Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf

+со

Интеграл j f (х) dx называется

абсолютно сходящимся

а

+ оо

сходится

если

интеграл J |f(x)| dx.

а

Это определение учитывает тот

факт, что из

сходимос-

ти

интеграла

+СО

интеграла

J [ f(x)\ dx вытекает сходимость и

Отсюда следует, что интеграл j [f (х) 4~ )I/G*

I ] dx при

а

J[/(x)4- lf()l]*

dx< 2j|f (x)|rfx<2 j \f(x)\dx =»2K-

a

a

a

b

Поэтому при b -►4-00 интеграл j [/(x) 4- | f (x) | ] dx

имеет

конечный предел.

Но

a

f(x) = [/(X) 4-1

ftx) I

] — I *K)

I

b

и, следовательно,

интеграл

(x) dx при

d->4-°°

также

a

+oo

то

есть

имеет

конечный

предел,

j /(х) dx сходится.

а

Аналогичным образом определяется абсолютная

сходи-

мость

Ь

+00

интегралов j f (х) dx и J f (х) dx.

—00

—со

Пример,

рассмотренный

в

предыдущем параграфе, поз­

воляет

нам

сформулировать следующий признак абсолютной

Пусть функция /(х) определена

и непрерывна

в области

х> а. Если существует такое а>1,

что

для всех достаточно

больших х

(1)

4-оо

где М не зависит от х,

то интеграл

J f (х) dx сходиЛся

абсолютно.

а

В самом деле, пусть

условие (1)

выполнено

для всех

ь

f(x)\dx, возрастающий при Ь-►-(-<х> ,

ограничен

x>atyO. J|

а,

как

сверху, так

и поэтому при &-+-+00

он имеет конечный предел.

Отсю-

да следует, что

ь

равный

сумме

интеграл J |f (x)\dx,

а,

b

а

имеет конечный

Jl

+Jl f(x) \dx, при d->-{-co также

a

а,

+oo

предел, то есть

J \f(x)\dx сходится.

а

Пример, рассмотренный в предыдущем параграфе, позво­

ляет нам сформулировать и признак расходимости

+00

J f (х) dx .

а

Если для всех достаточно больших х

fW > X ,

(2)

М > 0 не зависит

+оо

где

от х, то j /(х) dx расходится.

В самом деле, пусть

условие (2)

выполнено

для

всех

Х> О4>0.

Тогда

ь

ь

Jf (х) dx > М

.

От

а{

Но

ь

lim

ия-f-oo.

+ooJZ>* -

X

а,

h

вместе с

Поэтому при д->-|-оо

интеграл J/(x)rfx,

а

ним

b

О,

+оо

J f (х) dx

и р (л) dx не имеет конечного предела,

то есть

а

а

расходится.

3. Интегралы от неограниченных функций

Выше было доказано,

что

необходимым

условием

суще-

ft

является ограниченность

функ-

ствования интеграла аf f

(x)dx

ции /(х) на отрезке [а,

Ь].

Однако при помощи новых опреде­

Пусть функция f(x) непрерывна в полуинтервале

[а, д]

и неограничена в

интервале

(Ь — г, Ь), где е>0 как уГОД-

но мало. Если

ft—е

интеграл

^f(x)dx при е->0 имеет

ко-

а

нечный предел, то по определению полагают

*

f (х) dx ■— lim

ft—s

f f (x) dx.

a

«—>o

J

a

Если

b

этом

смысле существует, или,

как

Jf (x) dx в

а

говорят, сходится, то его

называют несобственным

ин­

тегралом.

Ь—Е

Если

при s -> 0

конечно-

интеграл

J/(x)dx не

имеет

b

а

го предела, Tojf(x)dx не

имеет смысла.

В этом

случае

а

b

говорят, что J/ (х) dx расходится,

а

Аналогично определяется несобственный интеграл

ь

ь.

I f (х) dx = lim

f (х) dx,

J

«-»o

J

a

a-f-s

ограничена в интервале

(a, a-J-e).

Ь) и

Если функция f (х)

непрерывна

в

интервале (а,

неограничена в интервалах (a, a -f- г') и (b—s", b), то

'по­

лагают

bob

dx,

J/(x) dx=

(x) dx-j-)*(•

a

a

c

где c — любая точка интервала (a,

b).

Это же означает, что

ь

b —e'

\ f (х) dx ==■ iim

J

dx.

J

s'-0

a

»"-»0

a+s"

Пример. Вычислить несобственный интеграл

('dx

.

n

l

—, a

>

0.

0