Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

Скачать файл (3,97Мб)

Заказать решение

ВУЗ: Не указан

Категория: Не указан

Дисциплина: Не указана

Добавлен: 05.04.2024

Просмотров: 71

Скачиваний: 0

ВНИМАНИЕ! Если данный файл нарушает Ваши авторские права, то обязательно сообщите нам.

Из второй формулы (X') следует:

у ds = yl.

Умножив обе части этого равенства на 2л,	получим:
i
2п Jyds = 2яу/,
о
ИЛИ
S = I-2лу,	(XI)

где S есть площадь поверхности, образуемой вращением кри

вой АВ вокруг оси ох. В правой части 2п,у равняется длине

окружности, описываемой точкой С(х, у) при вращении во круг оси ох.

Отсюда видно, что формула (XI) служит доказательством

следующей теоремы.

Теорема Гульдена. Площадь поверхности, образуемой вра щением плоской кривой вокруг не пересекающей ее оси, ле


жащей в плоскости кривой, равна про-				xz"‘	X
взведению	длины	данной кривой на
длину окружности, описываемой при				X С"	\
вращении кривой ее центром тяжести.				/	\
Пример. Найти			центр тяжести	I----------- ----------- J
однородной	массы,	распространенной		О	37.
вдоль полуокружности			радиуса г.	ЧеРт-

Решение. Искомый центр тяже

сти С, очевидно, находится на радиусе, перпендикулярном к диаметру полуокружности (черт. 37). Если h—расстояние от центра полуокружности до центра тяжести, то по теореме Гульдена

лг • 2лЛ — *4яг

(пг—длина данной полуокружности, а 4 *«г — площадь по верхности шара, образуемой вращением этой полуокруж ности вокруг диаметра).

Следовательно,

119

Упражнения

56. Найти центр тяжести однородной массы, распростра

ненной: ~ а) вдоль дуги гипоциклоиды

3	L	2
3	з	з

— а

расположенной над осью ох;

б) вдоль 1-й четверти окружности

х=а cos t, у—a sin t.

ГЛАВА V

НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

1. Интегралы с бесконечными пределами

Понятие определенного интеграла связано с функцией, рас сматриваемой на некотором отрезке.

Таким образом,		область интегрирования, являясь отрез
ком, всегда ограничена.
Однако часто приходится иметь дело с функциями в неог
раниченных	областях:		в	бесконечных	полуинтервалах вида
[а, +<») или (—оо,		/>]	и в	бесконечном интервале (—оо,-фоо).
Поэтому	понятие		определенного		интеграла	следует

распространить и на случаи неограниченных областей интег

рирования.	Но для этого		нужны новые определения,				точно
устанавливающие, что понимать под
	+оо		b		+оо
	J f(x)dx,	^f(x)dx и			^f(x)dx.
	а	—оо			—оо
Пусть функция f(x)		определена и			непрерывна	в	облас-
ти х > а.	ь		при	b -+4~°° имеет		конечный
ти х > а.	Если J f(x) dx		при	b -+4~°° имеет		конечный
	а
предел, то этот предел и			будем	понимать под интегралом
+оо
J f (х) dx.
а
Таким образом, по определению
	+00			b
	f f(x) dx=lim С/ (х) dx.
	J		**+ooJ	a
	a			a

121

	-i-oo						существует,		или, как
Если	J f(x) dx в этом смысле						существует,		или, как
говорят,	а
говорят,	сходится, то его называют несобственным интегралом,
Если при				ь
Если при		интеграл j			f(x) dx не			имеет	конечного
	*4оо			а
предела,	*4оо		имеет			смысла.		В этом случае
предела,	то J /(х) dx не		имеет			смысла.		В этом случае
	а
говорят,	4оо*
говорят,	что J f (х) dx расходится,
	а
Аналогично		определяется				несобственный			интеграл
		ь				ь
		j /(х) «Zx=lim				f (х) dx.
		J		а->—оо J		а
		—оо				а
Наконец, по определению, полагают
	+оо с			+оо
	J f(x) dx =			f(x)dx± J f (				x) dx.
	—00		—00				с
где с — любое число.
Это же означает, что
		+00				b
		f f(x) dx=[im Cf (х) dx.
		J		i->+oo J
		—oo		a-» —oo a
						+0O
В качестве примера рассмотрим I							—,	где a>0.
						J	X
По определению						а
По определению						b
		+оо				b
		С dx				frfx
		J Xе		Zj-»+ooJ Xs
		a				a
Пусть a =# 1.		Тогда				,
	b	,		b		,	____,al—*
	Гdx _ ■?—			I			____,al—*
	J x“ “ 1 - a					1 - a	1 -— a
	a			0

122

Поэтому, если а> 1,				то	,
..	ь			..	,	а1	“	а1	0
..	Cdx			..	b1 "	а1	“	а1	0
lim	I	—	= hm		-------------------=-------
+	а	х	ft->+ool—а			1—а		а — 1
если же а<Г 1,	то				ь
				1-	ь
				1-	Cdx
				11Ш	I— = ао.
				&-»+ooJ X
Пусть а = 1.		Тогда			а
Пусть а = 1.		Тогда
		b		b ь
										ь
откуда видно,	что		и	в этом случае			интеграл			Cdx
откуда видно,	что		и	в этом случае			интеграл			-а- стремит-
ся к бесконечности,				когда /?->4-оо.						а
ся к бесконечности,				когда /?->4-оо.					+оо
									+оо
Следовательно,			несобственный интеграл						(	dx	сущест-
Следовательно,			несобственный интеграл						I	-1—	сущест-
									J
вует, если а >> 1, причем					в этом случае				а
вует, если а >> 1, причем					в этом случае
				+<ю ■	.
				Г dx_ _ а‘~а
				J Ха ~«-1		’
				а
.			+ 00
.		то	f dx
если же а< 1,		то	I	— расходится.

Эти результаты имеют простой геометрический смысл. Рассмотрим область D, которая слева ограничена прямой


х—а, снизу — осью ох, а			сверху — кривой у— —				(черт. 38).
Вправо эта область простирается без конца.
Условимся, что		вполне естественно, под					площадью
всей .бесконечной области D				понимать		предел	площади
конечной ее части до			прямой х — b		при		что	Тогда
полученные выше результаты				будут	означать,			если
область D	сверху	ограничена		кривой,		соответствующей
а>1 [расположенной справа				от 7И(1,1)		под гиперболой
у — — ],	то область D		имеет	конечную		площадь,		если

123

Смотрите также файлы

Орлов Н.А. Экономическая часть проекта машиностроительного завода.pdf

Осипов С.И. Техника безопасности при эксплуатации электроподвижного состава.pdf

Остроумов Г.Н. Приручение Солнца [очерки].pdf

Петренко А.И. Масштабно-временные преобразователи импульсных сигналов.pdf

Повышение стойкости штампов для холодной штамповки обзор М. Е. Зубцов, доцент, канд. техн. наук Общество по распространению политических и научных знаний РСФСР [и др.].1960 - 4 Мб.pdf

Смотрите также файлы

Информация

Списки файлов

Дополнительно