Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 64
Скачиваний: 2
откуда следует существование 2, указанного в заключении
VII. Из этого заключения и из (11) следует yz. Допустим
z |
<< у, |
тогда в силу аксиомы VIII |
существует у такое, |
что |
||||||||||||||||||
v |
< |
z |
Д Л (и, |
у). |
Так |
как |
у < |
z, |
то |
из |
заключения |
VII |
||||||||||
получим (Ер) (Eq) |
[р < |
у Д |
р < |
q Д |
A (q) ], |
откуда с уче |
||||||||||||||||
том |
определения |
|
А |
следует |
(Ер) (Eq) (р < |
у Л |
р < |
q А |
||||||||||||||
/\ |
у < |
у). |
Из |
последнего |
|
утверждения |
и |
(10) |
получаем |
|||||||||||||
(£/?) (р < |
|
у / \ |
р < |
|
у), что вместе с (3) и (12) дает |
Л (у, у). |
||||||||||||||||
Однако |
ранее |
мы |
имели Л (у, |
у), |
что опровергает сделан |
|||||||||||||||||
ное допущение, т. е. имеем z |
< |
у. Так как 2 (х, |
у , и), |
то |
||||||||||||||||||
х < |
и Д |
г/ < |
и, что вместе с |
(10) дает z < и. Пусть |
у та |
|||||||||||||||||
ково, что у < |
и. |
В |
силу (2) существует да такое, |
что да < |
||||||||||||||||||
< |
w Л (да < |
х V |
|
да < |
р). Допустим да < |
л:, |
тогда да < |
г/, |
||||||||||||||
откуда и из (11) wy и так как ху, то wx. Отсюда и из аксиомы |
||||||||||||||||||||||
VIII следует существование р такого, что А (р, |
х) Д р < |
да, |
||||||||||||||||||||
а так как да < |
у, |
то |
р < у. Используя это и определение |
|||||||||||||||||||
Л имеем Л (/?), откуда и по заключению аксиомы VII р < 2. |
||||||||||||||||||||||
Таким образом, если v < «, |
то существует g такое, |
что либо |
||||||||||||||||||||
q < |
у и <7 < |
х(если w |
< |
л: и взять ю |
в |
качестве |
<7), |
либо |
||||||||||||||
q << у |
и q |
-< 2(если |
да |
-< |
л: и взять /7 в качестве <7). Отсюда |
|||||||||||||||||
и так как |
л; |
< |
« |
и |
2 < |
и, |
согласно |
(2) |
заключаем, |
что |
||||||||||||
2 (x,Z, и). |
|
|
|
|
|
|
_______ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Допустим теперь, что Л (х, 2); тогда согласно (3) |
суще |
||||||||||||||||||||
ствуют у , да такие, что у < г Д |
й1< г Д |
у = да. Так как |
||||||||||||||||||||
ху и yz, toxzw, следовательно, |
уда. Так как да < |
г, то соглас |
||||||||||||||||||||
но (15) |
у |
< |
2. |
|
|
В силузаключенияVII существуют р и |
||||||||||||||||
такие, |
что |
р < |
|
|
|
у Д |
р < q д |
Л (д).По определению Л и |
||||||||||||||
ем Л (9, %) и, следовательно, |
(г) |
(г < |
х ZD р = г). |
Но |
так |
|||||||||||||||||
как |
у < |
х, то р < |
|
л;, откуда |
р = /7. Полученное |
противо |
||||||||||||||||
речие доказывает, что Л (х, г), |
что и завершает доказатель |
|||||||||||||||||||||
ство (19). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
(Ех) (Еу) [2 (х, |
у, |
г) Д Л (*, у)\. |
|
|
(20) |
21
На основании аксиомы VI для всякого г существует х такое,
что х <С z и г < х. Так как по определению!] имеем х <
< |
(л:, г, г), то , следовательно, 2 (х, z, z), что вместе |
с г < |
х позволяет применить теорему (19) (подставляя туда |
наше z вместо у и и). Но заключение в (19) и дает нам форму
лу (20). |
|
5 (х) ц> (Еу) [5 (у) Л Л (л:, у)]. |
(21) |
Эта теорема означает, что какова бы ни была ситуация х, всегда можно рассмотреть ситуацию, не имеющую с х
ничего общего. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(21) |
||||
|
Для доказательства достаточно установить, что в |
||||||||||||||||||
доказуемо заключение. Каков бы ни был х, по аксиоме VI |
|||||||||||||||||||
существует z такое, что z |
< |
х Д х < z . Это z удовлетворяет |
|||||||||||||||||
(если его подставить вместо х) посылке аксиомы XI, откуда |
|||||||||||||||||||
получим существование z', |
v, w таких, что 2 |
(z', |
v, |
ш)Д |
|||||||||||||||
Д S (w) Д z' |
= |
z Д |
Л (х, |
v). Допустим, что |
w < |
|
v, |
|
но |
||||||||||
так как 2 (г', |
и, w), |
то v < |
w, что вместе с (16) дает v = |
w. |
|||||||||||||||
В силу (9) и (11) имеем |
vw, |
откуда, |
учитывая аксиому V |
||||||||||||||||
и z' < |
до, получим, что z' |
< |
|
V. Однако это, |
учитывая z' = z |
||||||||||||||
и г < |
х, противоречит тому, |
что А (у, |
х) (см. |
(3)). |
|
Таким |
|||||||||||||
образом, допущение неверно, |
т. е до < |
v. Это вместе с v <^w |
|||||||||||||||||
позволяет применить аксиому |
XI, откуда следует сущест |
||||||||||||||||||
вование v', q, у |
таких, |
что |
|
2 (г/, |
q, |
у) Д 5 (у) |
Д |
v' |
= |
||||||||||
= |
о А |
Л (х, q). |
Допустим теперь, что |
Л (х, |
у), |
тогда |
по |
||||||||||||
определению Л существуют и и и' такие, что и < |
х, |
и' |
< |
у |
|||||||||||||||
и « |
= |
ы'. Так как 2 |
( v', |
q, |
у), |
то по |
определению |
|
2 |
суще |
|||||||||
ствует р' такое, что р' |
< |
и’ Д |
(р' < v' |
V р’ < |
q)- Из v' |
= |
|||||||||||||
= |
и следует, |
что |
Л(л:, |
&). Так как и = |
и', то существует р, |
||||||||||||||
такое, |
что р == р' Д р < |
и. Но так как и < |
х, то р < |
х. |
|||||||||||||||
Таким образом, (Ер) (Ер') |
[р = р' Д |
р < |
х Д |
(р' |
< |
и’ |
\ / |
||||||||||||
V p' < р ) 1, что противоречит тому.чтоЛ (х, |
q) |
Д Л (х, |
и')- |
||||||||||||||||
Таким образом, Л (х, у), |
что вместе c S |
(у) |
доказывает |
(21). |
22
7. |
Рассмотрим предикат времени «х раньше т (см п. 3). |
Вот аксиомы этого предиката: |
|
XIII. |
х / у ~ (и) (v) [и < л: Д v < у иэ (Ew) ( ® < » Д u/w)\. |
Хотя истинность этой аксиомы очевидна, может пока заться странным, почему ее правая часть не записана в виде (и) (у) (и < х Д и < у zd и / v). Это сделано потому, что формула с такой частью выводима из XIII, но не наоборот— из нее нельзя вывести импликацию справа налево в XIII.
XIV. х / у ^ э х у Л у / х .
Эта аксиома означает, во-первых, что если вещи сопостав ляются во времени, то они рассматриваются как части одной возможности, и, во-вторых, что время несимметрично.
XV. |
ху Л x / z / \ (и) {u < yzD х / и ) zd у / 2. |
XVI. |
х = и A y = v A (E z) (Ew) [2 (х, у, г) Д |
|
Д 2 (и, v, ю )Л г = ш ] э ( х / ( / - н / в ) . |
|
XVII. (Ех) (Еу) [2 (х, у, г) А х / у ] . |
Аксиома XV означает, что если х / ' г и у не простирает ся позже х, то и у / г\ XVI — что тождество вещей вклю чает в себя совпадение их структур времени; XVII — что вещи состоят из продолжающихся,одна после другой своих частей.
Установим теперь несколько теорем для времени:
|
|
х / у — ( « ) И ( « < х Д v < y z i u / v ) . |
(22) |
||||
Эта эквивалентность справа налево следует из утвержде |
|||||||
ния (9). Пусть теперь х / |
у |
и рассмотрим произвольные |
|||||
ы, v |
такие, что и < х и v < |
у. |
Возьмем произвольные s , t |
||||
такие, что s |
< и и t < у . |
На |
основании утверждения |
(10) |
|||
К |
х и / |
< |
у, а по аксиоме XIII |
существует w такое, |
что |
||
w < |
/ Л |
s / |
w. Следовательно, |
(s) (t) [s < и Д / < |
v гз |
23
id (Ew) (w < |
t Д s / w) ], |
что в сочетании с аксиомой |
|
XIII дает и / |
v, откуда в силу произвольности и, v следует |
||
правая часть (22). |
|
|
|
(Еу) А (у) Л (г/) [Л (у) и х / |
t/] id (£*/) [(г) [Л (г) id г < у\ |
Д |
|
Л (z) [z < у id (£■«) (£и) [ и < г Д м < и Д / 4 (u)]J Д * /г /]. |
(23) |
Теорема (23) утверждает, что если предикат А выполняет ся на вещах, которые позже х, то объединение всех этих ве щей также позже х.
Пусть выполнена посылка импликации (23), тогда со гласно аксиоме XIV (у) [А (у) id ху\, откуда в силу (7), (8)
и (Еу) А (у) получим, что для предиката А выполняется по сылка аксиомы V II. Следовательно, существует у, требуемый в заключении импликации (23), за исключением того, что
еще нужно доказать х / у . |
Возьмем произвольные и, v та |
||||||
кие, |
что и < х и |
v < |
у. Из доказанной части |
заключения |
|||
в (23) следует существование s и t таких, что s < |
v и s < t, |
||||||
и А (/). Из посылки в (23) |
следует х / |
t, откуда и из теоре |
|||||
мы (22) получаем и / |
s. Следовательно, |
|
|
||||
|
(и) (v) [и < х Д v < |
у id (Es) (s < |
w Л и / |
s)], |
|||
что согласно аксиоме XIII |
дает х / у . |
|
|
|
|||
У / |
х д (Ег) (г < |
х Д у / |
z) id (Ей) (Ev) [X (и, |
v, |
х) Д |
||
|
Л y |
/ v |
Д ( z ) ( z / u z i y / z ) ) . |
|
(24) |
Эта теорема означает, что х можно «рассечь» на две части моментом окончания у.
Пусть выполнена посылка в (24). Рассмотрим предикат А (г) ~ г < х Д у / г, где х и у взяты из (24). Учитывая посылку в (24), получим, что А удовлетворяет посылке тео ремы (23), если заменить ее х на наш у. Следовательно, су ществует у, указанный в заключении теоремы (23). Обозна чим его через v. Согласно теореме (23), у / v\ докажем, что
24
у < х . |
На основании посылки в (24), аксиомы XIV и (11), |
|||||||||||||||||
(8) имеем ху и, так как у / |
у, то xv. Аксиому VII |
можно при |
||||||||||||||||
менить к предикату В (г) ~ |
|
(г = |
х |
V г = |
у) |
Д |
гх , откуда, |
|||||||||||
учитывая В (х) и В (у ) |
(В (х) |
следует из х у ), |
получим суще |
|||||||||||||||
ствование до такого, что |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x < w A v < w A ( P ) \ P < w z d (E q ) (E r ) [q < p Д |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
A |
q < |
г Л В (г)]]. |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Отсюда по определению В и в |
силу аксиомы V получим |
|||||||||||||||||
|
|
x < w f \ v < w |
/\{р)\р |
|
(Eq) [q < p A |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
A |
( q < x \ f q < w)]], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
что согласно (2) дает 2 (x, |
у , до). |
Допустим |
у < |
х, |
тогда |
|||||||||||||
согласно теореме (19) существует р такое, что |
2 |
(х, р, |
до) |
Л |
||||||||||||||
Л Л (х, |
р) и по определению 2 р |
< |
до. Из определения Л |
|||||||||||||||
и утверждения (12) следует (Ez) (z < |
х А |
2 < |
р); |
допустим |
||||||||||||||
Л (р, |
|
у), |
тогда |
аналогично |
имеем |
(Ez) |
(z < |
р |
А |
2 < |
у). |
|||||||
Но так как 2 (х, у, до) |
и р < |
до, |
то по определению |
2 |
по |
|||||||||||||
лучим, |
что (£z) |
[г < р |
А (г < х V |
г < |
у) ] , |
а это противо |
||||||||||||
речит |
|
допущению в |
предыдущей |
фразе. |
Следовательно, |
|||||||||||||
Л (р, |
у), |
т. е. существуют q и г такие, что q < |
р |
Л |
г < |
у |
||||||||||||
и q = |
|
г. Согласно 2 (х, |
р, |
до) и |
определения 2 |
получим |
||||||||||||
хр и, |
так как х у , то vp, |
откуда и из (11) |
следует qr и далее |
|||||||||||||||
согласно утверждению (15) получим q < |
|
у. Из заключения |
||||||||||||||||
в теореме (23) следует существование s и t таких, |
что s |
< |
||||||||||||||||
< q A |
s |
t /\ |
А (t). |
По определению А имеем t < |
х |
и, |
||||||||||||
следовательно, s |
< х, |
а так как s < |
q и q < |
р, |
то s |
< |
/?. |
|||||||||||
Таким |
образом, |
(£z) |
(г < |
р А г < |
х), |
|
откуда |
|
согласно |
(12) Л (х, р), что противоречит доказанному ранее. Итак, у < х и по определению 2 имеем 2 (у, х, х).
Допустим х < у. Так как у / у и г/ < г/, то согласно теореме (22) имеем у / х, что противоречит посылке в (24).
25