Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 65
Скачиваний: 2
2. Введем аксиомы, которые назовем первой группо
аксиом:
I. Аксиомы и правила вывода исчисления предикатов первой ступени для формул РР взяты для определенности
из [5]. |
При произвольных п и т, п Ф т: |
|
||||
II. |
|
|||||
|
(Eyi) ... (Еуп) lit/j., .... |
У |
п ) |
£ х ..., гт)£х. |
||
Эти аксиомы истинны при интерпретации в |
силу пунк |
|||||
та б) описания области а. |
п |
|
|
|
||
III. |
При произвольных |
|
|
|
||
|
П |
|
|
|
|
|
|
П (уи ..., |
г /г - ь |
х, |
г/г+ ь |
•••, Уп)£х. |
|
|
г= 1 |
|
|
|
|
|
Эти аксиомы истинны при интерпретации в |
силу пунк |
|||||
та в) описания области а. |
|
|
|
|
||
Но |
мы допускаем, |
например, |
возможность того, что |
(Ех) (Еу) { х £ уЛу £ х ) .
Материалом для создания других аксиом служат любые замкнутые формулы РР, не доказуемые и не опровержимые каждая в отдельности из аксиом первой группы. Если любой набор таких формул добавить как аксиомы к первой груп пе, то полученную систему аксиом, если она непротиворечи ва, назовем системой РР. Добавленные аксиомы назовем второй группой аксиом.
Системами РР назовем также те системы, которые по строены как указано, но на их непротиворечивость можно лишь надеяться, а формально она не установлена.
Таким образом, мы имеем класс систем РР, которые об ладают общими аксиомами, обязательными для всех си стем (первая группа—аксиомы I, II, III), и дополнитель ными аксиомами, характеризующими индивидуальность
54
данной системы (вторая группа), т. е. индивидуальность об ласти а.
Каждая из систем РР описывает свою область а, и тре бования разных систем, вообще говоря, противоречат друг другу. Опишем некоторую конкретную систему РР, поз воляющую строить математику.
3. В качестве а0 возьмем множество объектов нулевой
ступени простой теории типов Рассела, т. е. объекты, ко торые считаются в теории типов первоначальными индиви дуумами немножественной природы (теория типов берется в соответствии с [3]; назовем эту теорию ТТ). В качестве прочих элементов а возьмем все те и только те множества, которые образуют описанную в работе [3] интуитивную модель теории типов. Это значит, что а есть сумма (по г) множеств объектов типа г (г = 0 , 1, 2, ...), которые образо ваны следующим образом: объекты типа 0 суть элементы о0,
объекты |
типа 1 суть множества объектов |
типа |
0, объекты |
||||
типа 2 суть множества объектов типа 1 и т. |
д. |
|
|
||||
Таким образом, |
для любого х, если х |
есть |
множество |
||||
и х £ а, |
длина наборов, которые являются элементами х, |
||||||
всегда равна 1. Это значит, что данная область |
а удовлет |
||||||
воряет требованию б) и поэтому для нее истинны аксиомы II |
|||||||
(а предикаты (Л,) |
при i > |
1 всюду ложны). Далее, |
если |
||||
х £ а , |
у £ а и х £ у , |
то х и у принадлежат к |
разным |
ти |
|||
пам, |
так что данная область а удовлетворяет требованию в) |
||||||
и поэтому для нее |
истинны |
аксиомы III. |
Следовательно, |
модель системы ТТ действительно может быть взята в ка честве области а, так как удовлетворяет требованиям п. 1,2
настоящей главы.
Нам теперь предстоит построить для данной области а
систему РР, т. е. нужно сформулировать вторую группу аксиом.
Пусть в соответствии с [31 индивидуальные предикаты
55
системы ТТ обозначены как Xi £ t/t+i, где индекс обозна чает тип переменной; тогда из этих индивидуальных пре дикатов строятся все формулы ТТ по обычным правилам образования. Эти формулы интерпретируются для облас ти а в соответствии с принятой в ТТ интерпретацией пре дикатов Xi£yi+1, т. е. переменная с индексом i изменяется
лишь на объектах типа i.
Определим, кроме языка РР и языка ТТ, еще смешанный
язык РР и ТТ над областью а. Индивидуальные предикаты этого языка суть следующие: предикаты (At) (а практиче
ски лишь (Л^) с описанной их интерпретацией; |
предикаты |
||
Xi £ |
yt+ 1 с упомянутой их интерпретацией; |
предикаты xt£ |
|
£ у |
и x £ yi с интерпретацией «объект х,- |
типа |
i есть эле |
мент множества у» и «объект х есть элемент множества yL типа г» соответственно, причем по-прежнему переменная с индексом изменяется лишь на объектах одного типа. Пра вила образования формул смешанного языка обы шые с обыч ной оговоркой, что квантор с индексом относится лишь к объ ектам одного типа. Интерпретация формул смешанного языка происходит в соответствии с описанной интерпрета цией индивидуальных предикатов этого языка.
Аксиомами ТТ мы в соответствии с [3 ] будем считать ак сиомы исчисления предикатов первой ступени, записанные для переменной каждого типа отдельно, а также аксиомы экстенсивности, бесконечности и свертывания.
На основании аксиом свертывания в ТТ при каждом i истинны следующие утверждения:
(Ezi+2) (yt+l) I^A'+l £ zi+2— (xi) (xi£l/i+\)]-
В интерпретации для области а это означает, что среди объектов типа i + 2 существует множество всех пустых
множеств типа i + 1. Очевидно достаточно, чтобы в модели существовало не более одного пустого множества типа г + 1.
56
То, что одно такое множество должно существовать, сле дует опять-таки из аксиом свертывания
(Eyi+,) (xt) [xi£yi+1~ {Ezi+,) (xi£zl+] Д x ;£ z,+ ,)].
Множеству пустых множеств каждого типа i присвоим в языке РР индивидуальное имя Ьслi; хотя мы получим таким образом много индивидуальных имен, в системе РР
они дедуктивно неразличимы, так как для них может быть записана лишь одна и та же аксиома
(Ex) (х£ bi+1) Л (х) [х£ Ы+1id (Еу) (у£ х)]. |
(2) |
Далее, в силу аксиом свертывания в ТТ истинно следую
щее утверждение:
{Еуг) (х0) [*„£ г/i ~ (EzJ (х0£ z}) \у (Ez^x^z,)].
В интерпретации для области а это означает, что среди объектов типа 1 существует множество всех объектов ти
па 0, т. е., что существует множество о0Этому множеству в языке РР присвоим индивидуальное имя аг.
Определим в языке РР рекурсивно предикаты щ (х),
которые в интерпретации означают «х имеет тип i»:
cto (х) ~ х £ аъ |
(3) |
ft+i (х) ~ х £ bi+2 V i(Ey) (у£ х) Л {у) [у£ х zd си (у)]].
По определению области а при любом i могут быть вве
дены следующие аксиомы: |
|
(Ex) at (х). |
(4) |
__Опишем теперь некоторый перевод формул ТТ в формулы
РР, который будет происходить по этапам через формулы смешанного языка РР и ТТ.
Введем символ Ф ( ) как метаобозначение формул (во обще говоря, смешанного языка) со свободной переменной,
67
обозначенной в скобках; например, Ф (х) может иметь вид (Eyi) («/,■£ х). Правила упомянутого перевода формул суть следующие.
a)Любое из последующих правил Ъ) — d) применяется
кформуле ТТ или смешанного языка; одноразовое приме нение этих правил избавляет одну переменную с индексом типа от индекса (во всех ее вхождениях). Если к формуле применимо более чем одно правило, то предпочтение от дается правилу d), которое применяется (для определен ности) к самой левой свободной переменной с индексом типа. Если правила Ь) — d) неприменимы к формуле, то
правила Ъ) или с) применяются (для определенности) к самой левой ее части, к которой это возможно, а осталь ная часть формулы не меняется. Формула, полученная в ре зультате применения правил a)—d), есть объект для после дующего применения этих правил и т. д. до тех пор, пока это возможно. Результат последнего применения этих пра
вил есть искомая формула РР.
b) Формула (Exi) Ф (xi) заменяется на формулу
(Ех) [а/ (дг) Д Ф (*)].
c) Формула (xi) Ф (xi) заменяется на формулу
(х) [щ (*) Ф (*)].
d) Формула Ф (xi) заменяется на формулу а; (х) zd Ф (х).
Заметим, что в правилах b)—d) исходная формула и фор мула-результат интерпретируются в смешанном языке либо обе как истинные высказывания, либо обе как ложные (в последнем правиле формулы имеют интерпретацию все общности). Эта оценка истинности верна при каждом значе нии не указанных явно свободных переменных формул в Ь) — d), если такие переменные есть.
58
4.По правилам a)—d) переведем все выводимые фор
мулы ТТ в формулы РР. При этом аксиомы исчисления пре дикатов первой ступени для переменных ТТ перейдут в фор мулы РР, выводимые из аксиом I, а правила вывода ТТ после перехода к формулам РР останутся правилами вывода как метатеоремы исчисления предикатов с аксиомами (4). Докажем это.
Пусть в ТТ имеется аксиома исчисления высказываний 0) (хх, уу, .... гг). Здесь и далее везде Ф не содержит иных свободных переменных, кроме указанных в скобках, т. е. в данном случае хх, уу, ..., zz (случай, когда Ф не имеет сво бодных переменных, окажется частным случаем). Малые латинские буквы как индексы переменных означают со ответствующие этим переменным номера типов. Применяя к Ф нужное число раз правило d), получим следующую фор мулу, вообще говоря, смешанного языка:
аг (г) I э [... id К (у) id \ах (х)1эФ (х, |
у, .... |
г)]]...]. |
(5) |
К этой формуле могут применяться |
лишь |
правила |
Ь) |
и с) и, так как Ф есть аксиома исчисления высказываний, то ее кванторы не распространяются на всю ее длину, так что Ь), с) будут применяться лишь к частям Ф (которые пред ставляют собой высказывания, элементарные относительно структуры Ф как аксиомы). При этом структура Ф как аксиомы не изменится и она в конце концов перейдет в фор
мулу Ф' |
языка |
РР, являющуюся аксиомой из |
I. Поэтому |
формула |
(5) переходит в следующую формулу РР: |
||
а2(г)дэ[... |
[а,, (у) :э [а* (*) id Ф '(х, у, ..., |
г)]]...], |
которая, очевидно, доказуема средствами I из первой груп пы аксиом (так как Ф' — аксиома).
59