Файл: Штагер В.В. Чебышевские приближения, применяемые в расчетах электрических схем.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 05.04.2024
Просмотров: 67
Скачиваний: 0
V
ГОС, публичная’ |
[ 3 |
6 0
ПРЕДИСЛОВИЕ
Современная теория синтеза электрических цепей базируется в значительной части на теории равномерных приближений. Между тем, в работах отечественных и зарубежных авторов, относящихся к теории синтеза, вопросы теории равномерных приближений обыч но не излагаются или даются очень кратко с освещением лишь отдельных задач. Использование подобной математической литера туры для инженеров затруднительно, так как оно требует спе циальной теоретической подготовки.
В настоящей лекции собраны задачи равномерного приближе ния непрерывных функций с помощью полиномов и рациональных дробей, которые применяются или могут применяться для решения задач по технике связи. Изложение этого материала позволяет инже неру, имеющему знания по общему курсу анализа в объёме техни ческого вуза, ознакомиться с аппаратом равномерного приближения без привлечения дополнительной литературы.
Все замечания по лекции следует направлять в Связьиздат по. адресу: Мссква-центр, Чистопрудный бульвар, 2.
Техническое управление Министерства связи СССР
1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ
Современная теория электрической связи становится наукой ма тематической. Синтез электрических схем, т. е. построение этих схем по наперёд заданным характеристикам, становится основой расчётов самых разнообразных устройств техники связи.
Повышение требований к точности расчёта, а также стремление получить наиболее оптимальные решения способствуют широкому введению синтеза в инженерную практику. Решение задачи синте за любой электрической схемы складывается из последовательного
.выполнения трёх отдельных этапов: 1) представление электрической характеристики, положенной в основу расчёта (а иногда одновремен но нескольких характеристик) в виде некоторой функции от неза висимой переменной и произвольных параметров; 2) приближённое представление этой функции посредством функции более узкого класса, либо непосредственное определение свободных параметров, исходя из условия наилучшего приближения к заданной характери стике; 3) видоизменение полученного выражения с целью явного выделения электрических элементов схемы и физическое' осущест вление схемы. Условия физической осуществимости схемы учитыва ются уже на первом этапе решения, где они определяют класс или вид функции, представляющий ту или иную электрическую харак теристику. Если первый и третий из указанных этапов основаны главным образом на использовании законов электротехники, в част ности теории электрических схем, то второй этап состоит из чисто математических операций, являющихся элементами современной тео рии приближения или теории конструирования функций.
Теория приближения функций представляет собой хорошо раз работанный теоретически и имеющий обширные практические при менения математический аппарат, включающий три раздела:
1) интерполяционные способы приближений,
2) квадратические или степенные способы приближений,
3) равномерные или наилучшие способы приближений. Ограничиваясь лишь общей характеристикой первых двух спосо
бов, мы рассмотрим третий из них. Это объясняется тем, что рав номерные приближения, являясь наиболее совершенным способом приближения, наиболее часто и успешно применяются в теории син теза электрических схем.
4
При интерполяционном способе, или точечном интерполировании приближающая функция совпадает с приближаемой в определён ных, заданных, точках интервала приближения. Для получения достаточно хорсшего приближения в этом случае необходимо иметь большое число точек интерполяции, что связано с громоздкими
расчётами. |
Но даже и в этом случае мы не можем быть уверенными |
|
в том, что |
между точками |
интерполяции уклонение реальной ха |
рактеристики от заданной |
не превзойдёт допустимые значения. |
В случае квадратических приближений обращается в минимум интеграл вида
j [ P ( x ) ~ f (x)fd'b(x), |
(1.1) |
il |
|
называемый интегралом Стилтьеса. Здесь Р (х) — полином степени п, f (х) — непрерывная в [а, Ь] приближаемая функция, а ф (х) — некоторая функция, не убывающая в промежутке [а, b] и называ емая интегральным весом. Если ф (х) — ступенчатая функция, т. е. меняет свои значения лишь в некоторых точках х, промежутка \а, Ь)
(скачками), то |
интеграл (1.1) принимает вид суммы |
|
||
|
|
т |
|
|
|
|
1=0 |
|
( 1- 2) |
|
|
|
|
|
где |
pt— веса, |
характеризующие |
различную значимость разнести |
|
\Р(лД— / (х )] |
на разных участках |
промежутка [а, Ь\. |
Если функ |
|
ция |
ф (х) имеет непрерывную производную ф'(х) = р (х), |
то интеграл |
||
(1.1) |
приводится к виду |
|
|
|
|
|
ь |
|
|
|
|
f р (х) [Р (х) — f(х)]Чх, |
(1.3) |
|
|
|
а |
|
|
где р (х) также играет роль веса (в данном случае дифференциаль ного).
Квадратические приближения возникли в результате совершен ствования интерполяционного метода. Действительно, если взамен условия обращения в нуль разностей
Р(х,) — f (Х;)
вт -'t- 1 точках (i = 0,1, . . . т) поставить условие обращения в минимум выражения
т
2 [ ^ , . ) - /( х , . ) Р
г'=0
в тех же т -Г 1 точках рассматриваемого промежутка, то степень полинома Р (х) может быть взята Д4еньше чем т, что упрощает ре шение задачи. Умножая выражение, стоящее под знаком суммы, на функцию веса и устанавливая тем самым различную значимость
отдельных участков рассматриваемого промежутка, мы придем к выражению (1.2). Заменяя далее сумму интегралом и полагая, что функция веса имеет производную в любой точке рассматриваемого промежутка, можно придти к выражению (1.1). Если в приведён ных формулах вместо квадрата принять первую степень разности JР (х) — f (х)], то задача заключается в обращении в минимум площади, заключённой между кривыми Р (х) и f (х) в рассматриваемом про межутке. Если этот показатель степени больше двух, то прибли жение называется степенным и нахождение его связано с больши ми практическими трудностями. Степень два получила наибольшее распространение потому, что приближение в этом случае может быть практически найдено, так как после дифференцирования вы ражения (1.1) получается линейная система уравнений.
Равномерные или наилучшие приближения предполагают обра
щение в минимум выражения |
|
max| Р(х) — f (х) I , |
(1.4) |
[«. ь\ |
|
которое называется уклонением Р (х) от f (х) . В дальнейшем мы будем пользоваться этим термином без пояснения. Как и в случае квадратичных приближений, уклонение может быть взвешенным и записывается тогда в виде
|
|
|
|
max q(х) IP (х) — f(x) I. |
|
|
|
(1.5) |
|||||
|
|
|
|
|
Щ.б] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Равномерные приближения являются |
наиболее совершенными по |
|||||||||||
сравнению |
с другими |
видами |
приближений, так как при заданной |
||||||||||
наперёд величине |
уклонения |
можно |
быть |
уверенным в том, |
что в |
||||||||
одной |
из |
точек |
рассматриваемого |
промежутка |
отклонение |
Р (х) |
|||||||
от f (х) |
не превосходит этой заданной величины. Эти при |
||||||||||||
ближения |
называются |
также чебышевскими |
или |
наилучшими |
|||||||||
в |
смысле |
Чебышева, так как условия этого вида приближе |
|||||||||||
ний |
были |
впервые |
сформулированы |
П. |
Л. |
Чебышевым |
[Л 16]. |
||||||
В |
дальнейшем |
теория |
равномерных |
приближений |
была |
раз |
вита учениками и последователями П. Л. Чебышева—-Е. И. Золо тарёвым Л8], А. А. и В. А. Марковыми |Л10, 11], С. Н. Бернштей
ном |Л5], |
Н. И. Ахиезером [Л 1,2], |
В. |
Л. |
Гончаровым |
[Л7], |
|
И. П. Натансоном [Л 12] |
и др. |
|
|
|
син |
|
Приложение теории равномерных приближений к вопросам |
||||||
теза электрических схем, |
в частности |
к |
расчёту электрических |
|||
фильтров, |
было впервые предложено Кауэром |
в 1932 г., а позд |
нее было положено в основу целых разделов теории электрической связи в книге Кауэра, изданной впервые в 1941 г. |Л20]. В со ветской науке применение этой теории более всего выражено в тру дах А. Ф. Белецкого [ЛЗ, 4], С. С. Когана [Л9] и В. А. Тафта |Л15J. Книга В. А. Тафта является наиболее полной монографией по синтезу электрических цепей, заданных частотными характе ристиками.
6
В настоящей лекции собраны основные задачи теории равномер ных приближений, которые применяются или могут найти примене ние в вопросах синтеза электрических схем.
Для более ясного представления о практической ценности при водимых ниже математических задач рассмотрим кратко две задачи синтеза, линейных цепей, которые приводят к необходимости при влечения аппарата приближения.
1. Расчёт однозвенного балансного контура (по Белецкому). Для получения максимальной устойчивости телефонного канала, состоящего из усилителей, линии и дифференциальных систем, не обходимо в рабочем диапазоне частот сделать наименьшим выраже ние
К ( ? )
\ R - R C\
\Zc\
где К (f) — коэффициент усиления усилителя,
Zc — волновое сопротивление линии, активная составляющая которой равна Rc,
R — сопротивление балансного контура.
При этом предполагается, что балансный контур состоит из сопротивления R и ёмкости С, включённых последовательно, причём значение ёмкости определяется однозначно из условия задачи.
Поставленная задача приводит к необходимости найти в задан ном диапазоне частот наилучшее приближение функции Rc с по мощью полинома нулевой степени (постоянного) R.
2. Расчёт фильтра с заданной характеристикой рабочего затуха ния (по Кауэру). Рабочее затухание фильтра нижних частот выражается формулой
bp, = In 1/1 + |? (2)|2 ,
где » ( 2) — чётная или нечётная функция, представляющая собой отношение двух полиномов, т. е. рациональную дробь.
Если поставить условие, чтобы рабочее затухание фильтра при некоторой частоте 2 ” 1полосы задерживания было равно затуханию эхо при частоте У полосы пропускания, то это условие можно за писать в виде
max |® (2)| = |
L при 0 < 2 < у < 1 |
|||
и |
|
|
2 > k = -лГ1. |
|
шах —^— = •— |
при |
|||
I?(2)l |
L |
|
|
|
При этом дробь ср (2) |
должна |
принимать |
обратные значения |
|
при замене переменного 2 |
обратной |
величиной. |
Если исходить из |
|
того, что величина L должна быть |
наименьшей, то задача сводит |
|||
ся к нахождению рациональной |
дроби, которая |
на одном из двух |
||
заданных интервалов изменения |
переменного наименее уклоняется |
от нуля, а на втором из этих интервалов принимает наибольшие значения.
Свойства функции, определяющие расположение точек макси мального. уклонения этсй функции от заданной непрерывной функции и величину этого уклонения, принято называть экстремаль ными свойствами данной функции.
Две кратко сформулированные выше задачи по технике связи при водят к несбходимссти исследования экстремальных свойств поли номов и' рациональных дробей. Ниже эти задачи будут рассмотре ны более подробно, при этом будут показаны их решения, полученные с помощью теории равномерных приближений.
Вопросы апроксимации функций комплексного переменного, в частности аналитических функций, пока очень редко применяются в теории связи и в данной лекции они не рассмотрены. Многие по ложения даны, в лекции без доказательств, что объясняется огра ниченностью объёма лекции, однако это относится лишь к тем случаям, когда использование формулы или теоремы не затрудня ется отсутствием доказательства. Наибольшую практическую труд ность вызывают задачи, использующие теорию и преобразование эллиптических функций.
Между тем, эти задачи положены в основу расчётов современ ных электрических фильтров. В связи с этим решение третьей задачи Золотарёва дано со всеми подробностями, включая основные моменты теории эллиптических функций.2
2. ТЕОРЕМЫ ВЕЙЕРШТРАССА.
Теория равномерных приближений даёт ответы на следующие вопросы:
1) можно ли любую функцию / (х), заданную в некотором проме жутке, представить полиномом с любой заданной степенью точности; 2) если ответ на первый вопрос положителен, то какова конст
рукция приближающих полиномов;
3)какая может быть получена точность приближения, если заранее ограничить степень полинома;
4)каковы возможности приближения функции с помощью раци ональных дробей;
5) |
каковы условия минимального уклонения функций от нуля |
||
и от |
постоянной величины (как частный случай предыдущих задач); |
||
6) каковы возможности приближения функций, заданных на |
|||
двух или нескольких промежутках. |
Вейерштрасса. |
||
Ответ на первый |
вопрос даётся в двух теоремах |
||
В соответствии с |
первой теоремой Вейерштрасса, |
всякая функ |
ция действительного переменного f (х), непрерывная на конечном замкнутом промежутке [а, Ь], может быть представлена полиномом с любой наперёд заданной степенью точности. Иначе говоря, сущест вует такой полином Р (х), что как бы ни было мало положитель-
8