Файл: Чеботарев Н.А. Построение схем сложения и вычитания в электронных цифровых машинах [пособие].pdf

Г л а в а III

СОКРАЩЕНИЕ ВРЕМЕНИ СЛОЖЕНИЯ

3.1. Общие положения

Для выяснения возможных путей сокращения времени сложе­ ния рассмотрим выражения (2.6) и (2.7), определяющие время сложения в сумматоре с последовательным переносом. Анализ этих выражений показывает, что основная часть времени сложения тра­ тится на распространение переносов. При этом доля времени рас­ пространения переносов в общем времени сложения растет с уве­ личением разрядной сетки. Следовательно, для сокращения време­ ни сложения нужно уменьшить время распространения переносов или исключить его вовсе. Так как время распространения перено­ сов определяется временем формирования переноса в одном раз­ ряде (‘пер или /тг-Из) и количеством разрядов сумматора п, кото­ рые последовательно проходит перенос, то возможны два пути со­ кращения времени сложения.

Первый путь,— переход к более быстродействующим элементам (сокращены £Пер); второй путь — сокращение количества разрядов сумматора, через которые проходит перенос.

Первый путь достаточно ясный; и поэтому остановимся на рас­

смотрении второго пути, который позволяет Значительно повысить быстродействие сумматора без повышения быстродействия его эле­ ментов, а также может применяться и в сочетании с первым путем.

Идея, положенная в основу второго пути сокращения времени сложения, состоит в создании из отдельных логических элементов

быстродействующей цепи распространения переноса. С этой целью сумматор строится не на одноразрядных сумматорах, а на однораз­ рядных полусумматорах. Группа полусумматоров, на которые по­ даются слагаемые, формирует в каждом разряде поразрядную сум­

му Я /и перенос Q 'K. Поразрядные суммы и переносы поступают в быстродействующую цепь распространения<переносов. Затем на вторую группу полусумматоров поступает поразрядная сумма и распространившиеся переносы, в результате чего на выходе полу­ сумматоров образуется полная сумма двух чисел*

4 0

Общая структура сумматора с цепью распространения перено­ сов показана на рис. 20.

Рис. 20

Запишем общие выражения для суммы Р к и переноса Q Kв «-том разряде сумматора:

QК--A kBkQk—1 ^ kBkQk—i N/^K^kQk—1V ^ k^ kQk—ь

где Лк и Вк—к-тые разряды слагаемых. Преобразуем эти выраже­

ния, вынося за скобки общие множители:

Рк ^ ( А КВК A,s k)q k . У(А~к1ГУАк В Ж -и

Выражение в первых скобках — это сумма по модулю 2 (пораз­ рядная. сумма), а во вторых скобках отрицание этой суммы. Сле­ довательно,

41

Величины P 'к (поразрядная сумма) и Q 'K (поразрядный пере­ нос) получаются на выходе полусумматоров, на входы которых по­ даются слагаемые и Вк . Выражение (3.4) описывает работу цепи формирования переноса, а выражение (3.2) — получение пол­ ной суммы.

Структура быстродействующей цепи распространения перено­ сов зависит от типа полусумматоров (накапливающие или комби­ национные) и .от требований, предъявляемых к быстродействию и затратам оборудования. Поэтому возможно большое количество вариантов построения цепи распространения переносов. Ниже рас­ сматриваются только некоторые из возможных вариантов, приме­ нительно к сумматорам накапливающего и комбинационного типа, наиболее ясно представляющие основную идею.

3.2. Сумматор со сквозным переносом

При построении сумматора со сквозным переносом в качестве полусумматоров для получения Р 'к и Q'K, используем триггер со счетным входом и дифференцирующей цепью (рис. 21). Так как такой полусумматор хранит результат сложения Р 'к,то его можно использовать также и для получения Pk—P'k(BQk~i-

в*, в .

Построим цепь распространения переносов согласно выраже­ нию (3.4). Структура одного разряда цепи приведена на рис. 22. Такую цепь называют цепью сквозного переноса. Сущность рабо­ ты цепи сквозного переноса состоит в следующем. Если в какомлибо разряде поразрядная сумма равна единице, то^перенос из со­ седнего младшего разряда пройдет, минуя этот разряд по цепи сквозного переноса. Возможен случай, когда перенос из самого младшего разряда пройдет по цепи сквозного переноса до самого старшего разряда. Это будет иметь место при условии, что во всех разрядах между младшим и старшим поразрядная сумма равн'а

42

единице. Поясним сказанное числовым примером.

П р и м е р . А= 10101; В= 01011. Найдем сумму А+В, образовав поразрядную сумму и прибавив перенос:

10101

+01011 1—перенос

и п

+11110—поразрядная сумма

100000—сумма

Подключив цепь сквозного переноса к триггерным ячейкам сум­ матора в соответствии с выражением (3.4) и (3.2), получим сум­ матор со сквозным переносом. Один из возможных вариантов схе­ мы сумматора со сквозным переносом приведен на рис. 23.

Кроме полусумматоров и цепи сквозного переноса, схема в каж­ дом разряде содержит линии задержки и элементы «И» в цепи об­ разования переноса.

Назначение линий задержки такое же, как и в сумматоре с по­ следовательным переносом, а именно — задержать подачу перено­ са на вход триггера до тех пор пока триггер не примет устойчивого состояния после прихода второго слагаемого.

Элементы «И» в цепях образования переносов необходимы для устранения вторичных (ложных) переносов. Вторичным называют перенос, возникший в результате сложения поразрядной суммы Р 'к с переносом QK-i- Необходимость устранения вторичных переносов вызвана тем, что распространение переносов может идти двумя путями: по цепи сквозного переноса и от разряда к разряду. Коль скоро перенос прошел по цепи сквозного переноса, то распростра­ нение переносов от разряда к разряду должно быть исключено, так как они являются уже лишними. Исключение вторичных пере­ носов достигается тем, что управляющий сигнал S Iiep подается на

43

элементы «И>> только на время образования переносов, поступа­ ющих в цепь сквозного переноса. Когда же возникают вторичные переносы, сигнал 5 пер отсутствует, элементы «И2» закрыты и вто­ ричные переносы в цепь сквозного переноса не проходят. Изложен­ ное иллюстрируется временной диаграммой работы сумматора со сквозным переносом при сложении чисел А=011 и В=001, приве­ денной на рис. 24.

Рис. 24

Определим время сложения дополнительных кодов при «-раз­ рядной числовой части в сумматоре со сквозным переносом. Это время складывается из времени образования поразрядной суммы тг> времени распространения переносов и времени суммирования

где

/„—время срабатывания элемента „И“;

/нли—время срабатывания элемента „ИЛИ*;

/т,—время изменения состояния триггера;

U—время задержки в линии задержки.

44

приводит к сокращению времени сложения.

Подсчитаем соотношение времен сложения на числовом при мере.

Пример: Пусть п —40, *тг— \мксек, t3=Q,5MfcceK,

tu~Q,025MKcen, \ят1—0,025мксек.

Для сумматора с последовательным переносом

Гслв=40( 1 +0,5)4-1 =61 мксек.

Для сумматора со сквозным переносом

7 С;1С"=39(0,025+0,025)+2+0,5=4,АЪЛксек.

Отношение времен распространения переносов будет

1+0,5

0,025+0,025 =30.

Таким образом, мы видим, что применение цепи сквозного пере­ носа в накапливающих сумматорах дает весьма существенное со­ кращение времени сложения.

Сумматоры комбинационного типа содержат в своей структуре цепь сквозного переноса, так как одноразрядные сумматоры стро­ ятся. либо по выражениям (3.2) и (3.4), либо для формирования переноса в них используется выражение

Qk= Д кВк V ДкQк-TV В к QK. \—А кВк \/(Д к \/ Вк)Qk- i-

Эта цепь переносов показана на рис. 25 жирными линиями.

Поэтому никаких дополнительных элементов для образования цепи сквозного переноса не требуется. С целью сокращения време­ ни сложения элементы цепи переноса можно выполнить более быстродействующими по сравнению с другими элементами. В этом

45

случае сумматор комбинационного типа также называют суммато­ ром со сквозным переносом.

3.3.Сумматор с одновременным переносом

Всумматоре с одновременным переносом используются одно­ разрядные полусумматоры комбинационного типа. Для получения одновременного переноса во всех разрядах необходимо иметь ин­ дивидуальные цепи переноса для каждого разряда. Структурные схемы этих цепей получим, записав логические выражения для пе­ реноса в каждом разряде. В качестве исходного используем выра­

жение (3.4).

Выражение для переноса в младшем разряде будет

Qi = Q/,=/4jBi.

Формируется этот перенос на выходе одноразрядного полусум­ матора, и, следовательно, для его формирования никаких дополни­ тельных элементов не требуется.

Выражения для переноса во втором разряде и всех следующих

Q*^Q W Q .P^=Q W Q V ^V Q '2P'2P'3VQ',P/i/>'2P,s

итак далее.

Полученные выражения (3.6) позволяют построить схему сум­ матора с одновременным переносом, которая приведена на рис. 26.

46

Нетруднб видеть, что перенос в любом разряде, кроме первого, в каждом конкретном случае формируется с помощью двух логи­ ческих элементов одного из элементов «И» и элемента «ИЛИ». Следовательно, переносы во всех разрядах формируются одновре­ менно, а время формирования определяется временем прохождения сигналов через элемент «И» и элемент «ИЛИ».

Время сложения в сумматоре с одновременным переносом бу­

дет

где

h —время образования поразрядной суммы;

tK—время переходного процесса в элементе „И";

^или—время переходного процесса в элементе „ИЛИ“.

Как видно из выражения (3.7), время сложения не зависит от количества разрядов и, таким образом, обеспечивается максималь­ но возможное быстродействие при заданных элементах.

Однако количество оборудования, необходимое для построения цепей переносов, чрезвычайно велико и очень быстро растет при увеличении количества разрядов сумматора. Поэтому схема одно­ временного переноса может быть применена только для суммато: ров с небольшим количеством разрядов (известны схемы шести­ разрядных сумматоров).

3.4. Сумматор с групповым переносом

Общая идея построения сумматоров с групповым переносом за­ ключается в том, что все разряды сумматора разбиваются на груп­ пы и осуществляются две цепи распространения переносов: одна внутри группы, а другая между группами. Эту вторую цепь назы­ вают цепью группового переноса.

Работа цепи группового переноса заключается в том, что если в каждом разряде группы поразрядная сумма равна единице, то перенос из предыдущей группы проходит по цепи группового пере­ носа в следующую группу.

Если группа имеет разряды к-й, (/с+1)-й и (к+2)-й, то логиче­ ское выражение для цепи группового переноса будет иметь вид

Схема участка цепи группового переноса, реализующая выра­ жение (3.8), приведена на рис. 27.

Перенос внутри группы (З'к+гможно формировать различными способами: либо в виде сквозного переноса (рис. 23), либо в виде одновременного переноса (рис. 26).

Также и групповой перенос Q к+2 можно формировать в виде

47

сквозного или одновременного переносов. Таким образом, Moryt быть получены различные варианты сумматоров с групповым пере> носом.

Рис. 27

Меньшие дополнительные затраты оборудования получаются в( случае формирования группового переноса в виде сквозного. По­ этому ниже рассматриваются именно такие сумматоры.

I. СУММАТОР С ГРУППОВЫМ ПЕРЕНОСОМ и с к в о з н ы м и ПЕРЕНОСАМИ В ГРУППАХ

В каждой группе, состоящей обычно из 3-4 разрядов, может быть использована схема сумматора со сквозным переносом, при­ веденная на рис. 23.

Для распространения переносов между группами используется вторая цепь сквозного переноса— цепь группового переноса.

Схема цепи группового переноса для 3 групп разрядов сумма­ тора приведена на рис. 28.

Определим время сложения в «-разрядном сумматоре с группо­ вым переносом, имеющим в каждой группе к разрядов.

Время сложения будет складываться из времени распростране-

п

ния переносов по цепи групповых переносов через------2 группы и

К

времени сложения в двух крайних группах со сквозным переносом и будет равно

48

где

^ Гр --(# 0(^И+^ИЛи)+ ^Тг!

или окончательно

Подсчитаем время сложения для примера на стр. 46, разбив сумматор на группы на четыре разряда, то есть.полагаем

я—40, к=А, I тг—1 мксек, /3=0,5 мксек,

t„= fили= 0,025 мксек.

Тогда

Г гпсл= ^"4+4^0,025+0,025 j+ 2 + 0,5=3,2мксек.

Таким образом, применение группового переноса позволило со­ кратить время сложения почти в полтора раза по сравнению с сум­ матором со сквозным переносом.

Уменьшение времени сложения при использовании группового переноса будет тем ощутимей, чем больше разрядов имеет сумма­ тор. Количество оборудования при этом увеличивается незначи­ тельно.

2. СУММАТОР С ГРУППОВЫМ ПЕРЕНОСОМ И ОДНОВРЕМЕННЫМ ПЕРЕНОСОМ В ГРУППАХ

■ Как указывалось в § 3.3, осуществление одновременного пере­ носа во всех разрядах сумматора является нецелесообразным в связи с большими затратами оборудования. Если же использовать одновременный перенос в группах из 3—4 разрядов, а между груп­ пами осуществить сквозной перенос, то можно получить приемле­ мое решение по количеству оборудования.

Схема одной группы из 3 разрядов' с одновременным переносом приведена на рис. 29, а соединение групп между собой — на рис. 30. Элементы «И» на четыре входа и «ИЛИ», показанные на рис. 29 жирными линиями, являются элементами цепи группового перено­ са и реализуют выражение (3.8).

Определим время сложения в сумматоре с групповым переносом с цепями одновременного переноса в группах. Время сложения определится выражением (3.9), в котором

^гр — -Ь ^и+^или-

Следовательно,