Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf

modus ponens:

Ф1 (Хх> Уу ,

• ••,

2г),

(ХХ’ УУ’ Zz) —5

(UW

Ww)

Ф2 (“ц, Vv......

Ww)

У>

г)]]

...],

aw (w) =3 [...

щ> К

(«) id [az (г) и ... id [ах (х) и

Щ [®i (х, у......

г)

Ф2' (ы,

v,

..., w)]]...

]]...

]

------------------------------------------------------------------------------aw (w) zd [

ZD[a„(c)

Iз [ан-----------------(м) id--

-----

;---------------------------------------------------

..,

ю)]]

] ----

,

( Ь )

Ф2 («, v,

где Ф[

(x, у,

...,z)

получено по правилам Ь), с) изФх (х,

у,...

..., г);

Ф2 (и, v........

до) — из Ф2 (и, v..........

до) и среди

пе­

ременных х, ..., z

и и,

..., до могут быть одинаковые

(это

значит, что в (6) во второй строке могут быть не все

— а„).

Пусть доказаны средствами

I

обе посылки

над

чертой

в (6). Пусть далее доказано а* (х),

ау (у),

.... az

(г), аи («),

а0 (v),

...,

(Хю (до); тогда согласно

первой

посылке

имеет

место Ф[ (х, у, ...,

г), откуда согласно второй посылке сле­

дует Ф2 (и, v, ..., до). Таким образом,

йх (х) Л ау (у) Л - Л dz (2) Л аи (и) Д aD(и) А ... Л

Л йа, (до) и> Фг (и,

V, ..., до).

(7)

Вычеркнем

в посылке этой

формулы

среди

ах (х), ...,

аг (2)

те, которые излишни, т.

е.

совпадают с

некоторыми

аи (и),

йш (до)-

Это даст нам формулу (7') (она подобна

(7) и поэтому не написана), в которой переменныех,

у, ...,г

(точнее, то,

что от них осталось) и u, v.......

до все

различны.

Она переходит в следующую формулу РР:

ах(у) ZD[й„ (й) ZD... ZD[а„ (и) =э [(х) [ах(х) Zэ

гзФ '(х , и, ..., и)]^Ф'{у, и, ..., и)]]...],

(8)

йД у):э [...:^>[йи(ы) о [(х)[йл:(х) : э Ф '(х, и,

..., u)]z)

zd [йДг/)=эФ'(г/, и,

..., о)]]]...],

которая доказуема средствами I, так как заключение импли­

кации, где посылкой служит йы(и),

есть формула, которая

является аксиомой в I.

Пусть имеем в ТТ аксиому

Ф(х*, ии, ..., ии)^э(Еух)Ф(ух, ии.......

tg .

мулы

М « )= э [-" = > [М и):=>[М .к)ЛФ '(*> ы-

ZD{Ey)[ax(y) Д Ф ' (У,

о)Ш-1

-

Ф1 {Ци......

®v) —>Ф2 (%z>

•••> Уу)

(««......

Vv) D (Zz) Ф2(z2,

Хх, .... Уу) '

=> [Ф1(«......

о) =з ®2 (г>х......

У)]] -Ш •••]

„

a , (I/) D

[...

D

[а^ W D [а„ (j)

D

... D [о„ (и) D

( '

=> [O', (и, ...

, о

D

(г) [ог (г)

d ф '

(г,

х.......

{/)]]]...]]...

].

Пусть выполнена посылка над чертой в (9); пусть далее

ау (У) Л - А М ^ Л М » )

Л -

Л <*«(«)• Это дает нам Ф,'(и,...

..., v) i d [а2(г) zd Ф^г,

х.....

у)],

откуда

(так как z отличае­

тся от и........

v)

следует

Ф1(«,

- ,

У)=3(2)[аг (2) 1ДФ2(2,

X, ...,

у)\.

Таким образом,

ау (у) Л - Л ах (х) A av(v) Л - А аи (и) zd

= ) [ ф |[(и, ....

V) ZD (Z)

[(Хг (z) ZD Ф2(2, X, ..., £/)]],

откуда, очевидно,

и следует заключение под чертой в (9).

Ф1 (гг, хх

уу) D Ф2(и ...... у£.)

(Ezz) Фх (гг, хх, .... уу) D Ф„ (ии

Vv) ’

_

где

zz отлично

от

ии,

vv.

Нужно доказать,

что

в

РР

имеется такое правило вывода:

а„ (у)

[... дэ [ов (и)

[ау (у)

z>... до [а, (*) ;э [аг (z) :э

К

(z,

* .......

У)=> Ф '2 (и.

у)]]] ...]]...]

п

аг,(у)Д0[...Г)[оа (и )= э[а ,(у )з...= > [ол.(д:)=5[(£2)[ог (г)л

(

’

A

X......

(/)]=ОФ2(гг...... У)]]-]]...].

Пусть

выполнена

посылка над чертой в (10) и

пусть

а„(и) Д ... Д

аи(ы) Д

ау (у) А ...Д

а , (л).

Тогда

а2(z)

но

z o [Ф,'(z, х,

у) zd Ф' (и,..., и)], откудааг (г)ДФ | (z,х,...,у)ZD

ZD Ф2'(ы, •••. v)

и,

так

как г

отлично от и, ...,

v,

то

(£г) [аДг) Д Ф', (г, х, ..., y)\ZD<ti2(u, ...,

у).

Таким

образом

a0(v) А ••• Д аи{и)АаУ(у)А - Да*(л:):з[(£г) [аг(г)Д

ДФ ;(г, х,

..., г/)] 1Э Ф2 (и, ...,

у)],

откуда, очевидно, и следует заключение под чертой в (10).

На

этом

с переводом исчисления

предикатов

покончим.

5.

Формулы

РР,

полученные по

правилам

a)—d) и