Файл: Рвачев Л.А. Математика и семантика. Номинализм как интерпретация математики.pdf
ВУЗ: Не указан
Категория: Не указан
Дисциплина: Не указана
Добавлен: 06.04.2024
Просмотров: 58
Скачиваний: 2
Определим одноместный предикат «х есть ситуация» (обо значение 5 (дс)):
5 (*) ~ (У) (*У1Э У < |
х). |
(4) |
Предикаты 2 (х, у, z), Л (х, у) и |
S (ас) |
понадобились |
как сокращения; в частности, мы их используем при записи последующих аксиом.
VIII. ху /\ у < а; гд (Ez) [г < у Д Л (х, г)].
Истинность этой аксиомы очевидна.
IX. (Ер) (р < ас Д р < у) ZD (и) (v) [и = х Д v = у Д uv ZD
■zi(Ez)(Ew)\?,(x, у , г) Л 2 (и, v, w ) A w = z]].
Эта аксиома утверждает, что если каждую из вещей х и у, имеющих общую часть, тождественно перенести в одну и ту же ситуацию, то для объединения х и у это означает также тождественный перенос. Здесь может быть неясным, какую роль имеет наличие у ас и у общей части. Но если этой общей
части нет, то в другой ситуации (где и = х и v = y) взаим ное положение и и v может быть иным, чем у х и у. Например, если х раньше у, то и может быть позже, чем V. В этом слу чае объединение ас и у, разумеется, нетождественно объеди
нению и и V. Если же общая часть у х и у есть, то она тож дественно перенесется и будет общей частью у и и и, что не позволит и к v относиться иначе, чем ас к у.
X. S (ас) гэ (с/) (ас бееyz^xy).
Это означает, что ситуацию нельзя перенести в другую ситуацию.
XI. (Ей) (ас < и Д ы < ас) гэ (Ей) (Ev) (Ew) [2 (и, v, w)/\
Л 5 (w) Л и = х Л Л (у, и)|.
Это означает, что каковы бы ни были ас и у, если |
вне |
а; возможно что-либо рассматривать (ас не есть ситуация), |
то |
2 987 |
17 |
ГОС. П У Б Л И Ч Н А Я Н А У Ч Н О Т Е Х ' И Ч Е С К А Я * /
БС Б О Т Е К А СССР
можно рассмотреть и такое окружение х, которое не имеет ничего общего с у.
XII. (Ей) (х < |
и Д и < |
х) id |
|
ZD(Ей) (Ev) \и < V л s |
(v) л и = |
х Д Л (у, |
v)\ |
Это значит, что каковы бы ни были х н у , |
если вне |
||
хвозможно что-либо рассматривать, то можно рассмотреть
хв такой ситуации, которая пересекается с у.
Предикаты А, для которых имеет место
x = yZD\A ( х )~ Л (у)\, |
(5) |
будем называть собственными, а остальные |
предикаты — |
несобственными, так как’ они характеризуют не только со ответствующую" вещь, но и окружающую ситуацию.
Примеры собственных предикатов: «х — красный», (Еу) (у = а Д у < х), где а — имя вещи.
Примеры несобственных предикатов: ах, (Еу) ( р а Д
А х < у).
6« Приведем некоторые следствия из высказанных акси
ом. При этом формальные доказательства можно интрепретировать и как содержательные, так как мы будем свободно пользоваться метатеоремами исчисления предикатов.
|
|
хх, |
|
|
(6) |
|
|
ху ~ ух. |
|
|
(7) |
Здесь (6) |
следует из аксиомы I- |
при |
подстановке |
туда |
|
х вместо у, а (7) |
из симметрии правой части аксиомы I. |
||||
|
|
ху A yzz^xz. |
|
|
(8) |
Пусть ху, |
уг, |
тогда в силу аксиомы I, |
подставляя |
туда |
|
2 вместо и и учитывая (7), получим xz. |
|
|
|||
|
|
х < х, |
|
|
(9) |
|
|
Х < у A y < Z ^ X |
< z . |
|
(10) |
18
При этом (9) следует из аксиомы II при подстановке туда х вместо у, а (10) — из аксиомы II, если взять там в качест ве х, у, и соответственно у, г, х.
( E z ) ( z < x A г < у ) ^ х у . |
(11) |
|
Пусть существует г, указанный в посылке формулы |
(11). |
|
Из (1) и (9) следует г < х i d |
zx и z < у гд zy, что в сочета |
|
нии с (7) и (8) дает ху. |
|
|
х = |
х, |
(12) |
х = у ^ у = х. |
(13) |
|
Утверждение (12) можно получить из аксиомы III, если подставить туда х вместо у, а (13) — из симметрии правой
части аксиомы III. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
х ^ у A y = zz^x = |
z. |
|
|
|
|
(14) |
|||
Пусть х = |
у, у |
= |
z и и таково, что (Ev) (v < |
|
х А |
и = |
|||||||
= о); тогда в силу аксиомы III |
(Ev) (v < |
у |
Д и = |
о) и да |
|||||||||
лее по этой же аксиоме (Ev) (v |
z А и = |
v). Таким обра |
|||||||||||
зом, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(и) [(Ev) (v < x A u = |
v)^d (Ev) ( в < г Д и = |
v)\- |
|
||||||||||
Аналогично, учитывая (13), получим |
|
|
|
|
|
||||||||
(и) [(£») (v < |
z Л и == v) ZD (Ev) (v < |
х А « = |
tty], |
|
|||||||||
так что окончательно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
(и) [(Ev) (v < |
л: Л и = |
v) ~ |
(Ev) (v < |
z Д и = |
у)], |
|
|||||||
откуда согласно аксиоме III получаем х = |
г. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
х = у А х у ~ ( и ) ( х < ( и ~ у < и ) . |
|
|
(15) |
||||||||
Пусть |
х = |
у А |
ху. Рассмотрим произвольное |
|
и такое, |
||||||||
что х < |
и. |
В |
силу аксиомы V |
(о) (о < |
у ZD v < |
л:), |
что |
||||||
вместе с (9) |
дает |
у < х. |
Отсюда и на основании |
(10) |
по |
||||||||
лучим у < |
и, |
т. |
е. |
х < |
и из у < и. |
Аналогично найдем |
|||||||
2* |
19 |
у < и ZD х < |
и |
|
и далее |
(и) |
(х < |
и ~ |
у < и). |
Пусть |
|||||||
теперь |
(и) (х < |
и — у < и). |
Отсюда |
и |
из |
(9) |
следует |
||||||||
х < у /\ |
у < |
.V, |
а |
из |
(10) — (и) (и < |
х ~ v |
< |
у). |
Это в |
||||||
сочетании |
с аксиомой V дает х = |
у Д |
ху. |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
Х < у А У < X Z D X ^ y . |
|
|
|
|
(16) |
|||||
Пусть х < |
у Л |
у < |
х, тогда в силу транзитивности < |
||||||||||||
имеем (и) (и < |
|
л: ~ |
и < |
г/), что |
вместе с |
аксиомой V дает |
|||||||||
х = у- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[2 (ж, у, |
г) — 2 (у, |
х, г )]Л [Л (* , |
« /)~ A (t/, |
х)]. |
(17) |
||||||||||
Это |
следует |
из |
симметрии |
правых |
частей |
определений |
|||||||||
(2) и (3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(£ х )[г /< л :Д 5 (х )]. |
|
|
|
|
(18) |
||||
Из (6)—(8) |
следует, что предикат А (г) ~ |
zy удовлетво |
|||||||||||||
ряет посылке аксиомы VII. Применяя к А эту аксиому, по |
|||||||||||||||
лучим существование г, указанного в заключении VII; обо |
|||||||||||||||
значим его через х. Так как по заключению VII (г) |
[А (г) Iэ |
||||||||||||||
гз z < |
х], то |
(г) |
(yz зз z < х) и |
далее (так |
как |
|
xz ZD yz) |
||||||||
имеем (г) (xz ZD |
z |
< |
x), т. e. S |
(x); |
а так как А (у), |
|
то у < х, |
||||||||
так что полученный х удовлетворяет (18). Утверждение (18) означает, что всякая вещь у находится внутри некоторой предельно широкой вещи х — ситуации.
Докажем теперь теорему о существовании разности ве
щей, |
находящихся |
в |
одной ситуации: |
|
|
|
|
||
у < |
x z d (u) [ 2 (х, |
у , |
и) zd (Ez) [2 (х, z, |
и) Д Л(х, |
г)]]. |
(19) |
|||
Пусть у < х и пусть и таково, |
что 2 |
(х, у, и). |
Отсюда |
||||||
и из (2) следует х < |
и и у < и и далее из (11), (9) и (8) име |
||||||||
ем ху. Рассмотрим |
предикат |
A |
(v) ~ |
v < |
у /\ |
Л (v, х)'. |
|||
Из ху и аксиомы VIII |
следует (Ev) А (v). Из определения |
||||||||
А и (11), (9), (8) следует Л (v) Д |
А (w) Z5 vw. Таким обра |
||||||||
зом, |
предикат А |
удовлетворяет |
посылке |
аксиомы |
VII, |
||||
20
