Файл: Определенные и неопределенные интегралы учебное пособие для студентов Н. А. Фролов Министерство высшего и среднего специального образования РСФСР, Московский ордена Ленина энергетический институт. 1960- 4 Мб.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
В самом деле, пусть функция f(x) на отрезке [а, Ь] не ог раничена. Разобьем отрезок [а, Ь] на какие угодно части. Так
как по условию f(x) |
на [а, Ь] не ограничена, то найдется такой |
|||||||
частичный отрезок |
[*„,х |
„+!**• |
], |
на котором функция /(х) |
||||
также не ограничена. |
|
|
|
|
|
|
||
Выберем точки |
е |
[xft) x* +i ] |
и составим |
интегральную |
||||
сумму |
|
|
л—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
° = S f (U |
|
|
|
|
||
|
|
|
Л-0 |
|
|
|
|
|
Зафиксируем точки £0, |
, |
*£ 0-i, ^o+i, |
... . , tn-i |
и бу |
||||
дем менять только |
е |
*[х 0, х* 0+1]. Тогда в |
интегральной |
|||||
сумме о |
будет изменяться только одно слагаемое:/(„)* £ |
Лх* 0. |
||||||
Так как |
надлежащим выбором |
|
в [хд.о, x* o+i] это слагае |
|||||
мое можно сделать как угодно |
большим по |
абсолютной |
||||||
величине, то и абсолютная величина всей суммы а |
может |
|||||||
быть сделана как угодно большой. |
|
|
|
|||||
Отсюда следует, что сумма ст |
при Ах -> О не может иметь |
|||||||
предела, |
и поэтому функция f(x) |
на отрезке [а, |
Ь] не интегри |
|||||
руема.
Заметим, что ограниченность функции не является доста точным условием ее интегрируемости.
Так, например, функция Дирихле:
■D(x) = l, если х рационально, £)(х)=0, если х иррационально,
ограничена на любом отрезке [а, Ь], но не интегрируема на
этом отрезке. |
|
|
|
|
|
|
|
||
В самом деле, при любом разбиении отрезка [а, |
Ь] на |
||||||||
части [хЛ, .Xfe+i] мы можем взять точки |
e [xk, |
+i]x* |
так, |
||||||
чтобы все |
они |
были рациональными. |
|
Тогда |
для |
D (х) на |
|||
отрезке |
[а, |
д] |
интегральная сумма о |
равна |
|
|
|
||
|
|
|
п—1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 1 Ч = 6 - Д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Л-0 |
|
|
|
|
|
|
Но при |
любом разбиении отрезка [а, |
|
точки |
е [xft, xft+!] |
|||||
можно выбрать и так, |
чтобы все они |
были |
иррациональ |
||||||
ными. Тогда для D (х) |
интегральная |
сумма |
будет |
равна |
|||||
п—\
£*0Дх = 0.
Л-0
9
Итак, при любом как угодно малом Ах есть значения о, равные Ь—а и равные 0. Следовательно, при Ах^ 0 интег ральная сумма о для функции D(x) предела не имеет, то есть функция Дирихле не интегрируема на [а, Ь}.
Достаточные условия интегрируемости функции мы имеем в следующих теоремах, которые примем без доказательства.
Теорема 1. Всякая непрерывная на отрезке [а, Ь] функция интегрируема на этом отрезке.
Выше мы определили |
площадь S криволинейной |
тра- |
|||
|
|
|
ZZ—' 1 |
|
|
пеции |
аАВЬ (черт. |
1) как предел суммы У f (?ft) |
ДхА |
при |
|
Дх-► 0, если этот предел |
к-0 |
|
этом |
||
существует. Так как |
при |
||||
|
л —1 |
|
|
|
|
сумма |
У /(U |
была составлена для непрерывной функ- |
|||
|
л-о |
|
Ь], то, согласно теореме 1, |
этот |
|
ции f (х) на отрезке [а, |
|||||
предел действительно-существует, а именно: |
|
|
|||
|
|
л—I |
b |
|
|
|
«т У f (U ДхЛ = f f (х) dx. |
|
|
||
|
Дх-0 |
Л-0 |
J |
|
|
|
|
а |
|
|
|
Следовательно, площадь S криволинейной трапеции аАВЬ выражается формулой:
ь
S — J f (х) dx.
а
В этом заключается геометрический смысл определенного интеграла от непрерывной функции.
Теорема 2. Если функция f(x) на отрезке [а, Ь] ограни чена и имеет лишь конечное множество точек разрыва, то она интегрируема на этом отрезке.
4. Свойства определенного интеграла
Остановимся на некоторых свойствах определенного ин теграла. При этом мы будем предполагать, что все рассмат
риваемые здесь функции либо непрерывны, либо ограничены и имеют лишь конечное множество точек разрыва на отрезке интеграции, то есть удовлетворяют достаточным условиям ин тегрируемости.
10
I. При перестановке пределов меняется только знак интег
рала, то есть |
|
|
b |
|
|
|
а |
|
|
|
(I) |
||
J f (х) dx ~ |
|
f (х) dx. |
||||
» |
|
|
а |
|
|
|
В самом деле, если, например, а<^Ь, то |
в |
интегральной |
||||
сумме |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
° = S f |
|
|
|
||
|
а |
b |
|
|
|
|
соответствующей |
интегралу |
/ (х) dx, |
все |
&xk = xs+i — |
||
j |
||||||
— xk > 0, а в интегральной |
а |
|
|
|
||
сумме |
|
|
||||
|
*'= S |
|
|
|
|
|
|
ь |
а |
|
|
|
|
|
|
f (х) dx, |
|
Axj = х'+1 — |
||
соответствующей |
интегралу j |
все |
||||
|
|
4> |
|
|
|
|
— x't < 0, так как нумерация точек деления отрезка инте грации ведется от нижнего предела к верхнему.
$0 |
<0 Х! |
Хк %к |
ХП-1 ?п_, &п |
d------ ---------------------- 1—ч-------•------ 1------------- 1------ •-------1/ |
|||
|
Ir»-t |
|
**'• |
|
|
Черт. 2. |
|
Поэтому каждому а |
соответствует такое а', что |
|
|
|
|
а' = — а |
|
(черт. |
2). Отсюда и следует равенство (1). |
|
|
II. |
Постоянный множитель можно выносить за знак интег |
||
рала, |
то есть |
ь |
|
|
ъ |
(II) |
|
|
J с f (х) dx = с J /(х) dx |
||
|
а |
а |
|
(с—любая постоянная). |
|
|
|
В самом деле, при любом разбиении отрезка [а, Ь]
Л—1 |
п—1 |
S С f |
ДЛ* = С S f ^Хк- |
И
Отсюда, переходя к пределу при Ах *- 0, получим равенство
(II).
III. Интеграл от суммы двух (а значит, и любого фиксиро ванного числа) функций равняется сумме интегралов от этих функций:
ь |
ь |
ъ |
J 1/1 (•*) + /2 (-*)] |
dx = f |
f, (%) dx 4- J f2 (x) dx. (Ill) |
a |
a |
и |
Для доказательства этого свойства достаточно заметить, что при любом разбиении отрезка [а, Ь} имеет место равенство
л—1 |
|
|
я—1 |
|
л—1 |
|
|
S [Л |
|
|
= S /1 |
|
|
|
|
ь—о |
|
|
k-o |
|
*=о |
|
|
которое |
и превращается в |
пределе |
при |
Ах -► 0 |
в |
равен |
|
ство (III). |
|
|
|
|
|
|
|
IV. Интеграл от разности двух функций равняется разно |
|||||||
сти интегралов от этих функций: |
ь |
|
|
|
|||
» |
|
ь |
|
|
|
(IV) |
|
J [/ (х) — <р (х) ] dx — J f (х) dx — J <р (х) dx. |
|||||||
а |
|
|
а |
|
а |
|
|
Это вытекает из свойств (II) и |
(III), |
так как |
|
|
|||
|
*/(•) |
— ? (X) = f (х) -4- (-1) ? (X). |
|
|
|||
V. |
При любых а, b |
и с имеет место равенство |
|
||||
|
Ь |
с |
Ь |
|
f (-x) dx. |
|
|
|
f (х) dx = *j |
f(x) dx -f- J |
|
(V) |
|||
|
sac |
|
|
|
|||
Докажем равенство (V) сначала для случая, |
когда с со |
||||||
держится между а и Ь. |
|
|
|
|
|
||
Пусть а < с < Ь. Мы имеем
ь П—1
f (х) dx = lim V f (|А) |
Axft, |
|
a |
Дх — 0 " |
|
k—0 |
|
|
n-l |
|
|
где сумма /($Л) ДхА |
составлена для |
разбиения отрезка |
12
[а, Ь]. Учитывая, что интеграл не зависит от способа деления отрезка интегрирования, точку с мы всегда можем включить
вчисло точек разбиения отрезка [а, Ь]. Пусть (черт. 3)
а— х0 < xt < ха < . . . < хр == с < Xp+i < . . . < ха — Ь.
Тогда получим: |
|
а—1 |
|
|
|
|
л—1 р—1 |
|
|
|
|
|
S /«») **» |
= £/ (у Ах, + £ f (t»> |
|
||
|
А—О |
Л—0 |
С |
к^р |
|
|
|
|
|
|
|
а|------- 1-------j-------b—I-------1--------1------- 1-------1— ------- |д |
|||||
Хр |
Xl |
|
Xfl-/ Хр |
Xpt) |
zn |
|
|
Черт. 3. |
|
|
|
Переходя в этом равенстве к пределу при Дх-> |
0 и учиты |
||||
вая, что |
|
|
р—1с |
|
|
|
Hm J f |
Сf(x)dx, |
|
||
|
J |
|
|||
|
Az-»0 м |
|
|
|
|
|
Л-0 |
|
а |
|
|
|
п—\ |
/ (U |
Ь |
dx> |
|
|
Нто |
= J f |
|
||
|
к—р |
с |
|
|
|
мы получим требуемое равенство (V).
Рассмотрим случай, когда с не содержится между а и Ь. Пусть, для определенности, а<^Ь<^с. Тогда по доказанному имеем:
|
|
с Ь |
с |
f (x) dx, |
j f (х) dx = J |
f (x) dx + J |
|||
a |
|
a |
b |
|
и поэтому |
|
|
|
|
bee |
f (x) dx. |
|||
J f (x) dx = J |
f (x) dx — J |
|||
a |
a |
|
b |
|
Отсюда, учитывая, |
что |
& |
|
|
|
J |
f (x) dx — — J f (x) dx, |
||
|
b |
|
C |
|
опять получим: |
|
b |
|
|
b |
c |
|
f (x) dx. |
|
a |
f(x)dx = |
f(x)dx |
||
|
a |
c |
|
|
13
