
34	-^-sin	3t( 1-----—sin2£-}-4~			sin41 ) + C.
°	2	\	2	7	'
35.	—(5x	—— sin8 2x— sin 4x-----— sin 8x				-f- C.
	128\	3			8	/
36.-----^-cosx-\|-cos			—\|-C.	37.	sinz-\|— -^-sinllz-\|-C.

133

38.	co	II	OO\| w	aMi
38.				я

40. S ~ Зла’.

39. 5 =—.

41. .

42.	Co	II	I 00	<3 14	ЧС
44.	V=5k* a\
46.	...		16	Л.
46.	V	= ---		Л.
			21

48.	S s= 8a.
50.	В точке A: —2/=-
50.	О у	л
	В точке В: —874=
	5 У	5

43.5- — л.

45.У = 2л’а’/>.

47.s—Qa.

49.s — — ля. 2

радиан на километр.

51.		со	р		52.	Л~—
51.		to \|			52.	Л~—
		to \|				2K2ap
						2K2ap
53.	S — 4л’		ab.		54.	S = — ла«
	е	32	,			3
55.	е	32	,
55.	S —	—	ла2.
		5
56.	а) ф,	5	б)	с f	, —V
	\	5	/	\ Л	7Z	/
57.	S = ".				58.	a > 0.
59.	Сходится абсолютно.

СОДЕРЖАНИЕ


Предисловие.							Стр.

		Глава		I. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
1.	Задачи,	приводящие к			понятию определенного интеграла	.	5
2.	Понятие	определенного			интеграла...................................		7
3.	Существование определенного интеграла..........................						8
4.	Свойства		определенного		интеграла .	14	10
5.	Теорема	о	среднем значении...................................................				16
6.	Производная интеграла по верхнему пределу ....					18
7.	Понятие	первообразной			функции............................................
8. Формула			Ньютона—Лейбница..............................................			20
	Глава II.			НЕОПРЕДЕЛЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.	Понятие	неопределенного интеграла......................................				23	24
2.	Основные правила и формулы интегрирования ....					27
3.	Примеры непосредственного интегрирования.......................
4.	Интегрирование подстановкой..................................................					30
5.	Интегрирование			по частям...................................................		32
6.	Интегрирование			рациональных функций...............................		34	46
7.	Интегрирование некоторых иррациональных выражений .					.
8.	Подстановки Эйлера.................................................................					49	54
9.	Другие	способы		интегрирования.......................................................

10.Интегрирование биномного дифференциала ..... 60

11.	Интегралы от	некоторых	тригонометрических выражений .	64
	Глава III. СПОСОБЫ ВЫЧИСЛЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННЫХ
		ИНТЕГРАЛОВ
1.	Связь между определенными и неопределенными интегралами			70
2.	Вычисление определенных		интегралов подстановкой . .	71
3.	Интегрирование	по частям...............................................................		74
4.	Приближенное	вычисление	определенных интегралов . .	76
Глава IV. ПРИЛОЖЕНИЯ			ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

1.Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольных коор

динатах	................................................................................................................		85
2.	Вычисление площадейплоскихфигур в полярных координатах		88
3.	Вычисление	объемов.........................................................................	91
4.	Спрямление	кривых........................................................................	97
5.	Кривизна плоской кривой..............................................................		103
6.	Площадь поверхностивращения....................................................		НО
7.	Центр тяжести..................................................................................		116

135

	Глава	V. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1.	Интегралы	с бесконечными пределами...........................................	121
2.	Абсолютносходящиеся интегралы....................................................		124
3.	Интегралы от неограниченных функций...........................................		127
Ответы.........................................................................................................			132